量子密集編碼的理論研究進(jìn)展

莫智文, 楊 雪, 江雨婷, 柏明強(qiáng)

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

量子糾纏在量子信息論中處于核心地位,在量子密集編碼、量子隱形傳態(tài)、量子密碼術(shù)和量子安全直接信等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用.而量子密集編碼作為體現(xiàn)量子糾纏特性最引人矚目的應(yīng)用之一,是Bennett等[1]在1992年提出的.量子密集編碼用經(jīng)典比特表示信息,利用量子糾纏態(tài)的非局域關(guān)聯(lián)特性,借助于量子信道實(shí)現(xiàn)發(fā)送1個(gè)量子比特、傳遞2個(gè)比特的經(jīng)典信息，引起了廣大學(xué)者的研究興趣.最初的密集編碼方案大多采用Bell態(tài)[1-2]或者二粒子純態(tài)[3-4]作為量子信道.然而隨著量子密集編碼研究的深入,文獻(xiàn)[5-10]已經(jīng)將雙方推廣到了多方,純態(tài)推廣到了混合態(tài).Liu等[9]將多方密集編碼方案的量子信道由二能級(jí)粒子糾纏態(tài)推廣到任意能級(jí)粒子糾纏態(tài).在以往的協(xié)議中,量子密集編碼采用的是有限維Hibert空間的量子信道，現(xiàn)在人們可以在無(wú)限維Hibert空間中用量子態(tài)進(jìn)行密集編碼[11].Hao等[12]在原始密集編碼的基礎(chǔ)上增加了1個(gè)控制方的受控密集編碼,緊接著,學(xué)者們又以GHZ態(tài)為量子信道的受控密集編碼方案,推廣到基于不同糾纏信道的受控密集編碼[13-27].在2010年,Situ等[28]提出了1個(gè)發(fā)送者多個(gè)接收者的同時(shí)密集編碼方案,該方案分別以Bell態(tài)、GHZ態(tài)和1種特殊的W態(tài)為量子信道設(shè)計(jì)編碼協(xié)議.后來(lái),Zhang等[29]提出了基于四粒子Cluster態(tài)的同時(shí)密集編碼協(xié)議,Huang等[30]分析了量子態(tài)在退相干的情況下,同時(shí)密集編碼協(xié)議的性能表現(xiàn).在2014年,Situ[31]又提出了基于GHZ態(tài)的受控同時(shí)密集編碼方案.2018年,Hu等[32]在量子密集編碼研究中取得新進(jìn)展,該團(tuán)隊(duì)李傳鋒、柳必恒等人首次利用四維糾纏態(tài)實(shí)現(xiàn)量子密集編碼,達(dá)到2.09的信道容量,創(chuàng)造了當(dāng)前國(guó)際最高水平.本文將總結(jié)已有的一些研究成果,并對(duì)其未來(lái)的研究方向給予展望.

1 預(yù)備知識(shí)

量子比特(即量子位)是量子信息中的量子系統(tǒng),是經(jīng)典比特的量子對(duì)應(yīng),但又不同于經(jīng)典比特.1個(gè)量子比特系統(tǒng)是1個(gè)二維Hibert空間,或者說是1個(gè)雙態(tài)量子系統(tǒng).在經(jīng)典情況下,系統(tǒng)只能處于2個(gè)狀態(tài)中的1個(gè),即1或0,而在量子情況下,系統(tǒng)既可以是處于|1〉或|0〉,也可處于疊加態(tài)

|ψ〉=a|0〉+b|1〉,

(1)

其中,a,b∈C且滿足|a|2+|b|2=1,{|0〉,|1〉}是二維Hibert空間的一組完備正交基.量子比特以|a|2的概率處于狀態(tài)|0〉和以|b|2的概率處于狀態(tài)|1〉,這便是量子態(tài)的不確定性與疊加性.通過確定a和b,可以在1個(gè)量子比特中編碼無(wú)窮多的信息.顯而易見,2個(gè)量子比特構(gòu)成的系統(tǒng)是1個(gè)四維Hibert空間,{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}是Hibert空間的一組完備正交基,雙量子比特也可處于這組基態(tài)的多種疊加態(tài)

|ψ〉=a00|00〉+a01|01〉+

a10|10〉+a11|11〉.

