從內(nèi)隱到外顯：追求數(shù)學課堂中“思維之美”

王銳

現(xiàn)代數(shù)學觀認為，數(shù)學教學是以數(shù)學思維為核心的教學，是數(shù)學活動過程的教學。這是由數(shù)學思維的本質(zhì)特征決定的。數(shù)學思維具有邏輯的嚴謹性、高度的抽象性和概括性、豐富的直覺與想象等特征。這些特征使得數(shù)學思維在尋求事物本質(zhì)屬性、探索事物之間的聯(lián)系、把握事物結(jié)構(gòu)、對事物發(fā)展做出預(yù)測等方面顯示出驚人的優(yōu)勢。20世紀80年代，美國數(shù)學教育興起的“問題解決”，主要指幫助學生學會用“數(shù)學的思維”方法觀察世界、處理和解決實際問題。這種思維方法更能夠體現(xiàn)思維本質(zhì)，提高抽象能力、邏輯推理能力和辯證思維能力。因此，思維方法的學習是數(shù)學教育的重要目標之一。有人說，沒有思維，就沒有真正的數(shù)學學習。這就要求我們數(shù)學教師，應(yīng)針對教學內(nèi)容和學生實際，激勵學生將數(shù)學思維貫穿于整個數(shù)學學習和現(xiàn)實生活過程中，養(yǎng)成思考有條理、說理有依據(jù)的良好習慣。

那么，在數(shù)學教學活動中，如何建構(gòu)以“數(shù)學思維”為核心教學策略？本文將結(jié)合具體案例加以闡述。

一、對話，讓思維之美在腦海中緩緩流淌

德國著名學者克林伯格指出：“在所有的教學中，進行著最廣義的‘對話。……不管哪一種教學方式占支配地位，這種相互作用的對話是優(yōu)秀教學的本質(zhì)性的標志?！辈浑y發(fā)現(xiàn)，在教學中，對話者在遵守思維對話規(guī)則的前提下，其主體地位得到充分的尊重，他們能運用自己的智慧，獨立地思考，并且自由地發(fā)表對問題的看法。同時，對話的主體也有傾聽他人的意見、接受他人批評的義務(wù)，并對他人的意見做出自己的反饋。經(jīng)過“表達—反饋—回應(yīng)—反饋”，這是一個過程，使課堂中的線性交流變成網(wǎng)絡(luò)模塊式交流，讓課堂中每一個生態(tài)因子都保持暢通的交流信息渠道，敞亮了師生的思維之思。而這樣真正思維對話強調(diào)的是內(nèi)在精神實質(zhì)。這種精神實質(zhì)就是：⑴思維對話必須以“我”“你”之間有無精神上的相互交互與回應(yīng)為特征；⑵真正的思維對話必須體現(xiàn)主體平等、互相尊重、彼此批判、共享智慧、講究實效等精神特征。這兩種實質(zhì)含義構(gòu)成了真正思維對話的核心，其中前者建立在后者的基礎(chǔ)上。

[案例1] “5的乘法口訣”教學片段

師：同學們，喜歡畫畫嗎？

生（齊答）：喜歡！

師：好，那讓我們畫畫自己的小手，好嗎？

學生畫手，然后教師將學生的作品展示在黑板上。

師：數(shù)一數(shù)，一共有多少根手指？

生1：5，10，15，20，25。

生2：一只手5根，5只手，一共25根。

（教師馬上打斷說：乘法還沒學呢?。?/p>

生3：10，20，25。

（教師帶學生一起5個5個地數(shù)，并板書：5→10→15→20→25。）

師：這樣5個5個加太麻煩，所以古代勞動人民發(fā)明了新辦法。

（揭題：“5的乘法口訣”）

……

思考與感悟：課堂，是師生智慧共生、情智交融、生命對話的“圣地”。其間，不僅有知識的傳遞、思想的碰撞、情感的交流，更有生命的“對話”。然而，本案例中，教師積極為完成“知識傳遞”而“不懈努力”著，卻忽視了他所面對的是活生生的、有思想、有感情、有生命的學生。置學生已有的知識于度外，面對學生早已掌握的乘法口訣予以回避，這不僅是對學生知識和能力水平的不尊重，更是對他們個體生命關(guān)懷的缺失。

