淺析三次函數(shù)的圖像

摘要：本文主要論述了高中新課標選修教材中導(dǎo)數(shù)一章中利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)單調(diào)性極值的過程。

關(guān)鍵詞：三次函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)；單調(diào)性；極值；圖像

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容。教材指出如果在某個區(qū)間內(nèi)，都有導(dǎo)函數(shù)f′（x）>0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)y=f（x）是增加的；如果在某個區(qū)間內(nèi)，都有導(dǎo)函數(shù)f′（x）<0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)y=f（x）是減少的。在包含x0的一個區(qū)間（a，b）內(nèi)，函數(shù)y=f（x）在任何一點的函數(shù)值都小于或等于（大于或等于）x0點的函數(shù)值，則稱點x0為函數(shù)y=f（x）的極大（?。┲迭c，其函數(shù)值f（x0）為函數(shù)的極大（?。┲?。這里筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗，利用導(dǎo)數(shù)工具對三次函數(shù)的圖像做簡單研究，歸納總結(jié)三次函數(shù)圖像的幾種情況及圖像的簡單應(yīng)用。

設(shè)任意一個三次函數(shù)為y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R），易知其定義域為R，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax2+2bx+c是一個二次函數(shù)，對應(yīng)的方程為3ax2+2bx+c=0，對應(yīng)的判別式為Δ=4b2-12ac。

1. 當a>0時，對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)為開口朝上的二次函數(shù)。

（1）若Δ>0，則方程f′（x）=0有兩個不同的實根，不妨設(shè)兩個實根分別為x1，x2且x1

x∈（-∞，x1）時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；

x∈（x1，x2）時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；x1為極大值點；

x∈（x2，+∞）時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；x2為極小值點；

當x的取值很大，即x→+∞時y→+∞，當x的取值很小，即x→-∞時y→-∞。

故函數(shù)的值域為R。這時三次函數(shù)的圖像如圖（1）

先增后減再增（圖1）

（2）若Δ≤0則方程f′（x）=0有重根或者無實根，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0在R上恒成立且只在二次函數(shù)的頂點處等于0，易知f（x）為R上的增函數(shù)，值域為R。這時三次函數(shù)的圖像如圖（2）

遞增（圖2）

當a>0時，函數(shù)圖像先增后減再增或在R上遞增。

2. 當a<0時，對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)為開口朝下的二次函數(shù)。

（1）若Δ>0則方程f′（x）=0有兩個不同的實根，不妨設(shè)兩個實根分別為x1，x2且x1

x∈（x1，x2）時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；x1為極小值點；

x∈（x2，+∞）時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；x2為極小值點；

當x的取值很大，即x→+∞時y→-∞，當x的取值很小，即x→-∞時y→+∞。

故函數(shù)的值域為R。這時三次函數(shù)的圖像如圖（3） ：

先減后增再減（圖3）

（2）若Δ≤0則方程f′（x）=0有重根或者無實根，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）≤0在R上恒成立且只在二次函數(shù)的頂點處等于0，易知f（x）為R上的減函數(shù)，值域為R。這時三次函數(shù)的圖像如圖（4） ：

遞減（圖4）

當a<0時函數(shù)圖像先減后增再減或在R上遞減。

我們借助導(dǎo)數(shù)的工具對三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行了研究：根據(jù)三次系數(shù)的正負與導(dǎo)函數(shù)判別式的符號來確定函數(shù)在R上的單調(diào)性，或增，或減，或先增再減再增，或先減再增再減。再結(jié)合極值的情況就可以確定零點的分布，可能一個零點，可能兩個零點，也可能三個零點。

【例1】函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx的圖像如圖所示，且 f（x）在x=x0處與x=2處取的極值，則f（1）+f（-1）的值一定（）

A. 等于0

B. 大于0

C. 小于0

D. 小于或等于0

解析：由該三次函數(shù)圖像“先增再減再增”可知a>0，f′（x）=3ax2+2bx+c，由題意x0+2=-2b3a>0故b>0。而又f（1）+f（-1）=2b，所以f（1）+f（-1）>0故選B。

【例2】函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）

A. a>0，b<0，c>0，d>0

B. a>0，b<0，c<0，d>0

C. a<0，b<0，c>0，d>0

D. a>0，b>0，c>0，d<0

解析：由該三次函數(shù)圖像“先增再減再增”可知a>0，f′（x）=3ax2+2bx+c的兩個零點為正數(shù)，故x1+x2=-2b3a>0，x1·x2=c3a>0。故 b<0，c>0，再由圖像可知f（0）=d>0。綜上，正確選項為A。

點評：由三次函數(shù)的單調(diào)性或增，或減，或先增再減再增，或先減再增再減以及極值情況可以判斷出系數(shù)a，b，c的符號，從而解決與系數(shù)的相關(guān)問題。

作者簡介：

石群英，陜西省漢中市，漢中中學(xué)。