兩函數(shù)公切線問題

云南省玉溪第一中學 武增明 (郵編：653100)

函數(shù)圖象的切線問題，一直是高考重點考查的內容，兩個函數(shù)圖象的公切線問題，內涵豐富，是高考命題的一個新熱點.這兩類問題求解數(shù)學思想是一致的，主要是化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想.求解方法也是一致的，主要是：設出切點，利用切點處的導數(shù)即為切線的斜率，利用切點在切線上和曲線上聯(lián)立方程組求解.但是，兩個函數(shù)圖象的公切線問題要比一個函數(shù)圖象的切線問題復雜得多，靈活得多，難度大得多.下面筆者通過具體實例，歸納、總結兩函數(shù)圖象的公切線問題的類型及求解思想方法.

設曲線C1：y=f(x)在點A(x1，f(x1))處的切線為l1：y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)，整理得y=f′(x1)·x-f′(x1)·x1+f(x1).設曲線C2：y=g(x)在點B(x2，g(x2))處的切線為l2：y-g(x2)=g′(x2)(x-x2)，整理可得y=g′(x2)·x-g′(x2)·x2+g(x2).由于l1與l2是相同的直線，故有

從而可以求出公切線方程.

從上述分析我們還可以看出，曲線C1：y=f(x)與曲線C2：y=g(x)公切線的條數(shù)等于該方程組解的個數(shù).

1 求公切線方程

由兩函數(shù)的圖象知，x1與x2同號，即x1x2>0，

所以k=9，切點為(1，3)，

所以兩函數(shù)的方切線方程為

y-3=9(x-1)，即9x-y-6=0.

例2 曲線x2=ky與曲線y=lnx的公切線方程為__________.

此題若用上述例1的解法，行不通！

2 求公切線方程中參數(shù)的值

例3 (2016年高考數(shù)學全國卷Ⅱ·理16)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=______.

故直線y=kx+b為y=2x+1-ln2，所以b=1-ln2.

3 求函數(shù)中參數(shù)的值

例4 已知曲線y=x2-lnx在點(1，1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1也相切，則a=______.

解 因為曲線y=x2-lnx在點(1，1)處的切線的斜率為1，所以曲線y=x2-lnx在點(1，1)處的切線方程為y=x.

因為y=x與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切，所以方程ax2+(a+2)x+1=x有一個實數(shù)根，即ax2+(a+1)x+1=0有唯一解，故△=0，即(a+1)2-4a=0，解得a=1.

4 求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

例6 若曲線C1：y=x2與曲線C2：y=aex(a>0)存在公共切線，則a的取值范圍是______.

例7 已知曲線y=ex+a與y=(x-1)2恰好存在兩條公切線，則實數(shù)a的取值范圍是( )

A.(-∞，2ln2+3) B.(-∞，2ln2-3)

C.(2ln2-3，+∞) D.(2ln2+3，+∞)

解y=ex+a的導數(shù)是y′=ex+a，

y=(x-1)2的導數(shù)是y′=2(x-1).

設兩條曲線的公切線與曲線y=ex+a相切的切點為(m，n)，則n=em+a，與曲線y=(x-1)2相切的切點為(s，t)，則t=(s-1)2.

由f′(s)<0，得s>3，由f′(s)>0，得1

所以f(s)在s=3處取到最大值f(3)=2ln2-3.

所以a<2ln2-3，即a的取值范圍是(-∞，2ln2-3).故選B.

評注 解答此類問題的思路是，從切線重合(即同一條切線)得到兩切點的關系，轉化所求變量與其中一個切點變量的函數(shù)關系，運用化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，構造函數(shù)，并注意函數(shù)自變量的范圍，通過求導確定函數(shù)單調性，運用數(shù)形結合思想，得到函數(shù)值域也即所求參數(shù)的取值范圍.

5 求切點橫坐標的取值范圍

6 判斷公切線的條數(shù)

解f′(x)=2x+2(1-a)，設公切線與f(x)相切于點A(m，m2+2(1-a)m-4a)，則切線方程為y-2+2(1-a)m-4a〗=m+2(1-a)〗(x-m)，整理得y=m+2(1-a)〗x-m2-4a.

圖1

7 探究是否存在公切線

例10 已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=lnx是否存在直線l，使得l同時是函數(shù)f(x)，g(x)的切線？說明理由.

令h(m)=em(1-m)+m+1，

因為h(1)=2>0，h(2)=-e2+3<0，所以方程em(1-m)+m+1=0有解，則方程組有解，故存在直線同時是函數(shù)f(x)和g(x)的切線.

(1)求f(x)的極大值；

解 (1)略.

假設函數(shù)F(x)，g(x)的圖象在其公共點(x0，y0)處存在公切線，

又函數(shù)的定義域為(0，+∞)，

所以函數(shù)F(x)與g(x)的圖象在其公共點處不存在公切線.

φ(x)在(0，2)內遞減，(2，+∞)內遞增，

且當x→0時，φ(x)→+∞；當x→+∞時，φ(x)→+∞.

所以φ(x)在(0，+∞)內有兩個零點，

綜上，當k≤0時，函數(shù)F(x)與g(x)的圖象在其公共點處不存在公切線；當k>0時，符合題意的k的值有2個.