例談含參數(shù)的絕對值不等式問題及其解法

福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 王沛鈺 (郵編：350117)

自2017年起，高考數(shù)學(xué)全國卷的選做題由三選一改為二選一，去掉了選修4-1的幾何證明選講，保留了選修4-4的坐標(biāo)系與參數(shù)方程和選修4-5的不等式選講．對于不等式選講的這道選做題，通常設(shè)置兩問, 每小問5分，總計10分，并且文理同題．縱觀近幾年高考全國卷不等式選講的題目，不難發(fā)現(xiàn)出題模式以絕對值不等式問題為主．如下表1所示，對2013年―2017年高考全國卷不等式選講的題目類型統(tǒng)計，可以看出全國I卷近5年有4年考了絕對值不等式問題，全國II卷近5年有3年考了絕對值不等式問題，全國Ⅲ卷自啟用連續(xù)2年考了絕對值不等式問題．如果對這些絕對值問題進(jìn)行分析，還可以得到：第(I)問主要考查絕對值不等式的解、畫絕對值函數(shù)的圖象等，此問比較容易；第(II)問多涉及含參數(shù)的絕對值不等式問題，題 型靈活，且?？疾榛瘹w與轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．通過分析含參數(shù)的絕對值不等式問題，總結(jié)出了三種常考題型：求參數(shù)的值或范圍、不等式證明以及絕對值不等式的應(yīng)用，并結(jié)合例子給出了三種?？碱}型的一般解法，希望對廣大的高中師生有所幫助．

表1 2013年―2017年高考全國卷不等式選講的題目類型統(tǒng)計(全國Ⅲ卷于2016年啟用)

1 求參數(shù)的值或范圍

1.1 已知不等式的解集

例2 已知函數(shù)f(x)=|x-a|(其中a>1)，若關(guān)于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集為x|1≤x≤2，求a的值．

解析 設(shè)h(x)=f2x+a-2f(x)，則

點評 已知含參數(shù)的絕對值不等式的解集，如果不等式中只有一個絕對值，我們通常利用|f(x)|>g(x)?f(x)<-g(x)或f(x)>g(x),|f(x)|

先求出該不等式的解集，再根據(jù)題設(shè)列方程(組)或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍；如果不等式中含有兩個絕對值，我們可以考慮分段去掉絕對值來求解集，其中可能會涉及分類討論，操作起來會稍微復(fù)雜一點，需要確保分類討論的情況不重復(fù)、不遺漏．

1.2 已知恒成立或存在性條件

例3 (2017年高考數(shù)學(xué)全國卷I·文理23)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4，g(x)=x+1+x-1．

(I)當(dāng)a=1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(II)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范圍．

解析 (I)略．

(II)方法一 化歸轉(zhuǎn)化思想

方法二 數(shù)形結(jié)合思想

由于不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，等價于f(x)≥g(x)在[-1,1]內(nèi)恒成立．又因x∈[-1,1]時，g(x)=2，故可得f(x)≥2?-x2+ax+4≥2?x2-2≤ax在[-1,1]內(nèi)恒成立．作出y=x2-2在[-1,1]上的圖象，如圖1所示，函數(shù)y=ax必須落在l1、l2之間，此時kl1=-1、kl2=1．因此a的取值范圍為[-1,1]．

圖1

例4 已知關(guān)于x的不等式|x-a|+|x+a|

解析 因為|x-a|+|x+a|≥|x-a-x-a|=|2a|，且不等式|x-a|+|x+a|

點評 已知恒成立或存在性條件，求參數(shù)的值或范圍，可以利用化歸與轉(zhuǎn)化思想分離參數(shù)變成最值問題考慮，也可利用分類討論思想去絕對值符號直接計算，還可利用數(shù)形結(jié)合思想畫出圖象直觀觀察．

比如，利用化歸轉(zhuǎn)化思想分離參數(shù)后，若a>f(x)在x∈D恒成立，則a>f(x)max；若af(x)，則a>f(x)min；若存在x∈D使得a

1.3 已知兩個函數(shù)圖象圍成的區(qū)域大小或形狀

例5 (2015高考高考卷I·文理24)已知函數(shù)f(x)=x+1-2|x-a|，a>0．

(I)當(dāng)a=1時，求不等式f(x)>1的解集；

(II)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．

解析 (I)略．

(II)由題設(shè)可得f(x)=x+1-2|x-a|

所以a的取值范圍為(2，+∞)．

例6 已知函數(shù)f(x)=x+x-3的圖象與直線y=ax+5a(a>0)的圖象可以圍成一個三角形，求a的取值范圍．

解析

圖2

點評 已知兩個函數(shù)圖象圍成的區(qū)域大小或形狀求參數(shù)的值或范圍，關(guān)鍵先要確定圍成的區(qū)域，再用區(qū)域大小或區(qū)域形狀聯(lián)系參數(shù)，得到滿足題意的式子，解出參數(shù)的值或范圍．如例5中關(guān)鍵是確定三角形區(qū)域，進(jìn)而求出三角形三個頂點的坐標(biāo), 其中兩點顯然是函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點, 方法一用零點分區(qū)間結(jié)合圖象求交點坐標(biāo)；方法二是用方程思想求出函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo), 用絕對值三角不等式求出函數(shù)最大值繼而求出另一點的坐標(biāo)，等三角形三個頂點坐標(biāo)求出后，聯(lián)系面積求參數(shù)的范圍就變成水到渠成的事情了.

2 不等式證明

例7 (2015高考數(shù)學(xué)全國卷II·文理24)設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且a+b=c+d．證明：

解析 (I)略．

(II)① 若|a-b|<|c-d|，則(a-b)2<(c-d)2，即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd．

于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2．因此|a-b|<|c-d|．

例8 已知函數(shù)f(x)=x-2，若a>2，求證：?x∈R，fax+af(x)>2恒成立．

證明 因為f(x)=x-2，所以f(ax)+af(x)=|ax-2|+a|x-2|=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|，當(dāng)且僅當(dāng)(ax-2)(2a-ax)≥0時，等號成立．又因a>2，所以2a-2>2，即fax+af(x)>2，因此，?x∈R，fax+af(x)>2恒成立．

點評 不等式的證明方法有很多，如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等，證明時需靈活選擇，才能收到事半功倍的效果．絕對值不等式的證明還需聯(lián)系不等式的性質(zhì)和絕對值三角不等式(|a+b|≤a+b、a-b≤a±b≤a+b)，但要注意取等條件是否滿足．

3 絕對值不等式的應(yīng)用：求函數(shù)的最值

解析 因為f(x)=|x+a|+|x-b|≥(x+a)-(x-b)=|a+b|，

又因a、b∈R+，所以

例10 已知函數(shù)f(x)=2x-1，若實數(shù)a，b滿足a+b=2，求fa2+fb2的最小值．

解析 由f(x)=2x-1，可得fa2+fb2=|2a2-1|+|2b2-1|≥|2(a2+b2)-2|，因a+b=2，利用柯西不等式可得2a2+b2=12+12a2+b2≥(a+b)2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時等號成立，從而2a2+b2-2≥2，即fa2+fb2≥2，故fa2+fb2的最小值為2．