(2)

量子態(tài)|χ〉(χ=00,01,10,11)出現(xiàn)的概率為|aχ|2,且|a00|2+|a01|2+|a10|2+|a11|2=1.以此類推,n個(gè)量子比特系統(tǒng)可以是1個(gè)2n維Hibert空間,系統(tǒng)所處狀態(tài)是該空間中的1個(gè)向量,系統(tǒng)的狀態(tài)可以是2n個(gè)相互正交的態(tài)的疊加態(tài).需要指出,兩量子比特系統(tǒng)的完備正交基可以由單量子比特系統(tǒng)的完備正交基通過張量積運(yùn)算得到,{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}就是由{|0〉,|1〉}得來(lái).類似地可以求得任意n個(gè)量子比特系統(tǒng)的完備正交基,進(jìn)而表示出n個(gè)量子比特的疊加態(tài).當(dāng)量子比特列的疊加態(tài)無(wú)法用各量子比特的張量積表示時(shí),這種疊加態(tài)就稱為量子糾纏態(tài).例如有一量子疊加態(tài)

(3)

但是對(duì)于量子疊加態(tài)

(4)

無(wú)論采用怎樣的方法都不能寫成2個(gè)量子比特的乘積.簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)解釋為:假設(shè)在2個(gè)子系統(tǒng)A和B組成的復(fù)合系統(tǒng)中,如果復(fù)合系統(tǒng)的1個(gè)量子純態(tài)不能表示成A、B這2個(gè)子系統(tǒng)純態(tài)的直積態(tài),即|ψ〉A(chǔ)B≠|(zhì)ψ〉A(chǔ)?|ψ〉B,那么這個(gè)態(tài)就是1個(gè)量子糾纏態(tài).在多個(gè)復(fù)合量子體系中,只要多個(gè)子系統(tǒng)處于量子糾纏態(tài),無(wú)論這些子系統(tǒng)距離有多遠(yuǎn),都不能被看成是相互獨(dú)立的.量子糾纏可形象比喻為生活中女孩子的小辮子,小辮子中的任何一綹狀態(tài)發(fā)生變化都會(huì)影響其他辮子的狀態(tài).

常見的量子糾纏態(tài)有以下幾種.

1) Bell態(tài):

(5)

2) GHZ態(tài)和W態(tài):

(6)

3) MS(Maximal Slice)態(tài):

|MS〉=

4) Cluster態(tài):

|C4〉=

量子測(cè)量除了是量子力學(xué)的基本問題,還在量子信息和量子計(jì)算理論中占有重要的地位.與經(jīng)典物理中的測(cè)量不同,量子測(cè)量不是獨(dú)立于所觀測(cè)的物理系統(tǒng)而單獨(dú)存在的,它本身是物理系統(tǒng)的一部分.在理想情況下經(jīng)典測(cè)量不會(huì)干擾被測(cè)量的態(tài),而量子測(cè)量則會(huì)改變被測(cè)系統(tǒng)的態(tài).量子測(cè)量假設(shè)可以進(jìn)行如下描述:量子測(cè)量由一組測(cè)量算子{Mm}構(gòu)成,作用在被測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)空間上的算子,指標(biāo)m代表實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的測(cè)量結(jié)果.如果測(cè)量前系統(tǒng)的態(tài)由|ψ〉表示,那么測(cè)量后得到結(jié)果m的概率為:

(9)

且系統(tǒng)狀態(tài)變?yōu)?

(10)

測(cè)量算子滿足完備性方程

(11)

該方程表達(dá)了概率和為1的事實(shí):

(12)

這在量子信息中稱為廣義測(cè)量(general measurement),它的一個(gè)重要應(yīng)用就是區(qū)分量子態(tài).廣義測(cè)量包含有2種特殊情況:投影測(cè)量(PM)和正算子值測(cè)量(POVM).投影測(cè)量是指測(cè)量算子Mm是厄米的(即Mm是正交投影算子),且滿足MmMm′=δm,m′Mm的廣義測(cè)量.

