用“教學(xué)環(huán)”策略實施閱讀材料探究教學(xué)例說

黃國穩(wěn)　胡凱林

人教版高中數(shù)學(xué)教材中的閱讀材料（注：本文特指教材中考綱要求之外的“閱讀與思考”內(nèi)容）是重要的課程資源，內(nèi)容極為豐富，用來課外閱讀可以拓寬學(xué)生視野、激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，用來課內(nèi)拓展教學(xué)則有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.從必修1到必修5，教材中總共有40個閱讀材料，大致包含四類內(nèi)容：一種是史學(xué)類內(nèi)容，主要介紹著名數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)史上的重要貢獻；一種是正文拓展類內(nèi)容，是對教材正文知識的補充和延伸；一種是數(shù)學(xué)應(yīng)用類內(nèi)容，主要包括數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用及利用信息技術(shù)解決數(shù)學(xué)問題；一種是思想方法類內(nèi)容，主要是以數(shù)學(xué)知識為載體，將數(shù)學(xué)的思想方法蘊涵于知識之中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)精神.對于史學(xué)類和數(shù)學(xué)應(yīng)用類閱讀材料，教師通常是讓學(xué)生課外自行閱讀；對于正文拓展類和思想方法類閱讀材料，鑒于它與正文知識的密切關(guān)聯(lián)，隱含重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師通常會把這些內(nèi)容放到拓展課當(dāng)中，在課堂中引導(dǎo)學(xué)生進行探究式學(xué)習(xí).下面我們以人教版必修4第一章第五節(jié)《函數(shù)[y=Asin（ωx+φ）]的圖象與性質(zhì)》的“閱讀與思考”閱讀材料教學(xué)為例，談?wù)勅绾芜\用“教學(xué)環(huán)”策略實施探究課教學(xué).

一、學(xué)情和教學(xué)內(nèi)容分析

本課“閱讀與思考”介紹了振幅、周期、頻率、相位等知識在音樂中的運用：聲音中包含正弦函數(shù)，美妙的音樂是由周期函數(shù)疊加而成，聲音的函數(shù)是[y=sinx+][12sin2x+][13sin3x+…].之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)[y=sinx]，[y=][cosx]以及[y=Asin（ωx+φ）]的圖象和性質(zhì)，對函數(shù)性質(zhì)的研究有一定思路，但是，讓學(xué)生對幾個特殊函數(shù)進行歸納、猜想、推理、論證去發(fā)現(xiàn)疊加函數(shù)的研究思路，仍然存在相當(dāng)難度.于是，我們決定讓學(xué)生從研究兩個周期函數(shù)疊加后的圖象和性質(zhì)入手，通過圖象推論聲音函數(shù)的性質(zhì)，逐漸累積經(jīng)驗，而且該內(nèi)容剛好可以作為函數(shù)[y=Asin（ωx+φ）]的圖象和性質(zhì)的自然延伸.另外，讓學(xué)生直接從代數(shù)角度去研究函數(shù)的性質(zhì)也不是一件容易的事，我們打算運用幾何畫板動態(tài)演示，讓學(xué)生先嘗試通過觀察圖象來猜測函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)周期性存在的條件，再嘗試運用代數(shù)方法推理論證.最終我們確定了如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會借助幾何畫板畫出圖象，觀察圖象后能猜想函數(shù)的性質(zhì)；2.能運用類比推理和歸納推理等思維方式，獲得研究的方法；3.懂得數(shù)學(xué)的結(jié)論需要通過代數(shù)推理論證；4.體會函數(shù)的實際運用，激發(fā)學(xué)習(xí)動力.

二、教學(xué)流程及操作策略解析

基于“教學(xué)環(huán)”理念，探究課的課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)和課后練習(xí)依然是一個有機的整體.課前任務(wù)導(dǎo)讀須緊扣上一課的教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)探究內(nèi)容的連續(xù)性；課堂學(xué)習(xí)意在充分發(fā)揮探究教學(xué)的作用，啟發(fā)學(xué)生動手、動腦，實現(xiàn)知識的自主建構(gòu)，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力；課后思考和練習(xí)既要鞏固本課探究學(xué)習(xí)的內(nèi)容，又要為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊，體現(xiàn)教學(xué)的環(huán)環(huán)相扣.

（一）課前任務(wù)導(dǎo)讀

本課任務(wù)導(dǎo)讀之導(dǎo)讀提綱已經(jīng)融入了上節(jié)課的課后思考題當(dāng)中，為本課導(dǎo)讀的任務(wù)主要包括下面兩個問題.

1.求函數(shù)[y=sinx+cosx]的定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性；

2.閱讀“閱讀與思考”，你學(xué)到了什么？結(jié)合你學(xué)到的知識，嘗試求函數(shù)[y=sinx+cos2x]的性質(zhì).

問題1主要是對上節(jié)課的復(fù)習(xí)；問題2是問題1的變式，也是本課研究[y=sinAx+cosBx]這類函數(shù)的特例，目的是引導(dǎo)學(xué)生從特例出發(fā)，學(xué)會歸納一般函數(shù)的性質(zhì).

