一道求最值題的解法探索

☉江蘇省南京民辦實驗學(xué)校 韓小軍

函數(shù)求最值的方法有許多，例如：均值不等式法、消元法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、構(gòu)造法等，許多題可以使用上述中幾種不同的方法解.我們在平常的學(xué)習(xí)中要善于思考，挖掘一道題的多種解法，這樣能夠增加我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，提高我們的解題能力.下面以一道函數(shù)求最值為例，淺談一下它的多種解法，與各位分享.

方法一：消元法

采用消元法，將二元變量求最值問題轉(zhuǎn)化為一元變量求最值問題，然后再利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法求出最小值.

方法二：三角換元法

利用三角變換，將二元變量求最值問題轉(zhuǎn)化為一元變量求最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法求出最小值.

方法三：判別式法

先引進參數(shù)，再利用消元法，將二元變量求最值問題轉(zhuǎn)化為一元變量在區(qū)間上有實根問題，然后利用判別式求出最小值.

因為2x+y=2，所以t2-2tx+x2=x2+（2-2x）2，整理得4x2+2（t-4）x+4-t2=0.

因為x＞0，y＞0，2x+y=2，所以0＜x＜1，所以關(guān)于x的方程在（0，1）兩個實數(shù)解.

方法四：構(gòu)造法

根據(jù)x＞0，y＞0，以及x、y、■ x2+y2之間滿足勾股定理，因此可以構(gòu)造直角三角形，取該三角形一個銳角為變量，將二元變量求最值問題轉(zhuǎn)化為一元變量求最值問題，再利用三角函數(shù)的有界性求出最小值.

解：構(gòu)造Rt△ABC，如圖1所 示 ，∠C=90°，AC=x，AB=

圖1

方法五：數(shù)形結(jié)合法

將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，畫出圖形，再利用點到直線的距離垂線段最短求出最小值.

解：如圖2所示，設(shè)A（1，0），B（0，2），則2x+y=2且x＞0，y＞0表示以AB為端點的線段（端點除外），設(shè)點P（x，y）為線段AB上任意一點（端點除外），作PQ⊥y軸，垂足為點Q.設(shè)點O關(guān)于直線AB的對稱點為C，易求y軸，垂足為Q0，交直線AB于點P0，則x+ ■ x2+y2=|PQ|+

圖2

當(dāng)且僅當(dāng)點P在P0處時，取得最小值.

方法六：柯西不等式法

柯西不等式的二維形式為：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，等號成立的條件據(jù)這個公式，可得

這樣湊成x、y的系數(shù)為2∶1，從而可以利用已知條件2x+y=2進行解題.

從上述數(shù)學(xué)題的解法中我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)不是枯燥無味的學(xué)科，相反充滿著很多的樂趣.我們平常應(yīng)該養(yǎng)成一個良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，注意從不同的角度思考問題，這樣我們會發(fā)現(xiàn)有許多不同的解題方法，從而感受到數(shù)學(xué)的巨大魅力，體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，同時提高我們的解題能力.J