關(guān)于《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)的幾點思考

安玉蓮

【摘 要】本文圍繞數(shù)學(xué)分析教學(xué)的難點分析，總結(jié)了數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的一些思考和做法，探討數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；教學(xué)方法；教學(xué)效果

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）22-0022-01

數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)各類后續(xù)課程的關(guān)鍵。相對大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程而言，中學(xué)的數(shù)學(xué)知識更多的具有直觀性，可操作性。但是數(shù)學(xué)分析課程，經(jīng)過近三百多年的發(fā)展和完善，形成了一套嚴(yán)密、抽象、形式化，以及邏輯性很強(qiáng)的理論體系。因此，對大學(xué)一年級新生來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程通常會遇到很大的困難。不僅要由常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞繑?shù)學(xué)，后更重要的是靜態(tài)思維要轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)思維。因此，教師應(yīng)該如何教，才能使學(xué)生較好地掌握這門課程的知識、技巧、思想和方法，是大多數(shù)擔(dān)任數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的教師經(jīng)常思考和關(guān)注的問題。本文總結(jié)近幾年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，給出了數(shù)學(xué)分析教學(xué)中需要注意的幾個問題。

一、深刻理解基本概念，熟練掌握數(shù)學(xué)語言

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，概念多且較集中，深刻理解基本概念是學(xué)好這門課程的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)分析中最重要的概念，莫過于極限。而連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)等微積分學(xué)中關(guān)鍵的概念都是通過極限來定義的。可以說，數(shù)學(xué)分析的大廈建立在極限概念之上。因此，充分理解極限的本質(zhì)是學(xué)好微積分的必要條件。概念教學(xué)過程中，應(yīng)該遵循兩大原則，一是循序漸進(jìn)的原則，通過各類實例引入，逐步由形象思維到抽象邏輯思維。例如極限的“ε一N”定義的學(xué)習(xí)，就是循序漸進(jìn)最經(jīng)典的體現(xiàn)。二是數(shù)形結(jié)合的原則，結(jié)合幾何以及物理學(xué)意義，揭示概念的本質(zhì)屬性。比如導(dǎo)數(shù)的概念，結(jié)合切線斜率、瞬時速度等不同背景，理解其本質(zhì)是函數(shù)的變化率。

其次，符號語言是數(shù)學(xué)語言的重要特征，它使數(shù)學(xué)思維過程更加簡明、準(zhǔn)確。“ε一N”語言定義極限更是“人類思想的偉大勝利”。數(shù)學(xué)分析語言包括文字、符號和圖形。在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)圖形，用數(shù)學(xué)符號、圖形來表達(dá)和思考問題。當(dāng)學(xué)生能夠順利地使用數(shù)學(xué)符號語言描述一個新知識，就接近于掌握了。

二、重視計算能力和軟件運(yùn)用能力的培養(yǎng)。

在注重推理的過程中，重視計算能力和軟件應(yīng)用能力的培養(yǎng)。為了適應(yīng)新形勢下教學(xué)的需要，與過去非常強(qiáng)調(diào)邏輯、證明相比，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)分析教學(xué)過程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)軟件使用能力和計算能力。利用軟件進(jìn)行教學(xué)，可是教學(xué)過程體現(xiàn)出解決問題的過程。比如，定積分概念中“分割、近似、求和、取極限”的過程，如果應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行教學(xué)，就顯得生動、明了。計算能力和數(shù)據(jù)處理能力的提高，更是目前數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生需解決的短板問題。我們在教學(xué)過程中，采取了逐步課堂滲透和專題講座的辦法，使學(xué)生掌握軟件的用法。一方面，在課堂知識點學(xué)習(xí)過程中，演示軟件的用法，同時在練習(xí)冊中設(shè)計相關(guān)習(xí)題讓學(xué)生練習(xí)。另一方面，每學(xué)期舉辦2-3次專題講座，集中介紹Matlab軟件在數(shù)學(xué)分析各個知識模塊中的應(yīng)用。進(jìn)一步，為了促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)軟件知識，我們修改了數(shù)學(xué)分析的過程化考核大綱，其中軟件學(xué)習(xí)占了成績的5%，通過設(shè)計機(jī)考試題，組織學(xué)生上機(jī)考試獲得成績。通過這幾方面的努力，學(xué)生的計算和軟件應(yīng)用能力得到了有效的提高。

