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    把握數(shù)量關(guān)系,凝練比例思想

    2018-08-20 10:05:38王焱烽
    數(shù)學教學通訊·小學版 2018年5期
    關(guān)鍵詞:實證數(shù)量關(guān)系有效教學

    王焱烽

    摘 要:在“解決問題”的教學中,教師應做到在分析數(shù)量關(guān)系的同時,注重解決問題策略的運用與概括,幫助學生找到解決問題的思路,獲得關(guān)于問題解決的一般方法,取得數(shù)量關(guān)系運用與解決問題策略相得益彰的教學效果。本文以一道“用比例解決問題”錯題的教學改進實證活動為例,闡明教師應借助問題解決過程,充分給予學生感知、運用數(shù)量關(guān)系的機會,讓學生借助數(shù)量關(guān)系這一已有經(jīng)驗,體驗比例思想在解決問題中的優(yōu)越性,從而順利接納比例思想方法。

    關(guān)鍵詞:數(shù)量關(guān)系;解決問題;有效教學;比例思想;實證

    當前,“解決問題”教學中有關(guān)“轉(zhuǎn)化”“列表”等“策略與方法”的研究不勝枚舉,但對其中蘊含的“數(shù)量關(guān)系”的實踐活動關(guān)注不多,存在著思想上忽視、教學上弱化的現(xiàn)象。在具體教學中,數(shù)量關(guān)系教學缺乏與數(shù)學思想方法的緊密結(jié)合,導致學生解決問題的表現(xiàn)不如人意。作為曾經(jīng)是“應用題”教學核心的“數(shù)量關(guān)系”,我們在“解決問題”的教學中,應該發(fā)揮其應有的功能,做到在分析數(shù)量關(guān)系的同時,注重解決問題策略的運用與概括,幫助學生找到解決問題的思路,獲得關(guān)于問題解決的一般方法,達成數(shù)量關(guān)系與解決問題策略相得益彰的教學效果。

    下面,筆者以六年級“用比例解決問題”中一道應用比例思想解決問題的錯題為例,談談對這方面的思考。

    一、錯題再現(xiàn)

    錯題:在10千米賽跑中,假設甲、乙、丙三人的速度保持不變,當甲到達終點時,乙還距終點2千米,丙還距終點4千米。當乙到達終點時,丙還距終點多少千米?

    該題從難易程度來看屬于較難題,錯誤人數(shù)占班級總?cè)藬?shù)的40%左右。有學生認為:當乙到達終點時,丙還距終點2km(圖1)。也有學生通過畫圖,認為“2km”是正確的(圖2)。

    僅有的個別學生的正確解答則以算術(shù)方法、假設法居多。(圖3、圖4)

    二、訪談分析

    學生剛學過的比例方法為何沒能為學生帶來解決問題的啟發(fā)呢?筆者對此進行了訪談。

    師:為什么是2千米呢?

    生1:因為甲、乙、丙三人的速度保持不變,所以當甲到達終點時,乙還差甲2km,丙就應該差乙2km,所以丙還距終點2千米。

    師:你用了假設的方法,你是怎么想的?

    生2:假設它們都跑了1小時,這樣就可以算出它們的速度分別是多少了。用路程=速度×時間,就可以算出他們分別跑了多少千米。也就能算出丙還距終點多少千米了。

    師:你覺得能用比例的方法嗎?

    生2:應該可以吧。速度一定,時間和路程成反比例。

    師:為什么沒試試用比例的想法去做呢?

    生2:我覺得算式往往比解比例要簡便。

    生3:比例雖然也能解答,但是還要寫“解、設”什么的,麻煩了些。

    師:你覺得能用比例方法來解答嗎?