二、操作，讓思維之美在思辨中走向深刻

荷蘭著名教育家費賴登塔爾認為：數(shù)學教學應(yīng)當實施“數(shù)學化”“再創(chuàng)造”過程，因此，教師應(yīng)積極引導(dǎo)和幫助學生從熟悉的現(xiàn)實生活開始，沿著數(shù)學發(fā)現(xiàn)的活動軌道，從感性認識到理性。而操作學習恰恰是溝通具體到抽象、感性到理性的橋梁。正如瑞士著名心理學家皮亞杰所說：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展。”也誠如美國教育家杜威所指出的：“讓兒童在主觀與客觀交互作用中獲取經(jīng)驗，必須通過兒童的親身體驗……從做中學要作為教學理論的中心原則?！睌?shù)學操作學習的課堂教學流程一般為四環(huán)六段：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題—操作探索，形成結(jié)論（操作感知，形成猜想—操作探索，驗證猜想—操作交流，歸納結(jié)論）—實踐運用，解決問題—總結(jié)反思，評價體驗。

[案例2] “平行四邊形面積的計算”教學片段

師： 今天我們一起來研究平行四邊形的面積計算。

（說著，拿出了課前準備好的平行四邊形紙片。）

師：請大家看，它的面積你會求嗎？

（學生搖頭。）

師：如果把它剪拼成我們學過的圖形，這時，它的面積你會表示嗎？

（說著，魔術(shù)般地沿著先畫好的虛線剪開，順利拼成了一個長方形。）

生：長乘寬。

師：對，此時的長正好是原來平行四邊形的底，此時的寬正好是原來平行四邊形的高。

（說著，板書它們的對應(yīng)關(guān)系，順利總結(jié)出了平行四邊形的面積計算公式。）

思考與感悟：上述案例，看似經(jīng)歷了一個完整的推導(dǎo)過程，但實際上，學生在靜靜地看，教師是在不斷地忙。教師用自己的推導(dǎo)經(jīng)歷，代替了學生的研究過程。教師成了主人，學生成了觀眾，再完美的推導(dǎo)與講述，也只能是學生“靜而觀之”；再者，教師為了追求“流暢、順利”的教學，不顧學生的實際情況和課堂反映，一味地自己努力著，當出示平行四邊形紙片：“請大家看，它的面積你會求嗎？”學生搖頭時，教師急于“解圍”——“如果把它剪拼成我們學過的圖形，這時，它的面積你會表示嗎？”原本挑戰(zhàn)性的問題，就這樣讓教師給磨滅了，學生沒有可思考與探究的問題，他們的思維很難打開。

三、融錯，讓思維之美在“試誤”中真實回歸

心理學家蓋耶指出：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻?！碑敶茖W家、哲學家恩格斯也指出：“要明確地懂得理論，最好的道理就是從本身的錯誤當中，從親身經(jīng)歷的痛苦體驗中去學習?！泵绹逃睦韺W家桑代克運用實驗的方法表明，學習過程是一種漸進的嘗試錯誤的過程，在這個過程中，無關(guān)的錯誤逐漸減少，正確的反應(yīng)最終形成。通過“試誤”，可充分暴露學生思維過程的薄弱環(huán)節(jié)，有利于對癥下藥。 因此，在學習數(shù)學過程中，通過暴露學生學習數(shù)學思維過程中的錯誤，提供以錯誤為源泉的學習反映刺激，可使學生從中審視、體驗和反思，從而引起知錯、改錯和放錯的良性反應(yīng)。具體地，在教學中應(yīng)遵循三方面的要求：⑴應(yīng)當研究學生所犯的錯誤，并把錯誤看成是認識過程和認識學生數(shù)學思維規(guī)律的手段；⑵在學生檢查和改正自己的錯誤的實踐中進行練習；⑶教師應(yīng)當利用學生所犯錯誤來促進他們加深對數(shù)學要素和規(guī)律性的理解。

[案例3] “中位數(shù)”教學片段

練習鞏固階段，教師出示了這樣一道題：

為了維持人體的需要，除了正常的飲食外，一個人每天應(yīng)飲水1400毫升。下表是小林一周的飲水情況：

[星期 日 一 二 三 四 五 六 飲水量毫升 2100 1250 1300 1250 1300 1250 1700 ]

小林：我平均每天飲水1450毫升，足夠啦！

分析上面的數(shù)據(jù)，你對小林飲水這件事情有什么看法？

這道題目解答完畢，教師又提出了一個問題：根據(jù)我們學過的有關(guān)統(tǒng)計的知識，你還能提出什么問題？

一個學生迫不及待地搶答：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是多少？

師：誰能回答這個問題？

生1：這個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是“三”，因為它排在中間。

生2：不對，應(yīng)該是1250。“三”是星期幾，不是數(shù)。

生3：不對，應(yīng)該是1300。

……

師：有三種不同的答案。想一想，他們誰說得對呢？先獨立思考后，再和周圍的同學說一說。

學生獨立思考并在小組里小聲討論。

生4：我認為是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1300。因為一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列出來，位于中間的數(shù)才是中位數(shù)。

這組數(shù)據(jù)可以這樣排列：1250、1250、1250、1300、1300、1700、2100.所以，1300才是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