廣義測(cè)量的另外一種特殊情況是正算子值測(cè)量.正算子值測(cè)量(POVM)是比正交投影測(cè)量更一般的量子測(cè)量[33],POVM更關(guān)心測(cè)量結(jié)果的概率,并不關(guān)心測(cè)量后系統(tǒng)的狀態(tài).由量子態(tài)不可克隆定理知道,量子非正交態(tài)不能被確定性區(qū)分,這時(shí)可以用POVM測(cè)量來(lái)進(jìn)行概率性區(qū)分量子態(tài).區(qū)分2個(gè)非正交態(tài)|ψ1〉=α|0〉+β|1〉和|ψ2〉=α|0〉-β|1〉為例,可以構(gòu)造3個(gè)POVM算子:

(13)

其中

I為恒等算子,且與α和β相關(guān)的參數(shù)ω應(yīng)使E3為半正定算子.為了確定ω,可將3個(gè)算子改寫成：

(14)

POVM不像正交投影測(cè)量那樣可以給出1個(gè)和經(jīng)典類比直觀的物理圖像.正交投影測(cè)量在實(shí)驗(yàn)上較容易實(shí)現(xiàn),與正交投影測(cè)量相比,POVM中可以存在不互相正交的測(cè)量結(jié)果,因而理解和實(shí)現(xiàn)POVM都相對(duì)困難.

2 Bennett量子密集編碼方案

Bennett等[1]提出了兩方量子密集編碼方案.假設(shè)信息發(fā)送者Alice和接收者Bob共享的量子信道為最大糾纏態(tài)

(16)

Alice對(duì)其擁有的粒子進(jìn)行以下4種不同的標(biāo)準(zhǔn)Pauli酉操作之一,

(17)

這個(gè)操作實(shí)際上分別是對(duì)2個(gè)比特的經(jīng)典信息00,01,10,11進(jìn)行編碼,這里定義

|φ(xy)〉=

(18)

Alice將粒子A發(fā)送給Bob,Bob對(duì)粒子A,B施行Bell基測(cè)量((5)式),測(cè)量結(jié)果可使Bob知道他擁有的量子比特對(duì)的狀態(tài).

由于在測(cè)量之前Alice和Bob約定如下編碼規(guī)則:φ(00)→00,φ(01)→01,φ(10)→10,φ(11)→11,故通過Bell基測(cè)量,Bob就能知道發(fā)送者所要傳遞的經(jīng)典信息,并獲得由Alice傳送的2個(gè)比特的經(jīng)典信息;因此Alice僅發(fā)送1個(gè)量子比特給Bob,便能成功傳送2個(gè)比特的經(jīng)典信息,這就是所謂的量子密集編碼.

3 多方量子密集編碼

Bennett量子密集編碼方案考慮1個(gè)發(fā)送方和1個(gè)接收方.1998年,Bose等[5]將密集編碼方案推廣至多方信息傳輸過程.該方案利用N+1粒子的最大糾纏態(tài)作為量子信道進(jìn)行N+1方信息傳輸,其中N方為信息發(fā)送者,一方為信息接收者,假定N+1方各擁有處于最大糾纏態(tài)中的1個(gè)粒子,其中1個(gè)發(fā)送者對(duì)其擁有的粒子施行I、σX、iσY和σZ這4種可能的酉操作之一,其余N-1個(gè)發(fā)送者各施行I,σX這2種可能的酉操作之一,這樣對(duì)N個(gè)粒子能夠施行的獨(dú)立的酉操作個(gè)數(shù)為4×2×2×…×2=2N+1;然后發(fā)送者把粒子傳送給接收者,接收者對(duì)N+1個(gè)粒子進(jìn)行測(cè)量,根據(jù)測(cè)量結(jié)果能夠判斷出由所有發(fā)送者施行的酉操作的組合,進(jìn)而獲得N+1比特的信息.

