極限思維在解題中的應(yīng)用

☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 洪曉鴿

極限思維是解決一些特殊數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的數(shù)學(xué)思想.解題過(guò)程中，若能靈活地借助極限思想處理一些相關(guān)問(wèn)題，利用從有限到無(wú)限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變，往往可以有效避開(kāi)抽象、復(fù)雜的討論與運(yùn)算，降低難度，優(yōu)化過(guò)程，進(jìn)而得以快速破解問(wèn)題，起到事半功倍的效果.

一、方程中的極限思維

例1 函數(shù)f（x）=lnx+ex的零點(diǎn)所在的區(qū)間可能是下面中的（ ）.

分析：通過(guò)計(jì)算，結(jié)合函數(shù)（fx）=lnx+ex在各選項(xiàng)中相應(yīng)點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)情況，結(jié)合根的存在定理得以確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，而對(duì)于特殊點(diǎn)0，+∞，經(jīng)常可以采用極限思維加以處理.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查根的存在性定理，函數(shù)的零點(diǎn)及其應(yīng)用.解決此類問(wèn)題的方法技巧主要有兩種：（1）通過(guò)函數(shù)的圖象加以直觀確定；（2）結(jié)合根的存在定理加以運(yùn)算判斷.利用極限思維來(lái)處理函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，回避困難計(jì)算，以巧取勝.

二、函數(shù)中的極限思維

分析：常規(guī)方法是直接通過(guò)函數(shù)的解析式的特點(diǎn)來(lái)確定函數(shù)的圖象問(wèn)題，判斷難度不小.而通過(guò)自變量x的取值的極限性來(lái)分析圖象的走勢(shì)，可以比較簡(jiǎn)單快捷、直觀形象地確定答案.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：本題采用極限思維，通過(guò)自變量x的兩個(gè)變化極限所對(duì)應(yīng)的因變量y的取值情況，結(jié)合選項(xiàng)中的相關(guān)圖象來(lái)排除即可.極限思維在解決函數(shù)的圖象問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于根據(jù)題目條件，考慮相應(yīng)函數(shù)中的解析式、圖象、函數(shù)值等的極限取值，并結(jié)合所對(duì)應(yīng)的極限取值，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決，淡化函數(shù)的運(yùn)算與變換過(guò)程，降低難度.

三、解析幾何中的極限思維

例3 （2016·浙江文·13）設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是______.

分析：采用常規(guī)方法求解難度比較大且計(jì)算繁雜，而從雙曲線的定義入手，通過(guò)分類討論，結(jié)合極限思維分別確定當(dāng)∠F1PF2與∠F1F2P為極限值90°時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系式|PF1|+|PF2|所對(duì)應(yīng)的極端值，數(shù)形結(jié)合即可得到△F1PF2為銳角三角形時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系式|PF1|+|PF2|的取值范圍.

解析：由題可得a=1，b= ■ 3 ，c=2，不失一般性，假定P是雙曲線1上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的定義有|PF1|-|PF2|=2a=2，可得|PF1|=|PF2|+2，下面通過(guò)極限思維來(lái)討論：

（1）當(dāng)∠F1PF2=90°時(shí)，由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，整理則有|PF2|2+2|PF2|-6=0，解得|PF2|=-1（負(fù)值舍去），此時(shí)|PF1|+|PF2|=2；

（2）當(dāng)∠F1F2P=90°時(shí)，由勾股定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，解得|PF2|=3，此時(shí)|PF1|+|PF2|=8；

而由題知△F1PF2為銳角三角形，結(jié)合極限思維并數(shù)形結(jié)合可得|PF1|+|PF2|∈（2，8），

點(diǎn)評(píng)：本題采用極限思維，根據(jù)曲線上的點(diǎn)的移動(dòng)所對(duì)應(yīng)的直角三角形的極端元素入手，結(jié)合極端情況下所對(duì)應(yīng)的直角三角形的三邊之間的關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化.極限思維在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，可以結(jié)合極端元素條件下的解析幾何的相關(guān)知識(shí)來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，化一般為特殊，這樣操作起來(lái)思維清晰，難度降低，過(guò)程簡(jiǎn)潔，最后又要從特殊回歸到一般，從而使得問(wèn)題得以正確解答.

四、立體幾何中的極限思維

例4 正三棱錐S—ABC相鄰兩側(cè)面所成的角為α，則α的取值范圍是（ ）.

分析：直接處理存在一定的難度，而且非?？简?yàn)直觀想象能力與分析問(wèn)題處理問(wèn)題的能力.而以動(dòng)制靜，利用SO的大小變化極限思維來(lái)分析在兩個(gè)極端情況下，對(duì)應(yīng)的相鄰兩側(cè)面所成的角的取值情況，從而得以快捷判斷.

解析：在正三棱錐S-ABC中，如圖1所示，SO⊥底面ABC，O為正△ABC的中心，當(dāng)SO→0時(shí)，此時(shí)正三棱錐S-ABC的高趨近于0，結(jié)合圖象可知，相鄰兩個(gè)側(cè)面的夾角趨近于π，當(dāng)SO→+∞時(shí)，此時(shí)正三棱錐S-ABC的高趨近于+∞，結(jié)合圖象可知，此時(shí)正三棱錐S-ABC無(wú)限接近于一個(gè)正三棱柱，數(shù)形結(jié)合可知其相鄰兩個(gè)側(cè)面的夾角無(wú)限接近

故結(jié)合極限思維并數(shù)形結(jié)合可知，正三棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所成角的取值范圍選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、極限的思想去觀察、分析、處理問(wèn)題，直接利用極端位置所對(duì)應(yīng)的角度來(lái)分析，省去空間幾何圖形的直觀想象，同時(shí)也省去相應(yīng)的運(yùn)算求解，可達(dá)到意想不到的效果.

五、組合中的極限思維

分析：根據(jù)創(chuàng)新定義，結(jié)合組合數(shù)公式加以分析與判斷，同時(shí)解答時(shí)還要根據(jù)極限的思維加以分析.

點(diǎn)評(píng)：解決此類創(chuàng)新定義問(wèn)題，必須按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求，結(jié)合相關(guān)知識(shí)加以創(chuàng)新，同時(shí)按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求、結(jié)合各相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)加以邏輯推理和計(jì)算等，從而得以解決問(wèn)題.而在處理過(guò)程中，有時(shí)非常規(guī)問(wèn)題就得用非常規(guī)的方法，利用極限思維來(lái)處理相應(yīng)的取值極限，也是非常巧妙的方法.

其實(shí)，利用極限思想，在實(shí)際求解一些特殊數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)可以避免復(fù)雜運(yùn)算，探索解題新思路，大有“撥開(kāi)云霧見(jiàn)晴天”的美好感覺(jué).特別在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，利用極限思維來(lái)考慮極端情形，可以以動(dòng)制靜，簡(jiǎn)化計(jì)算，化繁為易，達(dá)到巧妙、快捷、正確解答的目的，拓展思維，培養(yǎng)能力.