（話音未落，教室里響起來熱烈的掌聲……）

思考與感悟：上述教學片段中，老師并未對學生的錯誤視而不見，或是簡單地改錯后草草收場，而是讓學生充分表達自己的想法，辨清思路，讓討論不斷深化……直到帶領(lǐng)學生挖掘出現(xiàn)錯誤的深層次原因是“中位數(shù)”這個概念的內(nèi)涵理解不透，從而使教學目標得以真正有效地落實。

四、等待，讓思維之美在留白中精彩綻放

“生命化教育”的倡導(dǎo)者張文質(zhì)先生指出：“教育是一個‘慢活‘細活，是生命潛移默化的過程，教育的變化是極其緩慢的、細微的，它需要生命的沉潛，需要‘深耕細作?！敝逃姨K霍姆林斯基也曾說過：“有經(jīng)驗的教師往往知識微微打開一扇通向一望無際的知識原野的窗子?！痹谡n堂，當學生需要思考、需要操作、需要交流、需要消化時，教師應(yīng)耐心地等待，讓學生有充分的時間和空間去思考、去操作、去交流、去消化。哪怕是幾秒鐘的時間，也許就能夠打開學生思維的大門，凸顯思維活動過程，就會給學生自信和勇氣，同時也給學生挑戰(zhàn)自我的機會，讓學生自己創(chuàng)造課堂的精彩。若無視這個規(guī)律急于求成，既不利于學習知識，更不利于培養(yǎng)能力，容易拔苗助長，欲速則不達。

[案例4] “求圓的面積”教學片段

學習“圓的面積計算”后，教師出了這樣一道題：學校有一塊面積20平方米的正方形空地，現(xiàn)要在它里面修一個面積最大的圓形花壇，這個花壇的面積有多大？

生1：教學圓的面積時，老師曾讓我們估計圓的面積大約是其中一個小正方形面積的多少倍，而最終的結(jié)果是，圓的面積是一個小正方形的π倍。因為正方形的面積是20平方米，我們可以得出小正方形的面積是5平方米，也就是r2=5平方米。因此，S=πr2=3.14×5=15.7平方米。

師：想得真好！求出r2，從而使問題獲得解決。

生2：在前一節(jié)課上，我們已經(jīng)推導(dǎo)出已知直徑，直接求出圓面積的公式S=[14]πd2=[14]×3.14×20=15.7平方米。

師：活學活用，真是太棒了！

生3：剛才我們在正方形內(nèi)畫出一個最大的圓，像這樣的圓，同一個正方形里只有一個，是確定的，那么，我猜測這個圓的面積與正方形面積之間存在一種固定不變的關(guān)系。從生2的解答中，我們不難發(fā)現(xiàn)，圓面積正好是正方形面積的[14]π倍，所以，圓的面積是[14]×3.14×20=15.7平方米。

師：生3真了不起，他不但敢于大膽猜測，還注意傾聽別人的發(fā)言，從S=[14]πd2中得出圓面積與正方形面積之間的關(guān)系。

生4：（高興地喊起來）我又發(fā)現(xiàn)了一種方法。正方形的面積是20平方米，根據(jù)這一條件我們不難求出半徑。我嘗試著把正方形的面積乘5，變成100平方米，那么，正方形的邊長就是10米，這時圓的面積是3.14×（10÷2）2=78.5（平方米）。正方形的面積乘5，圓的面積也乘5，因此求出原來圓的面就要除以5，也就是78.5÷5=15.7平方米。

教室里響起了熱烈的掌聲，我也情不自禁地鼓起掌來。

生5：從生4的擴大法中，我馬上想到了縮小法。

……

思考與感悟：回顧上述教學片段，不得不感慨，精彩解法源于學生的凝神靜思，靜思的空間源自于教師的耐心等待。當學生思考不嚴謹時，教師微笑著默不作聲是等待；當學生尋覓思路遇挫時，教師默默的巡視等待。等待是一種期望，是一種鼓勵。多一些等待，學生就多一些自主探索的經(jīng)歷和體會，多一些對問題的深思和熟慮；多一些等待，學生就多一些與他人交流合作的機會和體驗，多一些對知識的理解和提升……

課堂教學應(yīng)當以學生為本，以學生的發(fā)展為本，教師在課堂教學中應(yīng)當“關(guān)注學生的表現(xiàn)，欣賞學生的想法，重視學生的問題，接納學生意見，寬容學生的錯誤，滿足學生的需要，為學生的思維發(fā)展創(chuàng)造氛圍、條件，問題讓學生提，問題讓學生議，答案讓學生辯，結(jié)論讓學生得”。只有這樣，我們的課堂教學才能煥發(fā)出生命的互動，學生思維能力的發(fā)展才能落到實處。