3.1基于非最大糾纏態(tài)的多方概率密集編碼

3.1.1三方信息傳輸?shù)母怕拭芗幋a方案 下面以非最大糾纏態(tài)作為量子信道為例,說明如何實(shí)現(xiàn)這種多方概率密集編碼協(xié)議[34].假設(shè)Alice和Bob為信息發(fā)送者,Cliff為信息接收者,他們擁有3粒子部分糾纏態(tài):

|Φ0〉123=α|000〉123+β|111〉123,

(20)

其中系數(shù)均為非零實(shí)數(shù)，且滿足α2+β2=1,α<β.粒子1,2,3分別屬于Alice、Bob和Cliff.具體步驟如下.

1) Alice對(duì)粒子1施行I、σX、iσY和σZ這4種不同的酉操作之一,Bob對(duì)粒子2施行I和σX這2種不同的酉操作之一.

(21)

經(jīng)過酉操作,粒子1,2,3的狀態(tài)由|Φ0〉123相應(yīng)變?yōu)?/p>

2) Alice將粒子1,Bob將粒子2分別傳送給Cliff,Cliff事先準(zhǔn)備好1個(gè)輔助粒子a,初始態(tài)為|0〉a.Cliff在1組正交基{|00〉3a,|01〉3a,|10〉3a,|11〉3a}下對(duì)粒子3和輔助粒子a施行聯(lián)合酉變換

則對(duì)粒子1,2,3和輔助粒子a的總的酉操作為U=I?Usum,I為4×4的單位矩陣,作用結(jié)果為

3) Cliff對(duì)輔助粒子a進(jìn)行測(cè)量,若測(cè)量結(jié)果為|0〉a,粒子1,2,3將塌縮到某一確定的GHZ態(tài),然后通過對(duì)粒子1,2,3進(jìn)行GHZ態(tài)測(cè)量,測(cè)量基為:

(25)

測(cè)量之后Cliff就知道Alice和Bob所做的酉操作類型,從而密集編碼獲得成功,Cliff獲得3比特信息,密集編碼成功概率為2α2;若測(cè)量結(jié)果為|1〉a,粒子1,2,3處于直積態(tài)|111〉,|011〉,|101〉,|001〉中的1個(gè),Cliff無(wú)法根據(jù)測(cè)量結(jié)果判斷出Alice和Bob所施行的酉操作類型,密集編碼失敗.但此時(shí)并不是說Cliff完全不能從中獲得信息,他可以根據(jù)測(cè)量結(jié)果判斷出Alice和Bob施行的酉操作是屬于{U0,U1},{U2,U3},{U4,U5}和{U6,U7}中的哪一組,從而獲得2比特信息,概率為β2-α2.在此方案中,Cliff獲得的平均信息量為

Itrans=

2α2×3+(β2-α2)×2=2+2α2,

(26)

3.1.2N+1方之間的概率密集編碼方案 三方非最大糾纏態(tài)的概率密集編碼方案可以推廣到N+1方,N方傳送,一方接收,其中1個(gè)發(fā)送者對(duì)其擁有的粒子施行I、σX、iσY和σZ這4種可能的酉操作之一,其余N-1個(gè)發(fā)送者各施行I,σX這2種可能的酉操作之一,這樣對(duì)N個(gè)粒子能夠施行獨(dú)立酉操作個(gè)數(shù)為4×2×2×…×2=2N+1,所有發(fā)送者分別對(duì)手中的粒子做相應(yīng)的酉操作后,將粒子傳送給接收者,接收者事先準(zhǔn)備好1個(gè)輔助粒子,然后對(duì)手中原有的粒子和輔助粒子做聯(lián)合酉操作Usum,對(duì)其他所有粒子作恒等變換,即U=I?Usum,I是2N×2N單位矩陣.做了變換之后接收者對(duì)輔助粒子a進(jìn)行測(cè)量,若測(cè)量結(jié)果是|0〉a,再對(duì)另外N+1個(gè)粒子進(jìn)行測(cè)量,根據(jù)測(cè)量結(jié)果判斷出所有發(fā)送者施行的酉操作類型,獲得N+1比特信息,密集編碼成功,成功概率為2α2;若測(cè)量結(jié)果為|1〉a,則接收者無(wú)法根據(jù)測(cè)量結(jié)果判斷出發(fā)送者所施行的酉操作類型,密集編碼失敗.但此時(shí)他仍可以根據(jù)測(cè)量結(jié)果獲得N比特信息,概率為β2-α2,在此方案中接收者獲得的平均信息量為

