有理數(shù)乘法法則“負(fù)負(fù)得正”的五種教學(xué)法

沙稼璐

【摘 要】根據(jù)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）7-9年級(jí)數(shù)與代數(shù)部分的教學(xué)要求，筆者查閱各版本初中數(shù)學(xué)教材、初中數(shù)學(xué)及小學(xué)奧數(shù)教輔用書中“負(fù)負(fù)得正”相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)、教法、解法，提出總計(jì)兩個(gè)大類、五種解決方法，有理數(shù)乘法法則。

【關(guān)鍵詞】課程分析；教學(xué)設(shè)計(jì)；有理數(shù)乘法法則；負(fù)負(fù)得正

【中圖分類號(hào)】G633 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2018）21-0008-02

引言

有理數(shù)乘法法則作為初中數(shù)學(xué)課程教育的一大基石，也是初中義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程“數(shù)與代數(shù)”部分的基礎(chǔ)。有關(guān)于有理數(shù)乘法法則教學(xué)設(shè)計(jì)的話題討論經(jīng)久不息，其中對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”的討論與設(shè)計(jì)更是匯集了前人無數(shù)智慧并渴望將其解決的。筆者通過查閱，匯總各類初中數(shù)學(xué)版本教材、初中數(shù)學(xué)及小學(xué)奧數(shù)教輔用書中“負(fù)負(fù)得正”相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)、教法、解法，提出總計(jì)五種解決方法，希望有理數(shù)乘法中“負(fù)負(fù)得正”這一課程難點(diǎn)教學(xué)提供一些幫助。

基礎(chǔ)解釋方法：引入現(xiàn)實(shí)問題，建立對(duì)應(yīng)模型。

數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，可以說數(shù)學(xué)自誕生起便是直接服務(wù)于實(shí)際生活的一門學(xué)科，引入現(xiàn)實(shí)問題，建立對(duì)應(yīng)模型是幫助理解、記憶數(shù)學(xué)原理和規(guī)律最常用的方式，下文通過建立類似“1+1=2”對(duì)應(yīng)“一個(gè)蘋果加一個(gè)蘋果等于兩個(gè)蘋果”，的現(xiàn)實(shí)模型，從現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)引入解釋“負(fù)負(fù)得正”。

導(dǎo)入：乘法法則的初步學(xué)習(xí)中，人教版通過對(duì)“一個(gè)人有兩個(gè)蘋果，那么四個(gè)人有幾個(gè)蘋果？”一類問題的思考進(jìn)行引入，再通過引入兩個(gè)不同的量，人和蘋果，定義乘法并得出：

2+2+2+2=2×4，得出：2×4=8個(gè)。

負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，人教版首先通過“比沒有蘋果還少一個(gè)蘋果”的思考，“0-1=？”的思考進(jìn)行引入，再通過依靠建立具有相反意義的模型，如將今天記為0，明天記為1，得出昨天記為-1，從而解釋了正數(shù)的相反數(shù)——負(fù)數(shù)，此部分，通過類似的方法：引入現(xiàn)實(shí)問題，建立對(duì)應(yīng)模型。

方法一：建立兩組具有相反意義的量的模型

方法一導(dǎo)入：選取三種生活中的例子，從現(xiàn)實(shí)生活中解釋負(fù)負(fù)得正。提出測(cè)量類模型，運(yùn)動(dòng)類模型，以及“司湯達(dá)之問”的負(fù)債模型共計(jì)三種具有相反意義的量的模型作為參考。

以上三種模型就本質(zhì)而言均為建立兩組具有相反意義的量進(jìn)行解釋，掌握本質(zhì)后，可以舉出眾多例子。

測(cè)量型模型：我們通過題目來引入講解：某氣象站測(cè)得海拔每升高1千米，溫度降低0.6度，觀察地點(diǎn)的氣溫是0度；試問：在觀察地點(diǎn)以上2千米的地方氣溫是多少度？觀察地點(diǎn)以下3千米的地方氣溫是多少度？

規(guī)定，氣溫升高為正，氣溫下降為負(fù)觀察地點(diǎn)以下為負(fù)，觀察地點(diǎn)以上為正。

可知：

每升高1千米，海拔+1；溫度降低0.6度，溫度-0.6

每降低1千米，海拔-1；溫度升高0.6度，溫度+0.6

①觀察地點(diǎn)以上2千米的地方氣溫是

（-0.6）×（2）=1.2度

海報(bào)增加1km溫度變化量×海拔增加千米數(shù) =觀察地點(diǎn)地方氣溫

②易得上述問題觀察地點(diǎn)以下3千米的地方氣溫是的算式為：

（-0.6）×（-3）=1.8度

總結(jié)：建立兩組具有相反意義的量的模型中測(cè)量型模型是一種常見的證明方法。說明過程簡(jiǎn)單易懂。

運(yùn)動(dòng)類模型：我們同樣通過題目來引入講解：一個(gè)人沿著公路慢跑，一直向東方行走，速度5公里每小時(shí)，請(qǐng)問下午4點(diǎn)時(shí)，他回頭跑到下午1點(diǎn)所在位置需要奔跑的距離是？