    生4:我感覺好像找不到成比例的量。成什么比例?。窟@道題有點難。

    ……

    從學生訪談來看,面對“用比例解決問題”這個學習內(nèi)容時,學生的學習態(tài)度與接受該知識的學習表現(xiàn)、錯誤原因不盡相同。其中,無法準確判斷成什么比例關(guān)系、認為運用比例方法不方便且無法正確運用其他方法解決問題,是導致錯誤的主要原因。

    1. 教學的角度,課堂教學沒有讓學生體驗到用比例解決問題的優(yōu)越性。

    用正、反比例關(guān)系解決問題,對于學生來說并不陌生。如:

    這批書如果每包20本,要捆18包。如果每包30本,要捆多少包?

    學生在面對這道題時,很自然地提取原有知識經(jīng)驗:“先求一共有多少本書,再求可捆多少包”。對學生來說,利用歸一、歸總方法解決這類問題,方便又正確?!皩W生的計算通常是在保證結(jié)果正確的基礎上更傾向于使用自己熟悉的方法”,這在一定程度上也反映了學生在“解決問題”中的真實心理。

    于是,在利用比例知識解決問題時,自然也就產(chǎn)生了“為什么就不能用原來的方法解答”的想法。若教師在課堂上一味否定舊方法,沒有讓學生充分感受用比例解決問題的優(yōu)越性,往往會加劇學生排斥新方法的心理,使教學陷入尷尬。

    2. 學習的角度,學生不能順利分析數(shù)量關(guān)系,不能用比例思想解決問題。

    經(jīng)教學實踐觀察,學生單獨用正比例或反比例關(guān)系解題困難不大。但隨著學習的深入,兩種關(guān)系的問題會同時出現(xiàn),此時因無法正確區(qū)分題中數(shù)量關(guān)系究竟是正比例還是反比例關(guān)系而導致錯誤頻發(fā)。用比例關(guān)系解題,學生容易產(chǎn)生“用不好”“用不對”的心理。于是,轉(zhuǎn)而利用原先的算術(shù)方法解答。

    學生用比例知識解決問題時,首先要能夠正確找出兩種相關(guān)聯(lián)的量,判斷它們成什么比例。如果不能順利提煉兩個相關(guān)的量,并分析數(shù)量關(guān)系,也就意味著他很難再繼續(xù)利用比例的思想來解決問題。

    3. 知識本身的角度,知識綜合性較強,用比例解決問題的思想較難感悟與建立。

    比例、正比例、反比例是本單元學習的基本概念。比例的相關(guān)知識以及比例的應用,都有賴于對這些概念的理解和掌握。解答含正反比例關(guān)系的實際問題,學生需要用到多種知識,需要調(diào)用的思維經(jīng)驗也比較豐富。如比例的概念與比、除法、分數(shù)等相關(guān)知識,解比例及用比例方法解決問題,要用到方程的相關(guān)知識。學習中,既要聯(lián)系新舊知識,又要綜合運用知識,體驗用比例解決問題這一新思想、新策略帶給解決問題的長處。但由于思想的抽象,學生較難感悟與建立。

    三、改進過程

    一種思想的建立,既需要教師的有效教學作為,也需要學生的積極自我體驗。如何讓學生運用已有的數(shù)量關(guān)系認識,突破認知桎梏,體驗全新思想,感悟比例思想呢?

    第一層次:把握數(shù)量關(guān)系,體驗比例方法的優(yōu)越性。

    練習1:張大媽家上個月用了8噸水,水費是12.8元。李奶奶家則用了10噸水。李奶奶家上個月的水費是多少元?

    小結(jié):用比例方法解決問題時,先要找出是哪些數(shù)量,這些數(shù)量有什么關(guān)系,再根據(jù)同一種數(shù)量關(guān)系來列式。

    練習2:一個曬鹽場用100g海水可以曬出9g鹽。照這樣計算,如果一塊鹽田一次放入585000噸海水,可以曬出多少噸鹽?多少噸海水可以曬出9噸鹽?

