含有2的冪次的Euler和的研究

，

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院,杭州 310018)

0 引 言

廣義調(diào)和數(shù)的定義為

當(dāng)p=1時(shí)為經(jīng)典的調(diào)和數(shù)，用Hn表示。

設(shè)p1,p2,…,pm為正整數(shù)，且p1≤p2≤…≤pm，x∈[-1,1)，記

稱p1+…+pm+q為Sp1p2…pm,q(x)的權(quán)。為方便起見，類似整數(shù)分拆的記法，將重復(fù)的數(shù)字用冪的形式來表示，例如，

在Sp1p2…pm,q(x)中令x=1，就得到經(jīng)典的Euler和Sp1p2…pm,q。Berndt[1]指出，Euler和的研究起源于1742年，在與Goldbach的通信中，Euler首先考慮了線性和

并得出很多結(jié)果。例如，Euler指出當(dāng)q≥2時(shí)，S1,q可以用zeta值表示：

本文主要研究含有2n的Euler和，并通過生成函數(shù)及特殊函數(shù)積分系統(tǒng)地計(jì)算出一些低階的含有2n的Euler和的值。

1 一些引理

引理1當(dāng)k≥1時(shí)，第一類無符號(hào)Stirling數(shù)滿足如下生成函數(shù)：

(1)

Lij(1-t)+ζ(k+1)

(2)

引理1中(1)即為第一類無符號(hào)Stirling數(shù)的指數(shù)型生成函數(shù)。Wang等[7]在(1)的基礎(chǔ)上通過積分進(jìn)一步得到生成函數(shù)(2)。利用第一類無符號(hào)Stirling數(shù)與Bell多項(xiàng)式的關(guān)系[7]：

可以將(1)和(2)改寫為

(3)

(4)

(5)

(6)

由(5)和(6)可以進(jìn)一步得到含有2n的Euler和的關(guān)系式。

ln2(1-t)Li2(1-t)+2ln(1-t)Li3(1-t)-

2Li4(1-t)+2ζ(4)

(7)

(8)

(9)

再令r取特殊值也可得到含有2n的Euler和的關(guān)系式。

最后，Choi等[9]利用Kummer求和公式得到兩個(gè)含有2n的無窮級(jí)數(shù)的表達(dá)式。

引理3設(shè)k≥0為整數(shù)，則

(10)

(11)

其中pk滿足以下遞推關(guān)系：

2 權(quán)2，3，4的含有2n的Euler和的計(jì)算

利用上述引理可以系統(tǒng)地得到權(quán)2，3，4的含有2n的Euler和的值。

定理1權(quán)為2，3的4個(gè)含有2n的Euler和可以用zeta值表示。

解以上三個(gè)線性方程構(gòu)成的方程組可以得到權(quán)3的所有Euler和：

在(5)中令k=4，可以得到

類似地，在(6)和(10)中令k=3，在(11)中令k=2可以得到另外3個(gè)方程。

解以上線性方程組可以得到權(quán)4的所有Euler和：

3 含有2n的Euler和與交錯(cuò)Euler和的關(guān)系

Xu[12]通過以下積分定義了序列(Yk(n))：

該序列滿足如下遞推公式：

利用序列(Yk(n))可以建立含有2n的Euler和與交錯(cuò)Euler和的關(guān)系。

定理3對(duì)于正整數(shù)k，有

= (-1)m+1m!ζ(m+1)ln(2)+

(12)

另一方面，直接做變量替換x→1-t可得

ln(2)·(-1)m+1m!ζm+1

(13)

結(jié)合(12)和(13)可以得到結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文利用生成函數(shù)的方法得到權(quán)2，3，4的所有含有2n的Euler和，并利用特殊函數(shù)積分的方法建立含有2n的Euler和與交錯(cuò)Euler和的關(guān)系，由此計(jì)算出兩個(gè)權(quán)5的含有2n的Euler和。筆者將在后續(xù)的研究中利用生成函數(shù)、特殊函數(shù)積分，建立更多的含有2n的Euler和與交錯(cuò)Euler和的關(guān)系，得到足夠多的方程，由此求解出所有權(quán)5、6的含有2n的Euler和。