運(yùn)用圖示表征，化解數(shù)學(xué)廣角教學(xué)難點(diǎn)

陳娟梅 李明哲

【摘 要】烙餅問(wèn)題是人教版教材四年級(jí)上冊(cè)第八單元數(shù)學(xué)廣角（優(yōu)化）例2的教學(xué)內(nèi)容。3個(gè)餅的交替烙法總是難以真正發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用圖示表征題意、尋找方法、辨別優(yōu)化、拓展延伸等化解了難點(diǎn)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生，使學(xué)生在不同要求的圖示表征中有所悟、有所想、有所思。

【關(guān)鍵詞】圖式表征；數(shù)學(xué)廣角；教學(xué)難點(diǎn)

烙餅問(wèn)題是人教版教材四年級(jí)上冊(cè)第八單元數(shù)學(xué)廣角（優(yōu)化）例2的教學(xué)內(nèi)容。其內(nèi)容是：“一個(gè)鍋每次最多只能烙2張餅，但餅的兩面都要烙，每面需要3分鐘，那么怎樣烙3張餅才能讓我們盡快吃上餅?zāi)?？”其目的是希望學(xué)生能合理利用鍋的空間，讓烙餅的時(shí)間最短，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化意識(shí)。筆者查找過(guò)相關(guān)教學(xué)資料、觀看過(guò)教學(xué)視頻和數(shù)次現(xiàn)場(chǎng)的觀摩課，發(fā)現(xiàn)“烙餅問(wèn)題”的教學(xué)課堂上會(huì)有兩種處理方式：第一種，教師會(huì)請(qǐng)做正確的學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己的想法，然后其他同學(xué)嘗試著去操作，顯然大部分學(xué)生只是模仿，并不知其中的內(nèi)涵。第二種，教師會(huì)主動(dòng)提出疑問(wèn)：“有沒(méi)有比12分鐘更少的？”或直接問(wèn)，“9分鐘有沒(méi)有可能？”此時(shí)學(xué)生會(huì)東張西望尋找只用9分鐘的同學(xué)在哪里，他是怎么操作的。并沒(méi)有繼續(xù)動(dòng)手再烙找方法，因?yàn)閼{學(xué)生個(gè)體的獨(dú)立思考是難以突破的。

“一個(gè)鍋每次最多只能烙2張餅，但餅的兩面都要烙，每面需要3分鐘，那么怎樣烙3張餅才能讓我們盡快吃上餅?zāi)?？”?個(gè)、2個(gè)餅不管學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[與不擺，學(xué)生都不成問(wèn)題，但是3個(gè)餅學(xué)生再怎么用交替法擺還是出不來(lái)。

最后筆者決定用圖示法讓學(xué)生經(jīng)歷并悟到它能幫助我們解決問(wèn)題，使學(xué)生在尋找方法的過(guò)程中有所惑、有所思、有所悟。

一、用圖示表征題意

理解題意是正確解題的前提，對(duì)于“烙餅”學(xué)生既陌生又熟悉，熟悉的是大街小巷烙餅店很多，有吃過(guò)，也有部分學(xué)生可能見(jiàn)過(guò)烙餅的全過(guò)程，但從數(shù)學(xué)的角度考慮時(shí)間問(wèn)題可能還是第一次，那么讀懂題意就非常關(guān)鍵。

題目：“每次最多只能烙2張餅?！睂W(xué)生可能會(huì)想為什么只能烙2張，“兩面都要烙，每面3分鐘?！睂W(xué)生會(huì)想這又是什么意思?！鞍职?、媽媽和我每人1張，共3張。怎樣才能盡快吃上餅？”這個(gè)學(xué)生覺(jué)得好像不成問(wèn)題，早點(diǎn)烙熟就是了唄。

