廣義可壓縮杠桿方程的精確行波解

，

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

0 引 言

非線性方程是描述自然現(xiàn)象的一種重要數(shù)學(xué)模型，對(duì)其行波解的研究是近年來非線性動(dòng)力系統(tǒng)中的熱點(diǎn)之一。為了研究非線性方程的行波解，人們已經(jīng)提出了一些行之有效的方法，其中動(dòng)力系統(tǒng)研究方法[1-2]已經(jīng)很好地應(yīng)用于非線性方程行波解的研究中。本文主要運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)的分支方法研究下列廣義可壓縮杠桿方程[3-4]：

(1)

其中：g是給定的C∞函數(shù)，γ是與材料常數(shù)和桿的感應(yīng)力有關(guān)的常數(shù)。當(dāng)γ=1，g(u)=3u2時(shí)，方程(1)為Camassa-Holm方程[5]：

ut-uxxt+3uux+kux=2uxuxx+uuxxx

(2)

方程(2)具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)、可積性、有無窮多個(gè)守恒律，且已經(jīng)得到了方程(2)的周期解、孤波解、Peakon等[6-7]。當(dāng)g(u)=3u2，γ∈(-29.4760,3.4174)時(shí)，方程(1)為超彈性桿波方程[5]。當(dāng)γ=0，g(u)=3u2時(shí)，方程(1)為Benjamin-Bona-Machony方程[3]。本文主要研究當(dāng)γ=1，g(u)=3au2+2ku(a≠0)時(shí)，方程(1)的行波解。

為了研究方程(1)的行波解，首先令u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ct，并代入方程(1)，再關(guān)于ξ積分一次并取積分常數(shù)為0可得：

(3)

本文通過研究常微分方程(3)參數(shù)a,c和k的分支和相圖將得到方程(1)的各類行波解。

1 行波系統(tǒng)的分支與相圖

令u′=v，若u≠c，方程(3)可轉(zhuǎn)化為平面系統(tǒng)

(4)

u=c是系統(tǒng)(4)的奇直線。時(shí)間尺度變換dξ=(u-c)dη將系統(tǒng)(4)化為

(5)

其首次積分為

H(u,v)=(c-k-au)u2+(u-c)v2

(6)

分支曲線把參數(shù)平面(c,k)分為八個(gè)區(qū)域：

D1={(c,k)|c>k>0}，

D2={(c,k)|k>c>0}，

D5={(c,k)|c

D6={(c,k)|k

c) 當(dāng)(c,k)∈D3∪D7時(shí)，系統(tǒng)(5)有鞍點(diǎn)(0,0)和(u1,0)。

f) 當(dāng)(c,k)∈C3時(shí)，系統(tǒng)(5)有尖點(diǎn)(c,0)和鞍點(diǎn)(0,0)。

系統(tǒng)(5)的相圖見圖1。

1.2 a<0的情形

分支曲線把參數(shù)平面(c,k)分為八個(gè)區(qū)域：

引理2當(dāng)a<0時(shí)，系統(tǒng)(5)在每個(gè)參數(shù)區(qū)域和分支集上的奇點(diǎn)類型如下所示：

a) 當(dāng)(c,k)∈D1∪D4∪D5∪D8∪C4時(shí)，系統(tǒng)(5)有鞍點(diǎn)(0,0)和中心(u1,0)。

b) 當(dāng)(c,k)∈D2∪D6時(shí)，系統(tǒng)(5)有鞍點(diǎn)(u1,0)為鞍點(diǎn)和中心(0,0)。

d) 當(dāng)(c,k)∈C1時(shí)，系統(tǒng)(5)僅有一個(gè)尖點(diǎn)(0,0)。

f) 當(dāng)(c,k)∈C3時(shí)，系統(tǒng)(5)有尖點(diǎn)(c,0)和中心(0,0)。

系統(tǒng)(5)的相圖見圖2。

圖1 當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)(5)的相圖

圖2 當(dāng)a<0時(shí)，系統(tǒng)(5)的相圖

2 方程(1)的有界光滑行波解

注意u=c為系統(tǒng)(4)的奇直線。眾所周知，與奇直線不相交的軌線對(duì)應(yīng)于方程的光滑行波解。在物理中令人感興趣的光滑行波解一般是周期波、孤波、扭波或反扭波，它們分別對(duì)應(yīng)于相圖中的周期軌、同宿軌和異宿軌[1]。系統(tǒng)(5)的軌道由下列方程確定