規(guī)定：選定向東的方向?yàn)檎较?，向西的方向?yàn)樨?fù)方向。

①依照時(shí)間的順序，表示為：

將來的時(shí)間使用正值，表示過去的時(shí)間使用負(fù)值，

人的初始位置在零點(diǎn)，初始時(shí)間也設(shè)定為0。

依照方向的順序，表示為：

向右走為正值，向左走為負(fù)值。

②下午1點(diǎn)距離下午4點(diǎn)所在的時(shí)間是-3小時(shí)

每小時(shí)行進(jìn)距離-5公里（向西）

易知：他距離現(xiàn)在所在位置的距離（ -5 ） ×（-3） = 15 公里

總結(jié)：建立兩組具有相反意義的量的模型中運(yùn)動(dòng)類模型是一種不常見的證明方法。說明過程中往往需要運(yùn)用到時(shí)間概念。時(shí)間的概念需要初中物理知識(shí)作為支撐，運(yùn)動(dòng)類模型在各類教材版本中往往出現(xiàn)于課后習(xí)題（如蘇教版、人教版、北師大版等），少見于直接證明。

負(fù)債模型：

負(fù)債模型由數(shù)學(xué)見M.kelien正式提出并廣泛為人接受。我們同樣通過題目來引入講解約定：某人每天支出5元人民幣，給定日期4天后，此人負(fù)債20元人民幣。

①采取記債：支出5人民幣記為：-5；

每天支出5人民幣，負(fù)債4天可以數(shù)學(xué)表達(dá)：（-5）× 4 = - 20。

同樣一人每天負(fù)債5人民幣，那么給定日期4天前，他的財(cái)產(chǎn)比給定日期的財(cái)產(chǎn)多20人民幣。

（-4）：表示4天前；

（-5）：表示每天負(fù)債；

②那么4天前，此人經(jīng)濟(jì)情況為：（-5）×（-4）=20。

方法二：建立向量模型，引入數(shù)軸表示法。

導(dǎo)入：數(shù)軸表示法是小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的一種基本方法，數(shù)軸作為圖形更加直觀，兼顧復(fù)習(xí)已學(xué)，聯(lián)系新知識(shí)，有承上啟下的作用。因此，運(yùn)用向量模型中的數(shù)軸表示法作為一種數(shù)學(xué)情景的講解不失為一種好的課程教學(xué)辦法。

數(shù)軸模型：規(guī)定數(shù)軸的正方向?yàn)闁|，負(fù)方向?yàn)槲?一個(gè)人在數(shù)軸的原點(diǎn)處，一2看作向西運(yùn)動(dòng)2米，（一3）×（一2）看作沿反方向（東）運(yùn)動(dòng)2次，結(jié)果向東運(yùn)動(dòng)了6米，

所以（-3）×（-2）=6.

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數(shù)理邏輯解釋方法：利用已知數(shù)理知識(shí)，計(jì)算推導(dǎo)證明結(jié)論

導(dǎo)入：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)依靠反復(fù)的運(yùn)算和實(shí)踐，將諸如數(shù)學(xué)中的結(jié)合律、分配率等進(jìn)行了強(qiáng)有力的驗(yàn)實(shí)，達(dá)到對(duì)對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)計(jì)算方法和運(yùn)算法則的理解。這部分參照國內(nèi)教材，部分修改與調(diào)整，，列舉三種經(jīng)典的針對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)理邏輯解釋方法，從具體到抽象（純數(shù)字和理論），通過數(shù)學(xué)的計(jì)算推導(dǎo)，使用數(shù)理邏輯解釋或者證明“負(fù)負(fù)得正”。

方法三：使用觀察歸納法證明負(fù)負(fù)得正

導(dǎo)入：歸納法通過對(duì)現(xiàn)實(shí)的觀察、探索、分析、推理、歸納五個(gè)部分，獲得合情推理得到結(jié)果，是人類認(rèn)識(shí)世界最原始也是最基礎(chǔ)的方式。有關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的問題，在教學(xué)的前期使用歸納法，引入知識(shí)同時(shí)鍛煉學(xué)生的探究意識(shí)。一般的歸納模型作為不完全歸納，并不完整，此處補(bǔ)充觀察歸納方法。