Itrans=2α2×(N+1)+

(β2-α2)×N=N+2α2.

(27)

4 受控密集編碼

在原始密集編碼的基礎(chǔ)上增加1個(gè)第三方(控制方)的編碼方案,稱之為受控密集編碼.Hao等[12]提出第一個(gè)受控密集編碼方案.該方案表明當(dāng)采用GHZ態(tài)作為量子信道時(shí),就像在受控隱形傳態(tài)中保真度取決于控制方的測(cè)量一樣,受控密集編碼中編碼成功的概率也由控制方的測(cè)量基決定.本節(jié)主要針對(duì)最原始的受控密集編碼方案進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹,其利用3粒子最大糾纏GHZ態(tài)作為量子信道,在第三方控制下,通過引入輔助粒子和做適當(dāng)?shù)挠献儞Q(糾纏濃縮)，以一定概率實(shí)現(xiàn)受控量子密集編碼協(xié)議,主要介紹受控密集編碼方案及控制力度量.

4.1基于最大糾纏GHZ態(tài)的受控密集編碼假設(shè)信息的發(fā)送者Alice、接收者Bob和控制者Charlie所處的量子信道為GHZ態(tài),形式如下

|Φ〉123=

(28)

這里,粒子1、2和3分別被Alice、Bob和Charlie所擁有.為了控制Alice和Bob之間的量子信道以及Alice傳遞給Bob的信息數(shù)量,Charlie需要在基{|+〉3,|-〉3}下對(duì)粒子3進(jìn)行投影測(cè)量,然后將他測(cè)得的結(jié)果通過經(jīng)典信道告訴Alice和Bob,測(cè)量基為

|+〉3=cosθ|0〉3+sinθ|1〉3,

|-〉3=

sinθ|0〉3-cosθ|1〉3,

(29)

|Φ〉123=

(30)

這里

|α〉12=cosθ|00〉+sinθ|11〉,

|β〉12=sinθ|00〉-cosθ|11〉.

(31)

那么總的酉操作U=I?Usum就會(huì)把態(tài)|α〉12?|0〉a轉(zhuǎn)化成

|α〉12a=

(33)

Itrans=1+1×2sin2θ.

(34)

4.2基于部分糾纏MS態(tài)的受控密集編碼在很多方案中,都是利用粒子的最大糾纏態(tài)作為量子信道進(jìn)行密集編碼.在實(shí)際中,由于量子信道和周圍環(huán)境的相互作用,引起信道的消相干是不可避免的,這就導(dǎo)致了最大糾纏態(tài)不易保持.鑒于此種情況,利用部分糾纏態(tài)作為量子信道來(lái)實(shí)現(xiàn)概率密集編碼的想法便應(yīng)運(yùn)而生了.因此選取部分糾纏MS態(tài)作為量子信道實(shí)現(xiàn)概率性密集編碼[25].

假設(shè)信息的發(fā)送者Alice、接收者Bob和控制者Charlie所處的量子信道為部分糾纏MS態(tài):

cosα|110〉+sinα|111〉),

(35)

|Φ〉123=|φ〉12|+〉3+|ψ〉12|-〉3,

(36)

其中

|φ〉12=

sinθsinα|11〉],

(37)

|ψ〉12=

cosθsinα|11〉].

(38)

Charlie對(duì)粒子3進(jìn)行投影測(cè)量的結(jié)果為|+〉3或|-〉3,2種結(jié)果的概率分別為向量|φ〉12,|ψ〉12模長(zhǎng)的平方.