(c-k-au)u2+(u-c)v2=h

(7)

當(dāng)u≠c時(shí)，方程(7)可以寫成

(8)

I(u,u0,c,k,h)=±ξ

(9)

是方程(1)的隱式解。

a) 當(dāng)(c,k)∈D1((c,k)∈D5)且h=H(u0,0)時(shí)，若u0∈(u1,u2)(u0∈(u2,u1))，式(9)確定了方程(1)的周期行波解；若u0=u2，則確定了方程(1)的孤波解。

c) 當(dāng)(c,k)∈D4∪C4(c<0)((c,k)∈D8∪C4(c>0))且h=H(u0,0)時(shí)，若u0∈(c,u1)(u0∈(u1,c))，式(9)確定了方程(1)的周期行波解。

定理2當(dāng)a<0時(shí),方程(1)有如下的有界光滑行波解:

a) 當(dāng)(c,k)∈D1∪D8∪C4(c>0)((c,k)∈D4∪D5∪C4(c<0))和h=H(u0,0)時(shí)，若u0∈(u2,u1)(u0∈(u1,u2))，式(9)確定了方程(1)的周期行波解；若u0=u2，則確定了方程(1)的孤波解。

c) 當(dāng)(c,k)∈D3((c,k)∈D7)和h=H(u0,0)時(shí)，若u0∈(0,c)∪(c,u1)(u0∈(u1,c)∪(c,0))，則式(9)確定了方程(1)的兩族周期行波解。

按照寓管理于服務(wù)，轉(zhuǎn)變管理方式，加快轉(zhuǎn)變政府職能，該放的放掉、該管的管好，突出加強(qiáng)涉水社會(huì)事務(wù)跟蹤和趨勢(shì)研判，準(zhǔn)確把握水利輿情動(dòng)態(tài)，做到前移關(guān)口、重心下放，從源頭上預(yù)防問題、解決問題，把更多資源投入到基層，讓基層有權(quán)管事、有人做事、有錢辦事。

e) 當(dāng)(c,k)∈C3和h=H(u0,0)時(shí)，若u0∈(0,c)，式(9)確定了方程(1)的周期行波解。

3 方程(1)的奇異行波解

行波系統(tǒng)的與奇直線相交的有界軌道對(duì)應(yīng)于奇異行波解。當(dāng)u≠c時(shí)，方程(8)可以寫成

(10)

a) 當(dāng)(c,k)∈D4且h=H(u0,0)時(shí)，若u0∈(u-,0)，則

(11)

是方程(1)的周期cuspon；若u0=u-且h=H(u0,0)，則式(11)是方程(1)的周期peakon。

b) 當(dāng)(c,k)∈D8且h=H(u0,0)時(shí)，若u0∈(0,u+)，則式(11)是方程(1)的周期cuspon；若u0=u+，則式(11)是方程(1)的周期peakon。

定理4若a<0，方程(1)有如下的有界行波解。

a) 當(dāng)(c,k)∈D3∪D7且h=H(u0,0)時(shí)，若u0∈(-∞,u-)∪(u+,+∞)，則式(11)是方程(1)的周期cuspon；若u0=u-(u0=u+)，則式(11)是方程(3)的周期peakon。

b) 當(dāng)(c,k)∈C2((c,k)∈C3)且h=H(u0,0)時(shí)，若u0=u+(u0=u-)，則

(12)

是方程(1)的compacton。

4 結(jié) 語

動(dòng)力系統(tǒng)研究方法是研究非線性方程行波解的重要方法之一。本文運(yùn)用這一方法研究其分支并得到廣義可壓縮杠桿方程在各種不同參數(shù)條件下的有界行波解，包括光滑行波解和奇異行波解，其中光滑行波解有光滑孤波解和周期波解，奇異行波解有周期cuspon、周期peakon、孤立peakon和compacton。本文研究的是取積分常數(shù)為零的特殊情形，當(dāng)積分常數(shù)不為零時(shí)，方程中將出現(xiàn)四個(gè)參數(shù)，從而研究其分支就更加困難，對(duì)于一般的情形是否可以得到方程新類型的行波解，將是下一步深入探討的問題。