山羊蹄底部非規(guī)則曲面仿生形貌數(shù)學(xué)模型構(gòu)建及驗(yàn)證

張 伏，王亞飛，馬田樂(lè)，王甲甲，徐銳良，郭志軍

（1.河南科技大學(xué)農(nóng)業(yè)裝備工程學(xué)院，洛陽(yáng) 471003；2.機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，洛陽(yáng) 471003；3.河南科技大學(xué)車(chē)輛與交通工程學(xué)院，洛陽(yáng) 471003）

0 引 言

隨著農(nóng)業(yè)自動(dòng)化發(fā)展，農(nóng)業(yè)機(jī)器人的研究得到眾多學(xué)者的重視[1-6]。目前應(yīng)用于農(nóng)業(yè)的可移動(dòng)機(jī)器人主要有履帶式、輪式和足式[7]，履帶式機(jī)器人通過(guò)性強(qiáng)但靈活差[8]，輪式機(jī)器人移動(dòng)快但越障能力差[9]，足式機(jī)器人具有良好的越障能力和運(yùn)動(dòng)靈活性[10]。用于農(nóng)業(yè)的足式機(jī)器人有四足機(jī)器人、六足機(jī)器人和八足機(jī)器人，因六足、八足機(jī)器人相對(duì)于四足機(jī)器人具有較多冗余性[11-12]，目前用于農(nóng)業(yè)的足式機(jī)器人中四足機(jī)器人較多，但在農(nóng)業(yè)作業(yè)時(shí)，由于農(nóng)業(yè)地面環(huán)境復(fù)雜，對(duì)四足機(jī)器人的行走穩(wěn)定性要求高，而四足機(jī)器人的足端形狀是影響其穩(wěn)定行走的關(guān)鍵因素之一[13-14]。四足機(jī)器人的足有平底形腳掌、圓柱形腳掌、球形腳掌、仿生腳掌；平底形腳掌、圓柱形腳掌、球形腳掌作為足式機(jī)器人足端結(jié)構(gòu)，存在防滑性差，不能適應(yīng)復(fù)雜地形的情況，而仿生腳掌以自然界動(dòng)物腳掌為仿生原型，相對(duì)于其他形狀的腳掌而言，具有對(duì)地面環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)、行走阻礙小、越障性能好的特點(diǎn)[15-16]。在仿生足研究領(lǐng)域，相關(guān)學(xué)者做了大量研究，并取得豐碩的成果。吉林大學(xué)的佟金等[17]以黃牛為研究對(duì)象，分析黃牛在水稻田行走步態(tài)和牛蹄與土壤的作用力。西南科技大學(xué)的蔡楷旋[18]以黃牛為仿生對(duì)象，研究仿牛四足機(jī)器人，并對(duì)仿牛腳掌與地面接觸進(jìn)行仿真，仿牛腳掌比半球形腳掌機(jī)器人行走阻礙小。吉林大學(xué)的張銳等[19-20]以鴕鳥(niǎo)為仿生對(duì)象，研究鴕鳥(niǎo)足底非規(guī)則曲面形貌用于仿生巡視器車(chē)輪，得出仿生輪的牽引力提高。吉林大學(xué)的王驥月等[21-22]以山羊?yàn)榉律鷮?duì)象，研究山羊蹄匣用于仿生減震設(shè)計(jì)，仿生減振緩沖足受到?jīng)_擊力的峰值小于普通減振緩沖足。本文從自然界獲取靈感，以山地動(dòng)物——山羊?yàn)榉律?，結(jié)合工程仿生學(xué)技術(shù)，研究山羊在復(fù)雜地形穩(wěn)定行走機(jī)理，有助于解決農(nóng)業(yè)四足機(jī)器人在復(fù)雜地形行走穩(wěn)定性差、越障能力差的問(wèn)題。

