分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用

熊瑞賓

隨著素質教育的深入、普通高中新課程標準的實施，要求高中數(shù)學老師在教學過程中將培養(yǎng)學生的實際能力放在首位.這對于教師固有的教學思想提出了一定的挑戰(zhàn).本文探討的是分類討論的數(shù)學思想.學生在解題時運用這種思想方法，可以將問題化難為易、化繁為簡.

一、對分類討論思想的認識

1.分類討論思想的原理

在數(shù)學上經(jīng)常會有這種情況：一道題因為受條件的限制，答案存在多種情況.在這種情況下，就要對題中的條件進行分析，然后加以分類，再逐步分類求解，最后再進行綜合得出解.這就是通常意義上的分類討論法.分類討論法，是一種邏輯性很強的方法，它體現(xiàn)了化整為零、集零為整的思想.因為分類討論法極具綜合性、探索性，能夠訓練學生的思維能力，所以它在數(shù)學題的解題中有廣泛的應用.[1]

2.分類討論法的要求

在使用分類討論法時，一般需要滿足兩個條件：一是要保證分類不遺漏；二是要保證分類不重復.在同時滿足這兩個條件時，才能科學、準確地使用分類討論的方法.

3.分類討論思想的原則

在使用分類討論法時，必須遵循一定的原則進行.一般來說，我們在整個中學階段使用以下四個原則：同一性原則、互斥性原則、相稱性原則、層次性原則.同一性原則，即分類時要按照同一標準；互斥性原則，即分類后的每個子項目之間互不干涉互不相容；相稱性原則，即分類的部分總和應當與沒有分類前的總和相同；層次性原則，即分類要分層，有一級層次和二級層次之分.

二、分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用

例1若函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

解析：設函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，就是相當于函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x+a的圖象有兩個交點.

由圖象可知，當01時，因為函數(shù)y=ax（a>1）的圖象過點（0，1），而直線y=x+a的圖象與y軸的交點一定在點（0，1）的上方，所以一定有兩個交點.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是a>1.

例2已知雙曲線的漸近線方程為y=±34x，則雙曲線的離心率為.

解析：（1）當雙曲線焦點在x軸上時，

ba=34.

∴b2a2=c2-a2a2=e2-1=916.

∴e2=2516，e=54.

（2）當雙曲線焦點在y軸上時，

ba=43.

∴b2a2=c2-a2a2=e2-1=169.

∴e2=259， e=53.

綜上，所求離心率的值為53或54.

通過對上述例子的分析，不難看出在利用分類討論的思想解決問題時，一定要謹慎，因為某一部分的出錯，可能會導致整個運算的錯誤.當然，能夠運用到分類討論法的題型還是相當多的，在這里就不一一列舉了.

總之，分類討論的思想在多個學科中都有十分廣泛的應用.教師在培養(yǎng)學生的解題能力時，要在日常的教學過程中，慢慢地將這種方法滲透給學生，并注意讓學生自己多在解題實踐中進行運用.

參考文獻：

[1]樸希蘭. 分類討論思想在高中數(shù)學教學中的應用[D].延邊大學，2015.

[2]邵建平. 分類討論思想在高中數(shù)學中的應用[J]. 數(shù)理化學習，2011，（10）：2-3. [2017-09-15].