極坐標(biāo)思想在拋物線中的應(yīng)用

張文斌 劉彥江 趙欣慶 丁冬彥

（甘肅省永登縣連鋁學(xué)校，甘肅 永登）

幾何畫板創(chuàng)設(shè)了一個數(shù)學(xué)實驗室，提供了一個理想的做數(shù)學(xué)的環(huán)境。學(xué)生可以從“聽”數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變到“做”數(shù)學(xué)，即以研究者的方式，參與包括發(fā)現(xiàn)、探索在內(nèi)的獲得知識的全過程。教師利用它打破了傳統(tǒng)的用尺規(guī)教學(xué)的方法。具有動態(tài)直觀、數(shù)形結(jié)合、色彩鮮明、變化無窮的特點，能極大地增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是一只點石成金的金手指。

我們基于《幾何畫板》軟件探究出了《極坐標(biāo)思想在拋物線中的應(yīng)用》一課。課堂實錄如下：

幾何畫板展示定義（學(xué)習(xí)拋物線時已多次展示給學(xué)生。但這一次教師現(xiàn)場操作電腦鼠標(biāo)、鍵盤構(gòu)造拋物線的第三標(biāo)準(zhǔn)方程的圖像，展示大屏幕在黑板的右側(cè)）。

（1）建立以O(shè)為坐標(biāo)原點的平面直角坐標(biāo)系。在y軸正半軸上任意選取一焦點F，并作出其關(guān)于x軸的對稱點F′。過點F′作y軸的垂線，即準(zhǔn)線l′。

（2）在準(zhǔn)線l′任意選取一點D，過點D作直線l″⊥l′.作線段DF的中垂線l，設(shè)直線l與直線l″相交于點G。

（用鼠標(biāo)拖動點D，觀察點G的變化情況，在動態(tài)中△GFD恒為等腰三角形，即

（3）同時選取D、G兩點，構(gòu)造點G的軌跡。即為以F為焦點，直線l′為準(zhǔn)線的拋物線。

圖一

幾何畫板展示拋物線的第三標(biāo)準(zhǔn)方程的圖像后，在黑板左上方偏下的位置板書拋物線的第三標(biāo)準(zhǔn)方程：x2=2py。

在拋物線第三標(biāo)準(zhǔn)方程下方板書：

例 1：過拋物線x2=2py（p＞0）的焦點F作傾斜角為 30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點（點A在y軸左側(cè)），則

分析：在幾何畫板上，過切線l與準(zhǔn)線l′的交點作切線l的垂線，與射線GF相交于點A.選擇文本工具，將點G改為點B.用鼠標(biāo)拖動點D、F，使直線AB的傾斜角滿足題意。發(fā)現(xiàn)這是一個與p值無關(guān)的動態(tài)中恒成立問題。

解：由極坐標(biāo)的思想方法，可得

圖二

例 2：已知直線y=kx-2（k＞0）與拋物線C：x2=8y相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若，則k= （ ）

分析：在幾何畫板上，刪除無關(guān)點線，突出拋物線第三標(biāo)準(zhǔn)方程的主體圖形，保留動點D及拋物線上的點B。在準(zhǔn)線l′上任意選取動點D′，過點D′作直線與準(zhǔn)線l′垂直，設(shè)該直線與線段D′F的中垂線相交于點A。構(gòu)造直線AB。用鼠標(biāo)拖動點F，使拋物線與題意吻合。拖動點D、D′，使DB、D′A滿足題意且直線AB過點（0，-2）。發(fā)現(xiàn)這是一個滿足多重條件的定值定點問題。

解：由拋物線的定義，可得

圖三

FA=D′A，F(xiàn)B=D′B。

設(shè)，A（x1，y1），B（x2，y2），則x2=2x1，y2+2=2（y1+2）。

代入x2=8y得

本節(jié)課以拋物線為例，闡明極坐標(biāo)思想在圓錐曲線中的應(yīng)用，基于幾何畫板在極坐標(biāo)方程教學(xué)中的應(yīng)用的新探索。本文充分體現(xiàn)了幾何畫板作圖，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實驗室，實現(xiàn)做數(shù)學(xué)的思想。