巧用相似三角形的性質(zhì)解三角形面積規(guī)律問(wèn)題

趙永旺

(山東省東營(yíng)市廣饒濱海學(xué)校 257345)

筆者在近幾年的中考模擬與中考試題中，關(guān)于三角形的面積規(guī)律問(wèn)題研究發(fā)現(xiàn)，命題人在命題時(shí)從課程標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，以找規(guī)律的形式對(duì)三角形相似的判定與性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查，規(guī)律最后的得出都源于同一知識(shí)點(diǎn)，下面以例析的形式對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解法進(jìn)行歸納，以供大家參考.

圖1

例題1 (2013·浙江自主招生)如圖1，n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△B2D1C1的面積為S1，△B3D2C2的面積為S2，…，△Bn+1DnCn的面積為Sn，則Sn= (用含n的式子表示)．

分析由n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B1，B2，B3，…Bn在一條直線上，可作出直線B1B2．易求得△AB1C1的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，易求得S1的值，同理求得S2的值，繼而求得Sn的值．

圖2

解答n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B1，B2，B3，…Bn在一條直線上，作出直線B1B2.

∴AB1∥B2C1，∴△B1C1B2是等邊△，且邊長(zhǎng)=2，

∴△B1B2D1∽△C1AD1，

同理：BnBn+1∶ACn=1∶n，∴BnDn∶DnCn=1∶n，

點(diǎn)評(píng)此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

例題2 (2016年濰坊市臨朐、昌邑一模)如圖3，n個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，…,Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點(diǎn)，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…,△BnCnMn的面積為Sn，則Sn= ．(用含n的式子表示)

圖3

分析由n個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，…,Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點(diǎn)，即可求得△B1C1Mn的面積，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案.

解答∵n個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，…,Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點(diǎn)，

∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，

點(diǎn)評(píng)此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及直角三角形面積的公式.此題難度較大，注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

圖4

例題3 如圖4，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x軸上的點(diǎn)，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分別過(guò)點(diǎn)A1、A2、A3、…、An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點(diǎn)B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，連接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于點(diǎn)P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、…、△AnBnPn的面積依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則Sn為 .

分析根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出點(diǎn)B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出S1、S2、S3、…、Sn，進(jìn)而得出答案.

解答∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x軸上的點(diǎn)，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分別過(guò)點(diǎn)A1、A2、A3、…、An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點(diǎn)B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，∴B1的橫坐標(biāo)為：1，縱坐標(biāo)為：2，

∴B1(1，2)，同理可得：B2的橫坐標(biāo)為：2，縱坐標(biāo)為：4，則B2(2，4)，B3(3，6)，….

∴△A1B1P1與△A2B2P2對(duì)應(yīng)高的比為：1∶2，

點(diǎn)評(píng)此題考查了一次函數(shù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，先根據(jù)題意得出B點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)而得出S的變化規(guī)律，得出圖形面積變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

通過(guò)對(duì)以上四個(gè)例題的解析，我們可以看出，這類(lèi)問(wèn)題都是利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式，通過(guò)計(jì)算找出規(guī)律.以后遇到此類(lèi)問(wèn)題要想到就是對(duì)三角形的判定與性質(zhì)的考查，不要再去產(chǎn)生其它盲目想法，認(rèn)清方法，仔細(xì)推算，總結(jié)規(guī)律，準(zhǔn)確寫(xiě)出通式.