（二）課堂知識探究和課后作業(yè)布置

通常而言，探究課的基本教學(xué)模式包括問題引入、探究實踐、展示交流、反思小結(jié)、布置作業(yè)5個教學(xué)環(huán)節(jié).

1.問題引入

由優(yōu)美動聽的音樂到高深莫測的疊加函數(shù)，這個認知跨度對學(xué)生來說是相當(dāng)巨大的.為了引領(lǐng)學(xué)生順利進入“音樂中的函數(shù)”思維狀態(tài)，我們決定運用音頻軟件直觀展示音樂的痕跡，把聲音圖象化，方便學(xué)生經(jīng)由直觀想象架接起音樂和數(shù)學(xué)函數(shù)之間的橋梁，順利進入對音樂中的函數(shù)現(xiàn)象的研究狀態(tài).

課堂上，教師先讓全班學(xué)生起立，集體唱校歌，并順手打開了千千靜聽音頻軟件，錄下了學(xué)生的歌聲這個音頻文件，然后給學(xué)生觀察播放中的音樂圖象（如圖1）.

師：看到這個圖象，大家想一想，它是不是有點兒像我們以前學(xué)過的哪個函數(shù)圖象？

生：好像有點像三角函數(shù)的圖象……

師：你能具體說說是像哪一種三角函數(shù)的圖象嗎？

生：像是正弦函數(shù)的圖象，但有些又不是……

師：為什么說“有些又不是”呢？

生：因為圖象的最高點不一致，且從局部看，周期不同.

師：有道理.不過，其實美妙的音樂是由幾個周期函數(shù)疊加而成的，聲音的函數(shù)是[y=sinx+12sin2x+][13sin3x+…].今天我們就來學(xué)習(xí)簡單的正、余弦函數(shù)如何形成復(fù)雜的疊加函數(shù)，如[y=sinAx+cosBx].

直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，本環(huán)節(jié)借助動態(tài)圖形，直觀展示了音樂流淌的痕跡，再通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生初步感知到圖形與函數(shù)的關(guān)系，同時發(fā)展數(shù)形結(jié)合思維.但是，這些初步的感知終歸是不可靠的，它需要代數(shù)思想的推理論證.鑒于聲音函數(shù)的研究難度較大，我們決定適當(dāng)降低問題的難度：用簡單的正、余弦函數(shù)為基礎(chǔ)，探究復(fù)雜函數(shù)（如一次疊加的周期函數(shù)）的形成.

2.探究實踐

由簡單函數(shù)到復(fù)雜函數(shù)，體現(xiàn)的是從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維過程.在正式研究該問題之前，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考研究的方法和目標(biāo)：先揭示研究的一般過程及方法，再提供類比推理的范例，最終由學(xué)生提出本課所要研究的具體問題及具體的研究方法.

師：形如[y=sinAx+cosBx]這類函數(shù)，我們學(xué)過嗎？

生：學(xué)過.

師：請問你在哪里見過？

生：當(dāng)[A≠0，B=0]時，它可以變成我們學(xué)過的正弦型函數(shù)[y=sinAx]；當(dāng)[A=0，B≠0]時，它就成了余弦型函數(shù)[y=cosBx]；當(dāng)[A=B]時，可以利用輔助角公式把該函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)[y=sin（ωx+φ）].

師：很好！你對系數(shù)做了充分的討論，那你對于系數(shù)[A]，[B]還有什么要求嗎？

生：我覺得應(yīng)該研究當(dāng)[A≠B]，且[AB≠0]的時候……

師：好，那我們就研究函數(shù)[y=sinAx+cosBx]（其中[A≠B]，且[AB≠0]）.那具體研究什么問題呢？請大家回憶一下，以前我們在學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的時候，都研究了哪些問題？

生：研究了它們的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性.

師：我們是如何研究的？

生：通過圖象來研究.

師：那么，對這類函數(shù)，能畫出圖象來嗎？

生：不好畫……

師：用之前“五點法”畫函數(shù)圖象的辦法來畫這類復(fù)雜函數(shù)，確實有點困難.不過，大家可以用上咱們手頭的平板電腦.好了，現(xiàn)在每4人一組，試著用幾何畫板軟件來畫出這個函數(shù)的圖象，然后再通過這個復(fù)雜函數(shù)的圖象來研究它的性質(zhì)吧.

回顧過去，是為了研究現(xiàn)在.在上面的師生對話中，學(xué)生的分析能力是相當(dāng)不錯的，基本能夠按照教師的預(yù)設(shè)，通過回憶之前函數(shù)研究的基本套路，提出本課研究的思路：首先是確定本課想要研究的內(nèi)容即對函數(shù)[y=sinAx+cosBx]中的兩個系數(shù)[A]，[B]提出要求，再明確通過圖象研究函數(shù)性質(zhì)的基本思路，從而揭示了研究函數(shù)問題的一般過程及方法.

