一道立體幾何中翻折問(wèn)題的多解剖析

☉蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 宋 濤

立體幾何的翻折問(wèn)題是指將一平面圖形翻折后變成空間圖形，然后根據(jù)平面圖形的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等來(lái)研究空間圖形中各元素間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等問(wèn)題.下面結(jié)合實(shí)例，將平面圖形翻折，變成空間圖形，再結(jié)合題目條件，來(lái)解決空間幾何體的空間角（包括異面直線所成的角、線面角、二面角的平面角等）的證明與計(jì)算等問(wèn)題.此類(lèi)問(wèn)題往往隨著翻折的變化而產(chǎn)生解決問(wèn)題角度的變化，切入角度多樣，方法各異.

圖?

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分析：本題涉及立體幾何問(wèn)題的翻折，在翻折過(guò)程中，求解相應(yīng)變量的取值范圍問(wèn)題.注意翻折過(guò)程中，有些量是不變的，而有些量是改變的.如何根據(jù)翻折的過(guò)程來(lái)確定異面直線所成的角，可以通過(guò)異面直線所成角的定義結(jié)合幾何性質(zhì)法、向量法、空間坐標(biāo)法、極端思維法、特殊模型法等眾多的思維方式來(lái)處理.

根據(jù)異面直線所成角的定義，利用平行線轉(zhuǎn)化為平面角，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，利用解三角形來(lái)處理與求解.

解法1：如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FH∥EB交AD于點(diǎn)H，連接HC.

設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠HFC就是異面直線BE與CF所成的角，

分析：根據(jù)向量夾角來(lái)轉(zhuǎn)化異面直線所成的角，把對(duì)應(yīng)的角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題，利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積來(lái)處理與求解，同時(shí)注意異面直線所成的角與向量的夾角之間的區(qū)別與聯(lián)系.

解法2：設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，

分析：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出二面角A—BD—C的平面角的大小為θ，從而確定點(diǎn)A的坐標(biāo)為用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積來(lái)處理與求解，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求解向量夾角問(wèn)題，同時(shí)注意異面直線所成的角與向量的夾角之間的區(qū)別與聯(lián)系.

圖4

解法3：設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1

如圖4，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B、FC所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系F—xyz，設(shè)二面角A—BD—C的平面角的大小為θ（θ∈［0，π］），

分析：直接通過(guò)題目條件判斷相應(yīng)異面直線所成角的大小取值范圍的難度比較大，而通過(guò)極端思維，根據(jù)翻折的極端位置入手，結(jié)合翻折時(shí)對(duì)應(yīng)的變化帶動(dòng)點(diǎn)的變化所對(duì)應(yīng)的極端位置來(lái)分析，可以很快確定答案.

解法4：設(shè)二面角A—BD—C的平面角的大小為θ（θ∈［0，π］），異面直線BE與CF所成角為α.

取極端思維：翻折前，幾乎沒(méi)動(dòng)，此時(shí)θ→π，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)可得此

繼續(xù)翻折，幾乎AD與DC重合，此時(shí)θ→0，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)可得此

分析：先作出輔助線，確定HF與CF所成的夾角就是異面直線BE與CF所成的角，根據(jù)翻折時(shí)HF所對(duì)應(yīng)的立體幾何模型的特征，結(jié)合圓錐的性質(zhì)來(lái)確定兩直線的夾角問(wèn)題，從而求解異面直線所成的角.

圖5

解法5：如圖5，過(guò)點(diǎn)F作FH∥EB交AD于點(diǎn)H，

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得BE∥FH，則HF與CF所成的夾角就是異面直線BE與CF所成的角.

將△ABD沿對(duì)角線BD翻折時(shí)，HF所對(duì)應(yīng)的軌跡恰好是以HG（G為DC上靠近D點(diǎn)的四等分點(diǎn)）為底面圓直徑、DF為對(duì)稱(chēng)軸的圓錐的母線，

此題是一道立體幾何的翻折問(wèn)題，但從中我們也能體會(huì)到立體幾何的兩個(gè)常規(guī)思路：非向量方法和向量方法，以此題為例，思考途徑如下圖：

圖?

著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家G·波利亞說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做.”通過(guò)從多個(gè)不同角度來(lái)處理，巧妙把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來(lái)，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合，達(dá)到提升能力，拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.H