抓住精彩“意外” 開(kāi)展探究創(chuàng)新
——關(guān)于拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)案例

范雪飛

(浙江省永嘉第二高級(jí)中學(xué) 325100)

新課程強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新精神，我們老師覺(jué)得手上沒(méi)有什么素材，再說(shuō)這種精神的東西往往很空泛，不知從哪里入手.其實(shí)我們的學(xué)生在這方面給了我們很多素材，上課的時(shí)候很多學(xué)生有很好的想法，關(guān)鍵是我們教師該如何抓住這一瞬間的精彩，能夠讓學(xué)生的探究創(chuàng)新進(jìn)行下去.看老師“給力不給力”.通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生積極探究的方式，引導(dǎo)他們親歷知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，形成自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.

本案例以拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)為題材，說(shuō)一說(shuō)自己的看法.

案例描述如圖1，AB是拋物線y2=2px(p>0)的一條經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的弦，AB與兩坐標(biāo)軸不垂直，已知M(-1,0),∠AMF=∠BMF，則p的值為( ).

圖1

問(wèn)題背景分析作為授課的切入點(diǎn)，考慮本題的難度，若以解答題的形式要求從正面解決，是操之過(guò)急的，而且會(huì)給學(xué)生帶來(lái)一定的心理受挫感，削弱學(xué)習(xí)的積極性.而對(duì)于選擇題，除了從正面解決之外，還有猜想、代入檢驗(yàn)等方法，易于得到答案.

果然，出示題目幾分中后，有兩位同桌就開(kāi)始相互討論起來(lái)，還用稿紙相互交流，看起來(lái)是有想法了.我走到邊上，未等我開(kāi)口，生①就主動(dòng)和我交流起來(lái).

生①：老師，是選C吧？

師：你是選哪個(gè)呢(問(wèn)生②)？

生②：我也覺(jué)得是C.

同時(shí)查閱生②正在寫(xiě)的稿紙，是未完成的檢驗(yàn)過(guò)程，基本思路整理如下：

師：看來(lái)你倆是猜想的，答案是選C.

給了一個(gè)贊許的答復(fù)后，回身一邊察看其余學(xué)生的情況，一邊想著開(kāi)題講解可以由生②分析引入了，“算計(jì)”著他應(yīng)該差不多檢驗(yàn)完畢，便竊喜著跺回講臺(tái).

師：看來(lái)，大家都有了心儀的選項(xiàng).生②同學(xué)，請(qǐng)你來(lái)談?wù)?，你選哪個(gè)？

生②：C.

師：那你是怎么選出來(lái)的？

生②：猜的.

師：答案是C.不過(guò)猜想也得有一定道理，不能隨意的.你是怎么猜出來(lái)的？

生②：因?yàn)閺倪@個(gè)圖形看，點(diǎn)M和F是對(duì)稱(chēng)的.

師：哦，所以你就認(rèn)為焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(1，0)，從而p=2了.那有檢驗(yàn)過(guò)嗎？

生②：差不多，還沒(méi)做完.

在這樣的對(duì)話中，組內(nèi)其他同學(xué)已經(jīng)知道生②是怎樣得到答案，有些也笑了，估計(jì)是覺(jué)得生②同學(xué)的解題方法太草率.因此，我將他的稿紙內(nèi)容投影到屏幕上，師生一起來(lái)研究他的檢驗(yàn)：

(續(xù)上面的檢驗(yàn)步驟)

肯定生②的猜想后，再回過(guò)頭來(lái)分析整個(gè)過(guò)程，在引導(dǎo)下共同總結(jié)得到以下兩個(gè)要點(diǎn)：

(1)∵∠AMF=∠BMF，∴kMA+kMB=0.

(2)鑒于在拋物線上取點(diǎn)A的任意性，結(jié)論與直線AB的斜率無(wú)關(guān).

師：但在檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，以上兩點(diǎn)只是猜想，對(duì)本題來(lái)講我們?nèi)晕唇o予正確的解答過(guò)程.從大體上看來(lái)，既然題目與直線AB的斜率沒(méi)有關(guān)聯(lián)，就可以大膽地設(shè)斜率為k.而由∠AMF=∠BMF得到的等式kMA+kMB=0也可以?xún)H被p表示，從而得到關(guān)于p的方程，最終解出p的值是多少.

師生共同分析，教師主導(dǎo)，給出解答過(guò)程.