山羊作為一種典型的山地動(dòng)物，在崎嶇地形的行走能力令人矚目，且體型適中，四肢強(qiáng)勁有力；可自主選擇最佳落足點(diǎn)，進(jìn)行跨越運(yùn)動(dòng)；行走步態(tài)敏捷輕快，適于長(zhǎng)距離運(yùn)動(dòng)[23-25]。此外，山羊經(jīng)常在凹凸不平的地面上行走，四肢蹄掌表面進(jìn)化出能適應(yīng)不同地表的幾何形狀，且蹄掌附著能力較強(qiáng)[26-28]。山羊蹄底部特征形貌是其在復(fù)雜地形環(huán)境穩(wěn)定行走的關(guān)鍵因素之一，研究山羊蹄底部形貌并結(jié)合仿生學(xué)原理設(shè)計(jì)仿生足，可改善農(nóng)業(yè)四足機(jī)器人的行走穩(wěn)定性和越障性能。因此，本文以山羊足為仿生原型，研究一種在復(fù)雜地形行走時(shí)適應(yīng)性強(qiáng)、越障性能好的仿生足并將其應(yīng)用于農(nóng)業(yè)四足行走機(jī)器人，對(duì)解決農(nóng)業(yè)四足機(jī)器人在崎嶇地形難以穩(wěn)定行走的問(wèn)題具有重要意義[29-31]。

本研究基于逆向工程技術(shù)，獲取山羊蹄底部非規(guī)則曲面三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件采用數(shù)據(jù)擬合的方法對(duì)山羊蹄底部曲面進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

1 山羊蹄底部非規(guī)則曲面模型重構(gòu)

1.1 山羊蹄底部曲面幾何模型

為獲取山羊蹄底部曲面幾何模型，選取 6個(gè)月的雄性波爾山羊蹄，為便于掃描，在山羊蹄底部噴FA-5反差增強(qiáng)劑并粘貼啞光黑圓點(diǎn)標(biāo)記點(diǎn)，如圖1a所示。為得到山羊蹄的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，將試驗(yàn)所用的山羊蹄放在自動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)上，采用天津微深科技有限公司的 VTOP系列三維掃描儀（如圖1b所示）對(duì)山羊蹄進(jìn)行掃描。

圖1 試驗(yàn)材料與設(shè)備Fig. 1 Experimental materials and equipment

掃描得到的山羊三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)如圖2a所示。由于三維掃描儀掃描時(shí)會(huì)掃到山羊蹄周?chē)奈矬w，因此得出的模型有噪聲點(diǎn)和體外孤點(diǎn)。此外，由于山羊蹄表面凹凸不平，部分區(qū)域三維掃描儀較難掃描，出現(xiàn)漏洞等缺陷，須借助逆向工程軟件 Geomagic Studio 對(duì)模型進(jìn)行修復(fù)工作才能得出理想的山羊蹄幾何模型。把三維掃描儀掃描得到的山羊蹄三維點(diǎn)云模型保存為.ASC文件，然后導(dǎo)入到Geomagic Studio軟件中，利用Geomagic Studio軟件中的刪除噪聲點(diǎn)、體外孤點(diǎn)功能刪去模型周邊的雜點(diǎn)。通過(guò)封裝，把點(diǎn)云數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為由三角形組成的曲面模型，利用軟件中的網(wǎng)格醫(yī)生自動(dòng)診斷功能自動(dòng)識(shí)別山羊蹄模型需要修復(fù)的區(qū)域，并逐個(gè)對(duì)各個(gè)區(qū)域進(jìn)行補(bǔ)漏洞、去除尖點(diǎn)操作，用去除特征、松弛網(wǎng)格、填充孔、銳化等命令對(duì)模型處理，處理結(jié)果如圖2b所示。把點(diǎn)云數(shù)據(jù)多邊形處理結(jié)果切換到精確曲面，進(jìn)行創(chuàng)建曲面、柵格處理等一系列操作直至獲取完整模型，模型如圖2c所示。

圖2 山羊蹄幾何模型處理Fig. 2 Geometric modeling of goat’s hoof

對(duì)模型進(jìn)行偏差分析，分析結(jié)果如圖3所示，3D偏差的最大值范圍為-6.098 9～+6.099 6 mm，平均值為-0.856 6～+0.678 3 mm，標(biāo)準(zhǔn)偏差為1.402 2 mm。

由圖3可知，山羊蹄底部模型的偏差主要集中在-0.305 0～+0.305 0 mm之間，部分偏差范圍為+0.305 0～+1.270 8 mm和-0.305 0～-1.270 8 mm，以及少數(shù)偏差范圍為+1.270 8～+2.236 5 mm；在仿生設(shè)計(jì)時(shí)主要對(duì)山羊蹄底部非規(guī)則曲面進(jìn)行設(shè)計(jì)，而模型底部的偏差相對(duì)于試驗(yàn)所用的山羊蹄底部長(zhǎng)5.3 cm、寬3.8 cm和厚2.8 cm而言，滿(mǎn)足工程設(shè)計(jì)上的允許誤差范圍±5%[32]，因此，山羊蹄幾何模型處理結(jié)果滿(mǎn)足工程仿生設(shè)計(jì)需求。

