周長與面積相等的多邊形

河北民族師范學(xué)院初等教育系 司志本 (郵編：067000)河北省興隆縣青少年活動中心 李 蕊 (郵編：067300)

“周長與面積相等”是一種簡略的說法，其含義是周長的數(shù)值與面積的數(shù)值相等.盡管這種說法不太科學(xué)，但是為了方便，我們還是采用這種簡略的說法.本文研究的主要問題是，如果多邊形的邊長為整數(shù)，那么有哪些多邊形的周長與面積相等？當(dāng)多邊形的邊數(shù)大于4時，我們只研究正多邊形的情況.

1 三角形

設(shè)三角形的三條邊長分別為x、y和z，由海倫公式可知，三角形的面積可以表示為

如果三角形的周長與面積相等，即

那么，把上式兩邊同時平方，消去一個x+y+z以后，就可以得到

16(x+y+z)=(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z).

①

因為①式右端三個因式的奇偶性相同，而①式左端是一個偶數(shù)，所以要想①式成立，右端的三個因式應(yīng)該都是偶數(shù).不妨令

x+y-z=2k，其中k是正整數(shù).

從上式解出z，得

z=x+y-2k.

把z=x+y-2k代入(1)式，整理得

4(x+y-k)=k(x-k)(y-k).

解得

②

現(xiàn)在我們從②式出發(fā)，并注意到三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊等條件，分別取適當(dāng)?shù)膋值進(jìn)行討論.

當(dāng)k=1時，由②式得

當(dāng)x=6時，y=25，z=29；

當(dāng)x=7時，y=15，z=20；

當(dāng)x=9時，y=10，z=17；

當(dāng)x=10時，y=9，z=17，這組解與前面的解相同(只要兩組數(shù)值中的三個數(shù)分別相同，我們就視為同一組解)；

當(dāng)x=15時，y=7，z=20，與前面的解相同;

當(dāng)x=25時，y=6，z=29，與前面的解相同.

所以當(dāng)k=1時，①式一共有三組解，分別是：6,25,29；7,15,20和9,10,17.

當(dāng)k=2時，由②式得

當(dāng)x=5時，y=12，z=13；

當(dāng)x=6時，y=8，z=10；

當(dāng)x=8時，y=6，z=10，與前面的解相同;

當(dāng)x=12時，y=5，z=13，與前面的解相同.

所以，當(dāng)k=2時，①式一共有兩組新解，分別是：5,12,13和6,8,10.

此時z=x+y-6.欲使y為正整數(shù)，上式中的x只可能取5,13這2個值.

當(dāng)x=5時，y=13，z=12，與前面的解相同.

當(dāng)x=13時，y=5，z=12，與前面的解相同.

所以，當(dāng)k=3時，①式?jīng)]有新解出現(xiàn).

進(jìn)一步討論可知，滿足①式的解只有五組，分別是：5,12,13；6,8,10；6,25,29；7,15,20和9,10,17.(參見文)

也就是說，周長與面積相等三角形只有五種，其邊長分別為：5,12,13；6,8,10；6,25,29；7,15,20和9,10,17.

2 長方形

先討論一下正方形的情況.

設(shè)正方形的邊長為x.若這個正方形的周長與面積相等，則有4x=x2.顯然，這個方程有唯一解x=4.這就是說，周長和面積相等的正方形只有一種，其邊長為4.

現(xiàn)在我們來討論一般的長方形.

設(shè)長方形的長和寬分別為x和y，不妨設(shè)x≥y>0，則周長為2x+2y，面積為xy.若長方形的周長和面積相等，則有2x+2y=xy，整理得

③

因為③式的左端是整數(shù)，所以，要想③式的右端也是整數(shù)，x和y應(yīng)該至少有一個是偶數(shù).不妨設(shè)x=2k1，將其代入③式，就有2k1+y=k1y，即

2k1=(k1-1)y

④

由④式可知，y和k1-1至少有一個是偶數(shù).

若y是偶數(shù)，設(shè)y=2k2，則由④式可得2k1=(k1-1)2k2，即

k1+k2=k1k2

⑤

下面證明，若⑤式成立，即兩個整數(shù)之和等于這兩個整數(shù)之積，那么這兩個數(shù)只能都是2.

事實上，因為x≥y>0，而x=2k1，y=2k2，所以，k1≥k2.令k1=k2+t，代入k1+k2=k1k2，整理可得，

解這個關(guān)于k2的一元二次方程，可得

而k2是一個正整數(shù)，所以

即k2=1或k2=2.

當(dāng)k2=1時，由k1+k2=k1k2，得k1+1=k1，顯然無解；

當(dāng)k2=2時，由k1+k2=k1k2，得k1+2=2k1，解得k1=2.將k1=2代入⑤式，解得k2=2.即⑤式有唯一一組解：k1=2，k2=2.由x=2k1，y=2k2，可得x=4，y=4.

若(k1-1)是偶數(shù)，設(shè)(k1-1)=2k3，則由④式可得2k1=2k3y，即k1=k3y.由k1是奇數(shù)可知，k3和y也都是奇數(shù).將k1=k3y代入(k1-1)=2k3，整理可得k3(y-2)=1.因為k3和y都是正整數(shù)，所以有k3=1且y-2=1，即k3=1，y=3.進(jìn)一步可知x=6，y=3.

由此我們可以得出這樣的結(jié)論：如果一個長方形的周長和面積相等，那么，這個長方形或者是邊長為4的正方形，或者是長和寬分別是6和3的長方形.

3 正n(n≥5)邊形

設(shè)正n邊形的邊長為a，則這個n邊形的面積可以表示為以a為底邊的n個三角形面積之和.因為每一個三角形的面積為

所以，正n邊形的面積為

若正n邊形的周長與面積相等，則有

⑥

這就說明，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)n≥5時，周長與面積相等的正多邊形是不存在的.

4 圓形

我們可以把圓形視為多邊形的一種特例.設(shè)圓的半徑為r，若圓的周長與面積相等，則有2πr=πr2，即r=2.也就是說，當(dāng)且僅當(dāng)圓的半徑為2時，圓的周長與面積相等.

把上面的問題進(jìn)一步推廣，還可以討論一些立體圖形中的相關(guān)問題.例如，對于立方體來說，如果它的表面積與它的體積相等，那么這個立方體的棱長一定都是6.有興趣的讀者可以做出進(jìn)一步的討論.