三、突出知識應(yīng)用性

在學(xué)習(xí)過程中，重視應(yīng)用性的體現(xiàn)，回歸數(shù)學(xué)為解決問題的本源。為此，除了知識引用盡量使用實力引入外，教學(xué)過程中，我們加入了大量的實際應(yīng)用的教學(xué)舉例。如：講解級數(shù)得的概念，我們討論了藥物在身體內(nèi)的濃度變化和殘留量；海岸線的測量等實際問題的模型；在講解導(dǎo)數(shù)定義、中值定理的時候，我們加入了平均速度、瞬時速度的測量、測不準(zhǔn)原理的討論、邊際函數(shù)（成本、收入）的應(yīng)用等。為了提高教學(xué)質(zhì)量，突出應(yīng)用案例的教學(xué)，一方面，我們正在將實例編纂整理，形成講義和書稿。另一方便，為了使師生重視應(yīng)用，我們規(guī)定，每一次考試必須設(shè)計相應(yīng)的應(yīng)用題，且占比逐漸提高。通過幾個學(xué)期的實施，同學(xué)老師對這個形式都逐步理解和認(rèn)同，由一開始的應(yīng)用題得分很低，到現(xiàn)在大部分學(xué)生不再害怕應(yīng)用題，得分比逐步提高。同時，越來越多的同學(xué)開始饒有興致的討論應(yīng)用問題。后續(xù)考慮，在條件允許的情況下，組織學(xué)生研究應(yīng)用案例，并將其作為教學(xué)需完成的項目納入數(shù)學(xué)分析這門課程的考核體系。

四、領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想與方法

數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想方法。目前，應(yīng)用型潮流之下，似乎數(shù)學(xué)思想與方法的地位下降了?！皦蛴?、會用”成為標(biāo)準(zhǔn)，似乎數(shù)學(xué)的思想方法可以不去追求了。然而，“沒有思想的數(shù)學(xué)等于廢了武功”，張莫宙老師指出：“微積分教學(xué)應(yīng)該怎樣做呢？揭示數(shù)學(xué)的思想當(dāng)然是第一位?！睌?shù)學(xué)分析的內(nèi)容蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想方法。這些思想方法，既是人類認(rèn)識世界的結(jié)果，也是人類認(rèn)識世界的工具。同時，微積分就是在應(yīng)用過程中誕生與發(fā)展起來的，正是由于微積分的誕生，世界才進(jìn)入了工業(yè)革命時代。脫離了思想方法而只談應(yīng)用，就脫離了根本，就不可能真正用的對，用得好。不知根源的應(yīng)用是走不遠(yuǎn)，挖不深的。因此，我們在教學(xué)中，仍然強(qiáng)調(diào)基本思想方法的重要意義，盡可能揭示各種現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。比如，級數(shù)的本質(zhì)是無窮和。無窮和是否存在？存在的條件是什么？追根溯源，它是有限和的發(fā)展，根本上都要依賴于極限的定義。有了這個思想，級數(shù)的概念、收斂發(fā)散的依據(jù)都比較容易理解了。學(xué)習(xí)基本的數(shù)學(xué)分析思想方法是形成和發(fā)展數(shù)學(xué)分析能力的基礎(chǔ)。我們在教學(xué)中，緊緊抓住極限一基本定義，基本思想，就可以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

五、感受數(shù)學(xué)之美

在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)過程中，經(jīng)常和學(xué)生一起感受數(shù)學(xué)知識的博大精深和優(yōu)美無暇。極限所反映的辯證思想，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的哲學(xué)之美。各種積分之間的轉(zhuǎn)換體現(xiàn)了世界的和諧之美。級數(shù)基礎(chǔ)上的分形圖形讓學(xué)生的心靈感受到前所未有的慨嘆，自然之鬼斧神工，高深莫測。復(fù)數(shù)的出現(xiàn)，看似奇異，但確實給數(shù)學(xué)分析帶來了另一重天地，復(fù)分析。使得人類對世界的認(rèn)識，進(jìn)一步加強(qiáng)。讓人不由地相信，數(shù)學(xué)就是宇宙的語言。在教學(xué)過程中，我們始終注意挖掘這些體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的素材，經(jīng)常和學(xué)生一起分享和感受，久而久之，學(xué)生的心理也發(fā)生潛移默化的改變。 綜上所述，數(shù)學(xué)分析的教與學(xué)，都應(yīng)該從上述幾個方面不斷地探索和改進(jìn)。我們經(jīng)過幾年的實踐，注意培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和能力，取得了明顯的進(jìn)步。希望能夠借助教育改革的東風(fēng)，讓數(shù)學(xué)分析這門基礎(chǔ)課程在培養(yǎng)學(xué)生方面提供更加有力的保障。

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資助項目：上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)教學(xué)改革項目， 10110T171014.