這個(gè)問(wèn)題的素材“烙餅”是非?，F(xiàn)實(shí)的一個(gè)情境，但相關(guān)信息與烙餅要求與實(shí)際確實(shí)一點(diǎn)都不相符。平時(shí)烙餅考慮更多的是口味，肉多還是咸菜多，甜的還是咸的，軟一點(diǎn)還是焦一點(diǎn)。所以看似貼近生活實(shí)際的情境實(shí)則相差甚遠(yuǎn)，需要教師引起關(guān)注。先注重理解題意，就拿第一個(gè)數(shù)學(xué)信息來(lái)說(shuō)，如果沒(méi)有鍋和餅的圖式表征，學(xué)生的問(wèn)題會(huì)很多，上面已作闡述不再重復(fù)，所以結(jié)合鍋的大小與餅的個(gè)數(shù)的關(guān)系，配上直觀操作圖明白兩面都要烙的意思，一切盡在圖示表征下理解。于是慢慢地剝離了生活烙餅情境，走向數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考“怎樣才能盡快吃上餅”，實(shí)則是思考怎樣烙3個(gè)餅花的時(shí)間最少。

二、用圖示表征尋找方法

我們所看過(guò)的課，基本是讓學(xué)生動(dòng)手烙一烙，文章前面也談過(guò)烙1個(gè)、2個(gè)都不成問(wèn)題，3個(gè)再怎么擺烙都是問(wèn)題。就像郜舒竹老師所說(shuō)“手工操作越多，腦力勞動(dòng)越少”。那么，這節(jié)課，可以不讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[一擺，而用圖式表征烙餅過(guò)程。

教學(xué)基本步驟如下：

1.烙1個(gè)餅，教師示范并在表格里用圖示記錄過(guò)程及時(shí)間。

2.烙2個(gè)餅，學(xué)生自己獨(dú)立在表格里用圖示記錄過(guò)程及時(shí)間。

3.教師出示不同的2個(gè)餅的烙法。

4.比較異同點(diǎn)。

思考：以上是兩種合理的不同烙法，有什么不一樣？第一種1張1張烙，第二種2張同時(shí)烙，第二種比第一種花的時(shí)間少。

5.請(qǐng)?jiān)诘谝环N上調(diào)整，使其也只用6分鐘?？赡艹霈F(xiàn)以下幾種情況：

第一種：劃掉2正2反，畫在第一次第二次的后面；第二種直接用箭頭表示。兩種都給予肯定，教師可否想過(guò)，一定會(huì)有學(xué)生曾經(jīng)歷過(guò)1正和1反放在一起，哪怕你沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，因?yàn)榇藭r(shí)更關(guān)注充分利用空間、省時(shí)而操作。讓學(xué)生重新經(jīng)歷修改調(diào)整的過(guò)程，其意圖是延長(zhǎng)了思考?xì)v程，有利于思考力的提高與思維的縝密性。不管對(duì)與錯(cuò)不做更多講解，把更多的時(shí)間放在師生、生生探討和質(zhì)疑烙3個(gè)餅的教學(xué)環(huán)節(jié)上。

6.自己在表格上圖示表征3個(gè)餅的烙法，巡視發(fā)現(xiàn)有以下三種烙法。

出示第一種烙法，首先肯定餅是烙熟了，花的時(shí)間也是比較少的，因?yàn)槟芤黄鹄拥囊呀?jīng)盡力了。

出示第二種烙法，不急著評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用的時(shí)間更少了，不知可否，要求學(xué)生自己琢磨，能否從中得到一點(diǎn)啟發(fā)。如有想法在自己的表格上修改調(diào)整。