下面討論另外一種實(shí)現(xiàn)密集編碼的方式(前面介紹的是經(jīng)過糾纏濃縮的受控密集編碼,在此處也可以采用,過程類似,不再重復(fù)),稱之為經(jīng)過廣義測(cè)量的受控密集編碼.首先考慮Charlie的測(cè)量結(jié)果是|+〉3,|-〉3,其余可類似討論.Charlie在基{|+〉3,|-〉3}下對(duì)粒子3進(jìn)行投影測(cè)量,然后把他測(cè)得的結(jié)果通過經(jīng)典信道告訴Alice.在收到Charlie的測(cè)量結(jié)果之后,Alice直接執(zhí)行4種酉操作I、σX、iσY和σZ中的1種,從而Alice和Bob之間的共享態(tài)就變成如下4種可能的非正交態(tài)之一:

|μ1〉12=

|μ2〉12=

|μ3〉12=

|μ4〉12=

(39)

然后Alice把粒子1發(fā)送給Bob,從而Bob擁有上述4種可能的量子態(tài)之一.以上4種量子態(tài)不是相互正交的,由量子態(tài)不可克隆定理,無(wú)法確定區(qū)分量子非正交態(tài);但是,上述4種量子態(tài)是線性無(wú)關(guān)的,這時(shí)就可以用POVM測(cè)量以一定的概率來(lái)區(qū)分量子態(tài).為了區(qū)分上述的非正交態(tài),Bob首先以P1=|00〉〈00|+|11〉〈11|和P2=|01〉〈01|+|10〉〈10|做投影測(cè)量,顯然P1和P2是相互正交的.Bob能夠知道Alice的操作是{I,σZ}還是{σX,iσY}.若Bob的測(cè)量結(jié)果是P1,則量子態(tài)要么是|μ1〉12,要么是|μ4〉12;若Bob的測(cè)量結(jié)果是P2,則量子態(tài)要么是|μ2〉12,要么是|μ3〉12.投影測(cè)量之后,Bob能夠得到1比特的信息.假設(shè)Bob的測(cè)量結(jié)果是P1,則他對(duì)2量子比特執(zhí)行正算子值測(cè)量(POVM測(cè)量).此時(shí)在子空間{|00〉,|11〉}構(gòu)造的POVM元為:

(40)

(41)

若Charlie的測(cè)量結(jié)果是|-〉3,類似計(jì)算.此過程平均地從Alice到Bob傳遞

(42)

比特經(jīng)典信息.綜上可得,密集編碼過程中,平均地從Alice到Bob傳遞

1+sin2(θ-α)+cos2θ

(43)

比特經(jīng)典信息.以上結(jié)果表明,密集編碼過程中,信息傳輸量均優(yōu)于經(jīng)典通信.另外,MS態(tài)作為量子信道時(shí),控制方并非任意選取,即信道中粒子的地位并非相同.這也是受控密集編碼的技巧所在,需要選擇合適的信道和恰當(dāng)?shù)目刂品?采用對(duì)應(yīng)的量子操作,才能保證實(shí)現(xiàn)真正的密集編碼.事實(shí)上文獻(xiàn)[22]還說明了通過糾纏濃縮與廣義測(cè)量2種方法實(shí)現(xiàn)受控密集編碼,接收者獲得的平均信息傳遞量是一樣的.

4.3基于擴(kuò)展的GHZ態(tài)受控密集編碼的最小控制力之前關(guān)于受控密集編碼方案大多關(guān)注的信息傳遞量,并未考慮控制方的權(quán)威性(Authority)或者控制力(Control power).下面介紹如何度量受控密集編碼控制方的控制力[35].