山羊蹄為偶形蹄，蹄底部為非規(guī)則曲面，據(jù)此，在Geomagic Studio 軟件中對(duì)蹄底部分別處理，分為左側(cè)和右側(cè)。利用Geomagic Studio軟件中的曲線切割功能對(duì)山羊蹄實(shí)現(xiàn)分割，獲取的2個(gè)曲面如圖4所示。

從分離出的 2個(gè)曲面形狀發(fā)現(xiàn)，從山羊蹄底部上側(cè)看，山羊蹄底部左側(cè)部分呈現(xiàn)中間向上凸起，兩側(cè)向下凹陷，在蹄尖和蹄跟處凸起，山羊蹄底部右側(cè)部分呈現(xiàn)中間凸起，往兩端逐漸下凹。以上山羊蹄底部曲面形狀是其長(zhǎng)期在凹凸不平的地面上行走，進(jìn)化出能適應(yīng)不同地表的幾何形狀，此種蹄底部非規(guī)則曲面是山羊在崎嶇地面穩(wěn)定行走的關(guān)鍵因素之一。

圖4 山羊蹄底部非規(guī)則曲面模型Fig.4 Irregular surface model of goat’s hoof

1.2 山羊蹄底部曲面點(diǎn)云處理

在Geomagic Studio軟件中把2個(gè)分割好的由三角形組成的曲面轉(zhuǎn)化為點(diǎn)云模型，并分別保存為.igs格式文件。把2個(gè)曲面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Catia軟件的數(shù)字化設(shè)計(jì)（Digitized Shape Editor）模塊中，對(duì)曲面點(diǎn)云進(jìn)行過(guò)濾處理。由于點(diǎn)云的數(shù)據(jù)量會(huì)影響后續(xù)曲面擬合的運(yùn)算速度，且保留能體現(xiàn)山羊蹄底部曲面形貌的特征點(diǎn)，并以.txt文件格式導(dǎo)出2個(gè)曲面的特征點(diǎn)云三維坐標(biāo)。

對(duì) 2個(gè)曲面分別進(jìn)行非均勻過(guò)濾處理，過(guò)濾前后點(diǎn)云如圖5所示，其中圖5a和5b為過(guò)濾前的2個(gè)曲面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)圖，數(shù)據(jù)點(diǎn)分別為5 059個(gè)、5 353個(gè)；圖5c和圖5d為過(guò)濾后2個(gè)曲面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)圖，數(shù)據(jù)點(diǎn)分別為581個(gè)、497個(gè)。過(guò)濾后的點(diǎn)云數(shù)據(jù)大量減少，但從點(diǎn)云圖形看，山羊蹄底部 2個(gè)曲面的形狀特征依然清晰，點(diǎn)云過(guò)濾未影響2個(gè)曲面的形貌特征。

圖5 山羊蹄底部2個(gè)曲面點(diǎn)云過(guò)濾前后對(duì)比圖Fig. 5 Comparison diagram of 2 curved surface patches at bottom of goat’s hoofs

2 山羊蹄底部曲面數(shù)學(xué)模型

山羊蹄底部的 2個(gè)曲面從外觀上看不符合固定的數(shù)學(xué)模型，因此采用多項(xiàng)式擬合方式對(duì)其進(jìn)行擬合。Matlab 2014自帶工具箱（toolboxes），利用工具箱里的曲面擬合（cftool）對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。

2.1 山羊蹄底部左側(cè)數(shù)學(xué)模型

把山羊蹄左側(cè)點(diǎn)云數(shù)據(jù)導(dǎo)入到 Matlab軟件中，以x和y為自變量，以z為因變量，以多項(xiàng)式擬合曲面特征點(diǎn)云。在Matlab軟件的cftool擬合模塊中，選取多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，同時(shí)選擇x，y的次冪數(shù)，x，y的次冪數(shù)值越高，曲面擬合的精度越高，但曲面的復(fù)雜程度也越高。由于建立數(shù)學(xué)模型要用于仿生四足機(jī)器人足端上，因此擬合時(shí)不僅考慮擬合精度，還要考慮模型復(fù)雜程度。精度不高模型失去其原有特征，復(fù)雜程度大會(huì)增加加工成本，綜合2個(gè)因素考慮。x，y不同指數(shù)的擬合結(jié)果如表1所示。