意外通過(guò)上面的計(jì)算，我們已經(jīng)確認(rèn)此結(jié)論是與直線的斜率無(wú)關(guān)的.這時(shí)有同學(xué)就說(shuō)了：“這是一個(gè)與直線斜率沒(méi)有關(guān)系，只有和所選取的點(diǎn)有關(guān)系，那么對(duì)于一個(gè)拋物線來(lái)講，特殊點(diǎn)M與任意焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)形成的角度是否就一定相等呢？”

我一下子就愣住了，這個(gè)問(wèn)題是我沒(méi)有思考的，但是我感覺(jué)這應(yīng)該是一個(gè)定值于是我就引導(dǎo)他們探索：請(qǐng)同學(xué)們就以y2=4x為例再做一次大膽的檢驗(yàn)證明.已知：拋物線y2=4x，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則∠AMF=∠BMF.

給予學(xué)生思考時(shí)間，生③的證明過(guò)程：

生④：AB沒(méi)有斜率的情況漏了.

師：對(duì)，那你認(rèn)為斜率不存在的時(shí)候結(jié)論還成立嗎？

生④：成立的.這時(shí)圖象是對(duì)稱(chēng)的.

師：非常好！這里并沒(méi)有講直線AB不垂直于x軸，所以同學(xué)們要注意，平時(shí)解題要謹(jǐn)慎，要做到不重不漏.因此，我們可以發(fā)現(xiàn)∠AMF=∠BMF這個(gè)結(jié)論成立確實(shí)和直線AB的斜率是沒(méi)有關(guān)系的，只要AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則一定有∠AMF=∠BMF.

猜想1 已知拋物線y2=2px(p>0)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則∠AMF=∠BMF.

教師歸納師生共同回顧上述猜想探究的過(guò)程，變換條件到結(jié)論成立的成功過(guò)渡，有一個(gè)不小的收獲.讓學(xué)生經(jīng)歷了從變換條件到結(jié)論成立的探究過(guò)程，從直線是拋物線焦點(diǎn)弦這一特殊性質(zhì)出發(fā)，“再創(chuàng)造”出關(guān)于此類(lèi)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)的全過(guò)程.這一過(guò)程讓學(xué)生真實(shí)地體驗(yàn)到了“探究——?jiǎng)?chuàng)新”學(xué)習(xí)的快樂(lè)，值得認(rèn)真總結(jié)，值得高興一番.

猜想2 已知拋物線y2=2px(p>0)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，AB是一條與拋物線上下半支都有交點(diǎn)的直線，交點(diǎn)是A，B，若∠AMF=∠BMF，則AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

已知拋物線y2=4x，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，AB是一條與x軸不垂直的直線，且與拋物線上下半支都有交點(diǎn)，交點(diǎn)是A，B.若∠AMF=∠BMF，求證AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

同學(xué)們很快仿照上面的過(guò)程給出了結(jié)論：

證明：設(shè)直線AB方程為y=k(x-a)，拋物線y2=4x，點(diǎn)A(x1,y1),B(x2，y2) .

兩式聯(lián)立，化得k2x2-(2ak2+4)x+a2k2=0,

由∠AMF=∠BMF,知kMA+kMB=0,

代入2x1x2+(1-a)(x1+x2)-2a=0.

去分母，化簡(jiǎn)后可得a=1.

所以直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(1，0).

教師歸納由前面的猜想得到結(jié)論我們發(fā)現(xiàn)它和三個(gè)條件有關(guān)，即AB是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線；點(diǎn)M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)；∠AMF=∠BMF.是不是只要這三個(gè)條件里滿足其中兩個(gè)，另一個(gè)就成立呢？于是有了下面的猜想：

猜想3 已知拋物線y2=2px(p≥0)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，點(diǎn)M是x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，若∠AMF=∠BMF，則點(diǎn)M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).

已知：拋物線y2=4x，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，點(diǎn)M是x軸負(fù)方向上的點(diǎn)，若∠AMF=∠BMF，求證：M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).

證明：設(shè)直線AB方程為y=k(x-1)，點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,0).

得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

∵∠AMF=∠BMF，所以kAM=-kBM,

又∵x1>a,x2>a?y1(x2-a)+y2(x1-a)=0,

即2kx1x2-k(x1+x2)-ak(x1+x2)+2ak=0.

當(dāng)k=0時(shí)，結(jié)論顯然成立.

當(dāng)k≠0時(shí)，上式可化為

k[2x1x2-(1+a)(x1+x2)+2a]=0,

即2k2-(1+a)(2k2+4)+2ak2=0,

得4a+4=0，a=-1.

即M點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).