    總結(jié):運用舊方法,需要轉(zhuǎn)化單位名稱,“噸”和“g”之間的換算并不容易。運用新方法:不受單位名稱的影響,只要運用相同的數(shù)量關(guān)系列出比例式,就能使計算變得方便、簡潔。

    第二層次:感悟比例思想,豐富解決問題策略。

    1. 填空:

    甲、乙兩人完成同一項工作,甲、乙的工作時間比是3∶4,工作效率比是( )∶( )。

    甲、乙兩人同時從A、B兩地出發(fā),相向而行,甲、乙的速度比是3∶2,甲、乙兩人所行的路程比是( )∶( )。

    2. 小結(jié):有些題目中雖然沒有具體的數(shù)量,但可以通過尋找數(shù)量間的比例關(guān)系解決問題。

    3. 思考:服裝廠計劃每天加工100套服裝,20天完成。由于改進了技術(shù),計劃每天做的是實際的4/5,實際需要幾天完成?

    生1:解:設實際需要x天完成。

    總結(jié):根據(jù)題中條件可知,數(shù)量關(guān)系是:工作總量=工作效率×工作時間。工作總量一定,工作時間與工作效率成反比,20×4/5的算法中蘊含了比例的思想方法。

    第三層次:糾正錯誤認識,總結(jié)問題解決經(jīng)驗。

    出示:在10千米賽跑中,假設甲、乙、丙三人的速度保持不變,當甲到達終點時,乙還距終點2千米,丙還距終點4千米。當乙到達終點時,丙還距終點多少千米?

    1. 反饋:

    生1:4-2=2千米。

    生2:假設甲花了2小時到達終點。

    乙:(10-2)÷2=4千米/時,

    10÷4=2.5小時。

    丙:(10-4)÷2=3千米/時,

    10-3×2.5=2.5千米。

    生3:解:設乙到終點后丙跑了x千米,

    6∶8=x∶10

    x=7.5

    10-7.5=2.5千米。

    生4:10∶8∶6=5∶4∶3,

    2÷4×3=1.5千米,

    4-1.5=2.5千米。

    2. 引導:

    師:除了用假設法,嘗試用比例的想法解答。從題中可以知道,三人的速度保持不變,還有什么也是不變的?也就是說,時間一定,什么和什么成什么比例關(guān)系?

    3. 總結(jié):

    (1)有些習題用比例方法解答比較方便。

    (2)解決問題的方法,可以是算術(shù)方法、方程方法,也可以用比例解答,更可以在解題過程中運用比例的思想來解答。

    (3)在解決問題時,要懂得靈活選用合適的方法。

    四、 實踐反思

    首先,在數(shù)學學習中,學生對一種新知識、新思想的理解、內(nèi)化,直至自如應用,具有過程性。本次干預過程,并不是一次完成的,分階段、緩坡度,體現(xiàn)了錯題干預的過程性特點。面對糾錯,教師需要有通盤的教學設計。既要懂得承前:分析學情,立足舊知,打下扎實的前期學習基礎;又要懂得啟后,為后續(xù)運用知識提供學習、思考的能力保證。

    其次,方程、比例等問題解決方法,其實都蘊含了豐富的數(shù)量關(guān)系。在教學中,教師應該通過實例,借助問題解決過程,充分給予學生體驗數(shù)量間關(guān)系的機會。以本文所舉為例,學生在解決過程中體驗比例思想解決問題的優(yōu)越性,有助于學生完善解決問題的策略。數(shù)量關(guān)系,因有比例的思想方法引領而得以進一步被學生把握、理解;比例思想方法,則因有數(shù)量關(guān)系這一已有經(jīng)驗的根基,使學生得以順利接納,成為其新的認知結(jié)構(gòu)與問題解決策略。顯然,這為學生日后“善于在任何情況下選擇適當?shù)姆椒?,從中找出解決問題最便捷、可靠的途徑”提供了豐富而深刻的活動經(jīng)驗,學生也由此經(jīng)歷有意義的學習生長過程。

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