表1 不同指數(shù)自變量左側(cè)面的擬合結(jié)果Table 1 Fitting results of left side bottom for different index of independent variable

由分析表1可知，隨著x和y的指數(shù)不斷增加，對(duì)點(diǎn)云的三維坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行的Matlab多項(xiàng)式曲面擬合的殘差平方（SSE）和均方差（RMSE）的值在不斷減小，決定系數(shù)（R2）在不斷增加，說(shuō)明隨著x，y的指數(shù)增大，擬合的曲面越接近實(shí)際曲面的形貌特征。但在x，y的指數(shù)增大到3以后，每增加1個(gè)自變量的指數(shù)，SSE、RMSE、R2數(shù)值變化不大，如當(dāng)x，y的指數(shù)由x3y3增加到x4y3時(shí)，殘差平方（SSE）由359減小到219.8，均方差（RMSE）由0.792 7減小到0.622 6，決定系數(shù)由0.988 9增加到0.993 2；如當(dāng)x，y的指數(shù)由x3y3增加到x3y4時(shí)，殘差平方（SSE）由359減小到326.6，均方差（RMSE）由0.7 927減小到0.759，決定系數(shù)由0.988 9增加到0.989 9。繼續(xù)增加次數(shù)冪，結(jié)果參數(shù)會(huì)變得更小，但曲面的復(fù)雜程度會(huì)大大增加。當(dāng)指數(shù)都為 3時(shí)，曲面擬合結(jié)果為SSE=359，RMSE=0.792 9，R2=0.988 9，決定系數(shù)接近1，對(duì)于復(fù)雜的生物表面擬合結(jié)果來(lái)說(shuō)，擬合精度符合擬合要求。綜上，x，y的指數(shù)都選擇3為自變量。山羊蹄左側(cè)曲面的擬合方程為：

殘差平方（SSE）=359；均方差（RMSE）=0.792 9；決定系數(shù)（R2）=0.988 9。

山羊蹄左側(cè)曲面Matlab擬合曲面如圖6所示。

圖6 山羊蹄底部左側(cè)擬合曲面Fig. 6 Fitting surface of goat’s left hoof bottom

2.2 山羊蹄底部右側(cè)數(shù)學(xué)模型

采用同樣的方法在Matlab軟件中對(duì)山羊蹄底部右側(cè)曲面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行曲面擬合，同樣考慮精度和加工復(fù)雜程度。x，y不同指數(shù)的擬合結(jié)果如表2所示。

表2 不同指數(shù)自變量右側(cè)面的擬合結(jié)果Table 2 Fitting results of right side bottom for different index of independent variable

分析表2可知，隨著x和y的指數(shù)不斷增加，擬合的曲面的殘差平方（SSE）和均方差（RMSE）的值在不斷減小，決定系數(shù)（R2）在不斷增加，說(shuō)明隨著x，y的指數(shù)增大，擬合的曲面越接近實(shí)際曲面的形貌特征。但在x，y的指數(shù)增大到3以后，每增加1個(gè)自變量的指數(shù)，SSE、RMSE、R2數(shù)值變化不大，如當(dāng) x，y的指數(shù)由 x3y3增加到x4y3時(shí)，殘差平方（SSE）由256.2減小到241.5，均方差（RMSE）由0.725 3減小到0.707 1，決定系數(shù)R2由0.987 9增加到0.988 2；當(dāng)x，y的指數(shù)由x3y3增加到x3y4時(shí)，殘差平方（SSE）由256.2減小到201.1，均方差（RMSE）由0.725 3減小到0.645 3，決定系數(shù)由0.987 9增加到0.990 5。繼續(xù)增加次數(shù)冪，結(jié)果參數(shù)變得更小，但曲面復(fù)雜程度大大增加。當(dāng)指數(shù)都為 3時(shí)，曲面擬合結(jié)果為SSE=256.2，RMSE=0.725 3，R2=0.987 9，決定系數(shù)接近1，對(duì)于復(fù)雜的生物表面擬合結(jié)果來(lái)說(shuō)，擬合精度較高，符合擬合要求。綜上，x，y的指數(shù)均選擇3為自變量。山羊蹄右側(cè)曲面擬合方程為：

