對一道模擬試題的解讀—對2014年江西師大附中一道模擬試題的思考

廣東省東莞市東華高級中學(523128) 趙金國

本文對一道經(jīng)典試題進行剖析,與讀者共享其魅力和真諦.

題目(2014年江西師大附中模擬試題)已知雙曲線E:的中心為原點O,左、右焦點分別為F1、F2,離心率為點P是直線上任意一點,點Q在雙曲線E上,且滿足

(1)求實數(shù)a的值;

(2)證明:直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值;

(3)若點P的縱坐標為1,過點P作動直線l與雙曲線右支交于不同的兩點M、N,在線段MN上取異于點M、N的點H,滿足證明點H恒在一條定直線上.(求點H的軌跡方程.)

一、試題簡答

(2)由(1)可知點F2(3,0).設點因為所以所以因為點Q(x0,y0)在雙曲線E上,所以所以

所以直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值

(3)依題意,直線l的斜率k存在.設直線l的方程為由

消去y得

因為直線l與雙曲線E的右支交于不同兩點M(x1,y1),N(x2,y2),則有

設點H(x,y),由得

整理得

將②和③代入上式得

整理得

因為點H在直線l上,所以

聯(lián)立④和⑤消去k得:4x?3y?12=0.所以點H恒在定直線上4x?3y?12=0.

二、試題解讀

解(1)易知是雙曲線的準線,點Q在雙曲線E上,點P在準線上,且滿足可有直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值

(2)若點P的縱坐標為1,過點P作動直線l與雙曲線右支交于不同的兩點M、N,在線段MN上取異于點M、N的點H,滿足則點H恒在一條定直線上,此時定直線4x?3y?12=0,即b2x?cy?b2c=0.

三、拓展研究

由雙曲線很容易聯(lián)想的橢圓也有此性質,構造對偶橢圓.

變式1 已知橢圓E:的中心為原點O,左、右焦點分別為F1、F2,離心率為點P是直線上任意一點,點Q在橢圓E上,且滿足

(1)求實數(shù)a的值;

(2)證明:直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值;

(3)若點P的縱坐標為1,過點P作動直線l與橢圓交于不同的兩點M、N,在線段MN上取異于點M、N的點H,滿足證明點H恒在一條定直線上.(求點H的軌跡方程.)

簡答(1)a=3.(2)直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值(3)點H恒在定直線4x?3y?12=0上,即b2x?cy?b2c=0.

四、深入研究

如果將準線上的點一般化,是否有更一般的結論呢?

變式2 已知雙曲線E:的中心為原點O,左、右焦點分別為F1、F2,點P是準線上任意一點,點Q在雙曲線E上,且滿足

(1)證明:直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值;

(2)若點P的縱坐標為t,過點P作動直線l與雙曲線右支交于不同的兩點M,N,在線段MN上取異于點M和N的點H,滿足求點H的軌跡方程.

解答(1)由已知點F2(c,0).設點因為所以

所以直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值

(2)依題意,直線l的斜率k存在.設直線l的方程為由

消去y得

因為直線l與雙曲線E的右支交于不同兩點M(x1,y1),N(x2,y2),則有

將②和③代入上式得

整理得t(cx?a2)k+b2(c?x)+t2c=0.因為點H在直線l上,所以

所以點H的軌跡方程為:b2x?cty?b2c=0.

五、結論的一般化

結論1 已知橢圓E:的中心為原點O,左、右焦點分別為F1、F2,點P是準線上任意一點,點Q在在橢圓E上,且滿足則如下結論成立:

(1)直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值

(2)若點P的縱坐標為t,過點P作動直線l與橢圓交于不同的兩點M、N,在線段MN上取異于點M和N的點H,滿足則有點H的軌跡方程為b2x?cty?b2c=0.

結論2 已知拋物線E:y2=2px(p＞0),焦點為F,點P是準線上任意一點,點Q在拋物線E上,且滿足若點P的縱坐標為t,過點P作動直線l與拋物線交于不同的兩點M、N,在線段MN上取異于點M和N的點H,滿足求點H的軌跡方程為

其中p是焦點到準線的距離.

如果將p視作橢圓或雙曲線焦點到準線的距離b2x?cty?b2c=0可化為px?ty?pc=0.此外(?)式亦適合,其中

以上通過對經(jīng)典試題的研究,得出若干結論,這充分體現(xiàn)經(jīng)典試題的經(jīng)典性、示范性和應用性,真可謂登高才能望遠,幽靜之處必有風光!