函數(shù)定義域在解題中的重要性

何秀英

【摘要】函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中若不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧途。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}的作用與影響，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。三

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 定義域

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）17-0262-02

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域。如：

例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

故函數(shù)關(guān)系式為：。

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量 的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量 取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：即：函數(shù)關(guān)系式為：（）。

這個(gè)例子說明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問題的影響。若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

二、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（?。┲档膯栴}。如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。如：

例2：求函數(shù)在[-2，5]上的最值。

解：∵

∴當(dāng)x=1時(shí)，

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。

其實(shí)以上結(jié)論只是對(duì)二次函數(shù)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間上，它的最值應(yīng)分如下情況：

⑴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增函數(shù)

；

⑵當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減函數(shù)

；

⑶當(dāng)時(shí)，在上最值情況是：

，

.即最大值是中最大的一個(gè)值。

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵

∴

∴

∴

函數(shù)在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12.

這個(gè)例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，若能注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例3：求函數(shù)的值域。

錯(cuò)解：令

∴

故所求的函數(shù)值域是。

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有，而函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1。

故所求的函數(shù)值域是[1，+∞）。

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

四、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：

例4：指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

解：先求定義域：

∵∴

∴函數(shù)定義域?yàn)?

令，知在上時(shí)，u為減函數(shù)，

在上時(shí)，u為增函數(shù)。

又∵。

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間是。

如果在做題時(shí)，沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型，套公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

例5：判斷函數(shù)的奇偶性。

解：∵

∴定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱。

∴函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。

若學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性

如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：

∵

∴函數(shù)是奇函數(shù)。

錯(cuò)誤剖析：因?yàn)橐陨献龇ㄊ菦]有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對(duì)定義域?yàn)镽來說），對(duì)解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，同時(shí)也提高了學(xué)生做題的準(zhǔn)確性，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。所以，遇到函數(shù)，必先考慮定義域，這是千年不變的真理！

參考文獻(xiàn)：

[1]莊亞棟主編高中數(shù)學(xué)教與學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)編輯部出版1999.