在Bennett提出的原始密集編碼方案中,信道為最大糾纏態(tài)Bell態(tài),從發(fā)送者Alice到接收者Bob之間能夠通過發(fā)送1個(gè)量子比特實(shí)現(xiàn)2比特經(jīng)典信息的傳輸.當(dāng)信道為一般2量子比特純態(tài)ρAB時(shí),密集編碼的信道容量C(ρAB)定義為

C(ρAB)=1+S(ρB)-S(ρAB),

(44)

其中,Alice和Bob分別擁有量子比特A和B,S(ρ)=-Tr(ρlog2ρ)為馮諾依曼熵.

在受控密集編碼方案中,Charlie為控制方,監(jiān)督和控制Alice和Bob之間的信息傳輸.此時(shí),信道容量定義如下:

(45)

對(duì)于沒有控制方參與的情形時(shí),Alice和Bob之間共享的量子態(tài)為Alice和Bob的約化密度矩陣,記為ρkl=Trj(ρ123),其中Alice和Bob分別擁有第k,l量子比特.無(wú)控制方參與時(shí)的信道容量為C(ρkl),記為Cj(ρkl),因此,有無(wú)控制方參與時(shí)的信道容量之差為

(46)

受控密集編碼的最小控制力為

(47)

擴(kuò)展的三粒子GHZ純態(tài)定義為

|ψeGHZ〉123=

λ1|000〉+λ2|110〉+λ3|111〉,

(48)

(49)

其中,h(x)=-xlog2x-(1-x)log2(1-x)為二元熵函數(shù),x∈[0,1].在無(wú)控制方參與時(shí),通信雙方之間的信道容量為:

C3(ρ12)=C3(ρ21)=

C1(ρ23)=C2(ρ13)=

C2(ρ31)=C1(ρ32)=1.

(50)

因此,相應(yīng)的受控密集編碼的CP為:

p132(ψeGHZ)=p231=p312=p321=

(51)

因?yàn)?/p>

(52)

故當(dāng)量子信道為|ψeGHZ〉時(shí),控制者Charlie的最小控制力為

p(ψeGHZ)=

(53)

(54)

(55)

此時(shí)

(56)

其最小控制力為

(57)

下面是以擴(kuò)展的GHZ態(tài)為受控密集編碼的量子信道,計(jì)算出了控制方的最小控制力,其糾纏τ與最小控制力P的關(guān)系為

并分析了廣義GHZ態(tài)、標(biāo)準(zhǔn)GHZ態(tài)以及MS態(tài)作為量子信道時(shí)的最小控制力.上述表明,最小控制力與量子態(tài)的糾纏有著內(nèi)在的關(guān)聯(lián).最小控制力可以刻畫量子態(tài)的糾纏,同時(shí)量子態(tài)的糾纏也決定著控制力大小,因?yàn)楫?dāng)量子態(tài)為最大糾纏GHZ態(tài)時(shí),即τ=1時(shí),最小控制力取得最大值1.當(dāng)量子態(tài)能夠完全分離時(shí),即τ=0時(shí),最小控制力取得最小值0.那么對(duì)于其他量子態(tài)作為信道時(shí),糾纏與最小控制力的關(guān)系又是怎樣的呢?這是需要進(jìn)一步研究的課題.

5 同時(shí)密集編碼

多方量子密集編碼方案是考慮多個(gè)發(fā)送者和1個(gè)接收者的情形.方案中有1個(gè)發(fā)送者和多個(gè)接收者的密集編碼方案稱為同時(shí)密集編碼.現(xiàn)有對(duì)同時(shí)密集編碼的研究大多集中在量子信道的改進(jìn),比如Bell態(tài)、GHZ態(tài)、W型態(tài)[28]、四粒子Cluster態(tài)[29]和χ型糾纏態(tài)[36],這些協(xié)議都是在無(wú)噪聲的情況下設(shè)計(jì)的.2017年,Huang等[30]研究了在噪聲影響下的同時(shí)密集編碼協(xié)議.與此同時(shí),在同時(shí)密集編碼協(xié)議的基礎(chǔ)上增加1個(gè)第三方(控制方),Situ[31]提出了基于GHZ態(tài)的受控同時(shí)密集編碼協(xié)議.此部分主要介紹原始的同時(shí)密集編碼及受控同時(shí)密集編碼協(xié)議.