3.展示交流

（1）交流匯報.在該教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生將以小組為單位，通過動手操作，各組研究一個具體函數(shù)的性質(zhì)：按要求給[A，B]賦予具體的數(shù)值，使上面的一般函數(shù)變?yōu)榫唧w的函數(shù)；再運用幾何畫板作圖，觀察并研究該具體函數(shù)的性質(zhì).之后小組匯報交流各自的研究成果，教師引導(dǎo)學(xué)生運用各組的研究成果，歸納和猜想函數(shù)周期性存在的條件.

學(xué)生的操作過程有條不紊.小組四人分工合作，1人操作、1人記錄、2人觀察分析.動手操作時間約10分鐘.接下來是小組匯報研究成果.

第一組研究[f（x）=sinx+cos2x]，結(jié)論如下：定義域，R；值域，（-2，2）；單調(diào)性，比較復(fù)雜；奇偶性，非奇非偶；周期性，[2π].

第二組研究[f（x）=sin12x+cos13x]，結(jié)論如下：定義域，R；值域，（-2，1.9）；單調(diào)性，比較復(fù)雜；奇偶性，非奇非偶；周期性，

歸納總結(jié)各組的研究結(jié)果，猜想一般函數(shù)[y=][sinAx+][cosBx]的性質(zhì)，大家得出了如下結(jié)論：定義域，R；值域，未知；單調(diào)性，比較復(fù)雜；奇偶性，非奇非偶；周期性，未知.也就是說，在這些有關(guān)一般函數(shù)的性質(zhì)中，學(xué)生對定義域和奇偶性已基本達成共識，而對值域、單調(diào)性、周期性不能做出判定.對于周期性，大家都能得出這個一般函數(shù)是有周期的，只是周期不同.那么，一般函數(shù)[y=sinAx+cosBx]的周期到底是多少呢？問題得以聚焦.

在以上教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生通過動手操作、觀察、歸納、猜想，經(jīng)歷了從特殊現(xiàn)象中提取一般規(guī)律的推理過程，這是得出數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴謹性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動中進行交流的基本思維品質(zhì).

（2）推理論證.推理論證須明確論證方向，懂得運算過程，理解運算對象，掌握運算法則，而這恰恰體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的運算能力.數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.

在該教學(xué)環(huán)節(jié)，教師先引導(dǎo)學(xué)生將以上三組實驗猜想的3個復(fù)雜函數(shù)一般化為[f（x）=g（x）+φ（x）]，然后分析函數(shù)[g（x）]、[φ（x）]的周期和函數(shù)[f（x）]的周期之間的關(guān)系.記[g（x）]的周期為[T1]，[φ（x）]的周期為[T2]，[f（x）]的周期為[T]，根據(jù)以上三組學(xué)生的實驗數(shù)據(jù)，可列出以下三個等式，計算可得[f（x）]的周期.（1）[T1T2=2ππ=21，][T=2π]；（2）[T1T2=4π6π=23，][T=12π]；（3）

4.反思小結(jié)

本課內(nèi)容來自生活，又回歸生活.在該教學(xué)環(huán)節(jié)，教師先讓學(xué)生思考與本課內(nèi)容有關(guān)的實際生活中的案例，然后展示音樂音頻圖（如圖2）、心電圖（如圖3）等函數(shù)圖象，讓學(xué)生真切體會到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)就在身邊，進而激發(fā)學(xué)習(xí)動機.

在該教學(xué)環(huán)節(jié)，教師要引導(dǎo)學(xué)生簡單總結(jié)本課自己在內(nèi)容和方法上的收獲，知道先通過圖象、再通過代數(shù)論證的方法研究函數(shù)[y=sinAx+cosBx]（[A≠B，]且[AB≠0]）的性質(zhì)，包括研究函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性等內(nèi)容，并強化問題研究的一般思路（提出問題，實驗猜想，推理論證），把問題研究的“鑰匙”交給學(xué)生，做到“授之以魚不如授之以漁”，不斷提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.其間學(xué)生提出了下一步想要研究的問題，即該函數(shù)的單調(diào)性問題，這剛好是下節(jié)課將要研究的內(nèi)容，說明學(xué)生已經(jīng)掌握了研究問題的一般方法.

5.布置作業(yè)

在該教學(xué)環(huán)節(jié)，教師布置了兩道題.

1.函數(shù)[y=sinx+][cos2x]的定義域、奇偶性、周期性；

2.函數(shù)[y=sinx+][cos2x]的單調(diào)性.

第1題用于鞏固本課新知，第2題為下節(jié)課做鋪墊.

本課選擇課后“閱讀與思考”閱讀材料作為拓展教學(xué)內(nèi)容，利用“教學(xué)環(huán)”策略設(shè)計整個教學(xué)流程，使得教學(xué)環(huán)環(huán)相扣，由上一節(jié)“課后練習(xí)”即本節(jié)的“任務(wù)導(dǎo)讀”出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題、擬定研究方案、實驗猜想、推理論證、得出結(jié)論的完整探究過程，學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力得到了有效的培養(yǎng)和提升.（題圖為黃國穩(wěn)老師在指導(dǎo)學(xué)生審題）

（責(zé)編 白聰敏）