案例分析在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)直線AB的斜率k與運(yùn)算無(wú)關(guān)，與三個(gè)條件有關(guān)，即AB是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線；點(diǎn)M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)；∠AMF=∠BMF.只要滿足了其中兩個(gè)另外一個(gè)可以推導(dǎo)出來(lái).通過(guò)這三個(gè)條件的互相轉(zhuǎn)化形成條件和結(jié)論.在“探究——?jiǎng)?chuàng)新”過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識(shí).在圓錐曲線教學(xué)中，尤其是鼓勵(lì)學(xué)生由特殊到一般的直覺(jué)猜想.對(duì)圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)方程形式、圖形特征進(jìn)行直覺(jué)猜想；通過(guò)對(duì)特殊情景的研究引發(fā)從特殊到一般的歸納思想.并在此基礎(chǔ)上，從不同的角度進(jìn)行邏輯探索，以此達(dá)到從各個(gè)側(cè)面、不同層次上提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

如何能做到“給力”探索創(chuàng)新，這就對(duì)我們教師提出了新的要求需要教師在更高的理論水平下抓住學(xué)生的“意外”能及時(shí)的加以拓展延伸.真正做到“給力”的教師關(guān)鍵的是課后的工作，通過(guò)本案例筆者談?wù)勛约旱膸c(diǎn)看法：

案例反思1真正的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是師生之間的一種對(duì)話交流

巴西教育家保羅.弗萊雷說(shuō)：沒(méi)有對(duì)話，就沒(méi)有交流，也就沒(méi)有真正的教育.新課程要求教學(xué)是平等的、民主的，要構(gòu)建起共同探討的學(xué)習(xí)環(huán)境；新課程還指出教師應(yīng)是學(xué)生親密的伙伴，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的表現(xiàn)應(yīng)該給予充分的理解與尊重.因此在課堂上，教師要注意傾聽(tīng)，理順學(xué)生的思維過(guò)程，解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的的疑難問(wèn)題，注意引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生合作探究.

案例反思2不要快節(jié)奏的上課，慢慢又何妨

而新課程背景下要求教師要培養(yǎng)學(xué)生自己找“路”的能力，讓學(xué)生做“司機(jī)”，而不是“乘客”.教師做一個(gè)“指路人”，在學(xué)生迷路時(shí)，給予指點(diǎn)、點(diǎn)撥.學(xué)和行走的過(guò)程中，路邊的風(fēng)景，正是學(xué)生找到回路的標(biāo)志.讓我們記住關(guān)于教育的一句世界名言——告訴我，我會(huì)忘記；分析給我聽(tīng)，我可能會(huì)記??；如果讓我參與，我會(huì)真正的理解.

案例反思3積極鼓勵(lì)學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)，給學(xué)生的“意外”以肯定

在探究解題方案和解法時(shí)，每一位學(xué)生都在積極思考、參與探究，課堂的學(xué)習(xí)氛圍是民主的、開(kāi)放的、和諧的，對(duì)問(wèn)題的分析大家都是爭(zhēng)先恐后的.教師要用自己情感激發(fā)學(xué)生的情感，用自己的智慧啟迪學(xué)生的智慧，用自己的思維引導(dǎo)學(xué)生的思維.課堂教學(xué)是動(dòng)態(tài)的雙向交流，其中成功的愉悅、艱辛的探索給每位學(xué)生帶來(lái)一種激情，鼓勵(lì)著學(xué)生去探究知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，體驗(yàn)解題過(guò)程中的各種感悟.

案例反思4教師要提高研究題目的意識(shí)、增強(qiáng)研究題目的能力，對(duì)“意外”有較強(qiáng)的控制和突破能力.

課堂中要有高效的抓“意外”的能力，做“給力”的教師就要在平時(shí)要培養(yǎng)自己研究試題的能力.教師在長(zhǎng)期的教學(xué)時(shí)間中，形成了自己獨(dú)特的經(jīng)驗(yàn)性思維.教師不要忘記時(shí)刻努力提高自己的專(zhuān)業(yè)能力，不要讓經(jīng)驗(yàn)淹沒(méi)了自己研究試題的熱情，不要讓資料淡化了自己研究試題的意識(shí).

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)不是一朝一夕就可以培養(yǎng)出來(lái)的，這是一個(gè)長(zhǎng)期而復(fù)雜的系統(tǒng)工程.教師應(yīng)當(dāng)在平時(shí)的教學(xué)中，把習(xí)題的開(kāi)發(fā)作為“探究——?jiǎng)?chuàng)新” 教學(xué)的切入點(diǎn)，為學(xué)生學(xué)會(huì)創(chuàng)新提供適宜的平臺(tái)，在“探究——?jiǎng)?chuàng)新”做“給力”的教師教學(xué)過(guò)程中，深入探究，體驗(yàn)再創(chuàng)，力求出新，創(chuàng)新意識(shí)才可能在學(xué)生的頭腦中扎根，才有可能培養(yǎng)出具有創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的一代新人.