殘差平方（SSE）=256.2；均方差（RMSE）=0.725 3；決定系數(shù)（R2）=0.987 9。

山羊蹄右側(cè)曲面Matlab擬合曲面如圖7所示。

圖7 山羊蹄底部右側(cè)擬合曲面Fig. 7 Fitting surface of goat’s right hoof bottom

2.3 數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證山羊蹄底部非規(guī)則曲面數(shù)學(xué)模型，選取建模之外的同種山羊的 3個(gè)蹄作為驗(yàn)證樣本，對(duì)樣本進(jìn)行噴FA-5反差增強(qiáng)劑并粘貼啞光黑圓點(diǎn)標(biāo)記點(diǎn)，并用三維掃描儀獲取三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，然后把點(diǎn)云數(shù)據(jù)導(dǎo)入Geomagic Studio進(jìn)行點(diǎn)、多邊形、精確曲面等一系類(lèi)處理得到樣本三維模型，把得到的特征曲面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Catia軟件的數(shù)字化設(shè)計(jì)（Digitized Shape Editor）模塊中，對(duì)曲面點(diǎn)云進(jìn)行處理，并以.txt文件格式導(dǎo)出特征曲面的點(diǎn)云三維坐標(biāo)。將得到的 3個(gè)驗(yàn)證樣本的特征曲面的 x和 y坐標(biāo)值分別代入所建的數(shù)學(xué)模型中，對(duì)數(shù)學(xué)模型擬合值和原坐標(biāo)值進(jìn)行分析得到殘差和相對(duì)誤差，結(jié)果如表 3所示。

表3 不同山羊蹄特征曲面模型擬合值與實(shí)際值對(duì)比分析Table 3 Comparison analysis between fitting values and actual values of characteristic surface of different goat's hoof

分析表3可知，文中所建立的2個(gè)數(shù)學(xué)模型的計(jì)算值與實(shí)際值的一致性良好，相對(duì)誤差均小于10%，模型1和模型2的相對(duì)誤差的最大值分別為8.63%和9.58%，相對(duì)誤差均值分別為4.32%和4.73%，相對(duì)誤差均值滿(mǎn)足工程設(shè)計(jì)允許的誤差范圍±5%[33]，驗(yàn)證了文中所構(gòu)建的山羊蹄底部非規(guī)則曲面數(shù)學(xué)模型的有效性。

3 結(jié) 論

1）通過(guò)三維掃描儀掃描獲取了山羊蹄底部的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，通過(guò)Geomagic Studio軟件對(duì)山羊蹄底部點(diǎn)云經(jīng)過(guò)點(diǎn)、多邊形、精確曲面處理，對(duì)處理結(jié)果進(jìn)行3D偏差分析，偏差最大值范圍為-6.098 9～+6.099 6 mm，平均值為-0.856 6～+0.678 3 mm，標(biāo)準(zhǔn)偏差為1.402 2 mm。

2）通過(guò)Geomagic Studio軟件對(duì)山羊蹄底部進(jìn)行劃分，得到山羊蹄底部左側(cè)曲面和右側(cè)曲面，把曲面點(diǎn)云數(shù)據(jù)導(dǎo)入Catia軟件進(jìn)行過(guò)濾并導(dǎo)出點(diǎn)云數(shù)據(jù)的三維坐標(biāo)；利用Matlab軟件曲面擬合功能，對(duì)山羊蹄底部2個(gè)曲面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得出擬合后圖形和擬合方程。山羊蹄底部左側(cè)曲面的擬合方程為：

且殘差平方（SSE）=359；均方差（RMSE）=0.792 9；決定系數(shù)（R2）=0.988 9。山羊蹄底部右側(cè)曲面的擬合方程為：

且殘差平方（SSE）=256.2；均方差（RMSE）=0.725 3；決定系數(shù)（R2）=0.987 9。

3）本研究完成了山羊蹄底部非規(guī)則曲面形貌數(shù)學(xué)模型構(gòu)建與驗(yàn)證，獲取了 2個(gè)數(shù)學(xué)方程表達(dá)式，并選取建模之外的同種山羊的3個(gè)蹄對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明：模型1和模型2的相對(duì)誤差均值分別為4.32%和4.73%，滿(mǎn)足工程設(shè)計(jì)允許的誤差范圍±5%。