〖XC45.JPG；%30%30〗

歸納得出：“當(dāng)乘數(shù)增加1，最后乘積減少2”；“當(dāng)乘數(shù)減少1，最后乘積增加2?！?/p>

由此寫出右邊算式的結(jié)論。歸納得出：“負(fù)負(fù)得正”這一結(jié)論。

觀察歸納法需要教師一步步詳細(xì)的指引，朱文芳《初中生函數(shù)概念發(fā)展的研究》一書中，表明58.6%的初一學(xué)生難以使用變化的觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問題。此類方法出現(xiàn)于部分教材的引入部分。

方法四：使用分配律證明負(fù)負(fù)得正

導(dǎo)入：據(jù)北京1969版的數(shù)學(xué)教材，運(yùn)算律分配律作為公理，使用分配率證明負(fù)負(fù)得正。對(duì)于分配率證明負(fù)負(fù)得正，近年的教材中并不再出現(xiàn)，究其原因：運(yùn)算律應(yīng)該產(chǎn)生于運(yùn)算之后，使用運(yùn)算律證明運(yùn)算的法則的做法并不可取。此處對(duì)原書中數(shù)學(xué)推理作相關(guān)的修改優(yōu)化，部分用語文字化以降低理解難度，過程如下：

①使用構(gòu)造法：

由：3×（-2）+3×（2）

=3×[（-2）+2] = 3 × 0 = 0

所以構(gòu)造有：3 ×（-2）+ 3 ×（2）= 0

移項(xiàng)有：3 ×（-2）+ 3 ×（2）- [3 ×（2）] = 0 – [3 ×（2）]

所以有：3 ×（-2）= – [3 ×（2）]

②類比以上過程：

由：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）

= （-3） × [（-2）+ 2] = （-3） × 0 = 0

所以有：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）= 0

移項(xiàng)有：（-3） ×（-2）+ （-3） ×（2）- [（-3） ×（2）] = 0 – [（-3） ×（2）]

所以有：（—3） ×（-2）= – [（-3） ×（2）]

因?yàn)椋酣C [（-3） ×（2）] = 3 × 2

所以最終有：（—3） ×（-2）= 3 × 2

③由此得出結(jié)論：使用分配律證明負(fù)負(fù)得正?？梢钥闯觯C明過程通過 “保持”運(yùn)算律從而得到法則，與正常教學(xué)中運(yùn)算應(yīng)先規(guī)定法則再驗(yàn)證運(yùn)算律不同。

方法五：使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正

導(dǎo)入：據(jù)華師版，人教版教材，使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正。相反數(shù)的定義賦予了其在“負(fù)負(fù)得正”數(shù)學(xué)推理中的簡(jiǎn)便，是最常見的數(shù)理邏輯解釋方法。

①通過舉例特殊情況下：

3 × 2 = 3 + 3 = 6；

（-3） ×2 = （-3） + （-3） = -6；

通過： （-3） ×2 = （-3） + （-3） = -6；

（-2） ×3 = （-2） + （-2） + （-2） = -6；

- （2 ×3） = - 6；

由以上三式有結(jié)論：（-3）×2 =（-2） ×3 = - （2 ×3）；

對(duì)負(fù)負(fù)得正的情況： （ -3）×（-2）= -[ 3 ×（-2）] = - [-6] = 6

②一般情況下，m、n均為正整數(shù)下，類比特殊情況可以寫出：

m × n = m + m + m+ … + m 共計(jì)n項(xiàng)

= mn；

（-m） ×n = （-m） +（-m）+ …+ （-m） 共計(jì)n項(xiàng)

= -mn；

通過：（-m） ×n = （-m） + （-m）+ …+ （-m） 共計(jì)n項(xiàng)

= -mn；

（-n） ×m = （-n） + （-n）+ …+ （-n） 共計(jì)m項(xiàng)

= -mn；

- （n ×m） = - mn；

由以上三式有結(jié)論：（-m）×n =（-n） ×m = - （n ×m）；

對(duì)負(fù)負(fù)得正的情況： （ -m）×（-n）= -[ m ×（-n）] = - [-mn] = mn

③由此得結(jié)論：（ -m）×（-n）= -[ m ×（-n）] = - [-mn] = mn

特殊情況下即為：（ -3）×（-2）= -[ 3 ×（-2）] = - [-6] = 6

語言敘述為：有理數(shù)乘法中，一個(gè)因數(shù)換成它的相反數(shù)，所得乘積為原式子乘積的相反數(shù).

以上方法經(jīng)歷了特殊到—般再到特殊，具有具體直觀的特點(diǎn)，通過歸納和類比，最終達(dá)到使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正。

參考文獻(xiàn)

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