第三種烙法先不出示，是因?yàn)榕麓騺y了正在思考的學(xué)生思維。

這樣安排教學(xué)，相信當(dāng)學(xué)生直面眼下的具體圖示時(shí)，必然會(huì)有所觀察、有所比較、有所思考、有所嘗試。給予充分的時(shí)間確實(shí)有很多學(xué)生還是能找出最佳方法并能說(shuō)明理由。讓剛剛找到新方法的學(xué)生說(shuō)說(shuō)他的思考?xì)v程。一個(gè)學(xué)生回答如下：老師，我橫著看覺(jué)得3正和3反不可能在一起，豎著看想想2反和3反換一下就可以了。于是一石激起千層浪，換位的可多了，但始終堅(jiān)持一個(gè)原則，同一個(gè)餅的兩個(gè)面不能同時(shí)烙。在這個(gè)自我修改、調(diào)整、交流對(duì)話的過(guò)程中學(xué)生收獲頗多，有感謝幫助修改第二種方法的，也有感謝對(duì)其他方法提出改進(jìn)的，也有表?yè)P(yáng)善于認(rèn)真分析他人方法的，當(dāng)然不忘表?yè)P(yáng)講出思考全過(guò)程的。烙3個(gè)餅很難突破，教師不應(yīng)急于求成，只有讓學(xué)生單獨(dú)經(jīng)歷，與難點(diǎn)相遇，與自己對(duì)話，才能留下思考的痕跡。用圖示的優(yōu)越性，是圖示比動(dòng)手?jǐn)[一擺更有效，因?yàn)閳D示顯性地展示了3個(gè)餅的6個(gè)面，而3個(gè)餅再怎么擺放最多只能看到3個(gè)面，6個(gè)面清晰地?cái)[在眼前有利于學(xué)生進(jìn)行排列組合。給予足夠的時(shí)間很多學(xué)生自己能找出最佳方法，而不是教師或優(yōu)秀學(xué)生先展示，因?yàn)閭€(gè)別學(xué)生的方法并不是學(xué)生自己思考的成果，而我們需要的是他們?cè)诓恢婪椒ǖ那闆r下自己能摸索出一種原創(chuàng)性的方法，這才是數(shù)學(xué)課最本真的意義。

三、用圖示表征辨別優(yōu)化

獨(dú)立表征烙4個(gè)餅的過(guò)程。

此時(shí)，剛學(xué)會(huì)3個(gè)餅交替烙法的學(xué)生是無(wú)比興奮，充滿信心和自豪感。發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生用交替法烙4個(gè)餅，他們烙得很投入，很辛苦，此現(xiàn)象很正常。讓學(xué)生自己動(dòng)手，先讓他們嘗試一下剛學(xué)會(huì)的好方法能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，因?yàn)榻惶娣ê苄迈r，很神奇，能很好地節(jié)省時(shí)間，學(xué)生烙好后特有成就感，此時(shí)先給予大力肯定。再要求前2個(gè)不用交替法烙，會(huì)不會(huì)遇到麻煩，最后稍作比較自然而然選擇不完全交替法烙了。那么這時(shí)候把所有的偶數(shù)個(gè)餅先解決，再烙5、7……讓學(xué)生自己烙一烙，再比較發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)個(gè)餅只要先拿出3個(gè)交替烙，其余做偶數(shù)個(gè)餅處理即可。

四、用圖示表征解決拓展題

其實(shí)烙餅問(wèn)題是有規(guī)律的，是有公式的，記住公式可以解決數(shù)據(jù)更大的問(wèn)題。但我們的教學(xué)不急著總結(jié)烙餅的方法，這節(jié)課就希望學(xué)生有圖式表征的意識(shí)，用自己的方法解決與例題不一樣的烙餅習(xí)題，不在于餅的個(gè)數(shù)的繁多，在于圖示表征方法的遷移和親身體會(huì)圖式表征的意義。

問(wèn)題：如果一個(gè)鍋?zhàn)疃嗬?個(gè)餅，請(qǐng)問(wèn)烙4、5、6個(gè)需多少時(shí)間？

烙5個(gè)餅，有學(xué)生在空白表格里認(rèn)認(rèn)真真地記錄，有學(xué)生在4個(gè)的基礎(chǔ)上填補(bǔ)，也有學(xué)生不畫圖就知道答案，烙6個(gè)餅畫圖的人更少了?？傊茸寣W(xué)生自主用圖示表征，在表征的過(guò)程中經(jīng)歷思考、調(diào)整、修改并慢慢發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒(méi)發(fā)現(xiàn)規(guī)律也沒(méi)事，因?yàn)閷W(xué)習(xí)真正發(fā)生了！

參考文獻(xiàn)：

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[2]鐘啟泉.課堂研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2016.

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浙江省永嘉縣少年藝術(shù)學(xué)校 325100）