?

(58)

在這里,粒子A1和A2屬于Alice,粒子B、C分別屬于Bob和Charlie.

該協(xié)議過程分為以下5個(gè)步驟:

1) Alice編碼:首先,Alice對(duì)粒子A1實(shí)施酉變換U(b1b2),對(duì)粒子A2實(shí)施酉變換U(c1c2),復(fù)合系統(tǒng)態(tài)變?yōu)?/p>

|ψ(1)〉=

UA1(b1b2)?UA2(c1c2)|ψ(0)〉=

|φ(b1b2)〉A(chǔ)1B?|φ(c1c2)〉A(chǔ)2C,

(59)

其中,U(xy)及|φ(xy)〉是這樣定義的:

(60)

|φ(xy)〉=

(61)

2) Alice加鎖.為了鎖住糾纏信道,Alice對(duì)粒子A1,A2執(zhí)行傅里葉變換

(62)

復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)變?yōu)?/p>

|ψ(2)〉=

QFTA1A2[|φ(b1b2)〉A(chǔ)1B?|φ(c1c2)〉A(chǔ)2C]. (63)

3) Alice發(fā)送粒子A1給Bob,發(fā)送粒子A2給Charlie.

4) Bob和Charlie合作對(duì)粒子A1,A2執(zhí)行QFT?,復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)變?yōu)?

|ψ(3)〉=

|φ(b1b2)〉A(chǔ)1B|φ(c1c2)〉A(chǔ)2C.

(64)

5) 為了獲得(b1b2)和(c1c2),像原始密集編碼方案一樣,Bob和Charlie分別對(duì)粒子A1B和A2C執(zhí)行Bell基測(cè)量,根據(jù)先前約定的編碼規(guī)則,Bob和Charlie分別獲得經(jīng)典比特(b1b2)和(c1c2).

5.2基于GHZ態(tài)的同時(shí)受控密集編方案下面介紹最初的同時(shí)受控密集編碼協(xié)議[31].Alice打算發(fā)送2個(gè)經(jīng)典比特(b1,b2)給Bob的同時(shí),發(fā)送另外2個(gè)比特(c1,c2)給Charlie,但是必須得到控制者的允許,并且在Bob和Charlie同時(shí)合作的情況下,Bob和Charlie才能知道Alice發(fā)送的內(nèi)容.

最初,Alice、Bob和控制者共享GHZ態(tài)

|GHZ〉123=

(65)

在這里,粒子1,2,3分別屬于Alice、Bob和控制者.

Alice,Charlie和控制者共享另外1個(gè)GHZ態(tài)

|GHZ〉456=

(66)

這里,粒子4,5,6分別屬于Alice、Charlie和控制者.

復(fù)合系統(tǒng)的初態(tài)為

?

其中

(68)

同時(shí)受控密集編碼協(xié)議具體步驟如下.

1) Alice編碼.Alice對(duì)粒子1實(shí)施酉變換U(b1,b2)來(lái)編碼比特(b1,b2),對(duì)粒子4實(shí)施酉變換U(c1,c2)來(lái)編碼比特(c1,c2),編碼之后,復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)

|Ω(1)〉=

U1(b1,b2)?U4(c1,c2)|Ω(0)〉=

|φ(b1,b2⊕1)〉12|-〉3)?

|φ(c1,c2⊕1)〉45|-〉6),

(69)

U(b1,b2)及U(c1,c2)對(duì)Bell態(tài)做變換得

U1(x1,y1)|φ(x2,y2)〉12=

U2(x1,y1)|φ(x2,y2)〉12=

|φ(x1⊕x2,y1⊕y2)〉12.

(70)

2) Alice加鎖.為了鎖住糾纏信道,Alice對(duì)粒子1和4執(zhí)行傅里葉變換QFT,復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)

|Ω(2)〉=QFT14|Ω(1)〉=

QFT14|φ(b1,b2)〉12|φ(c1,c2⊕1)〉45|+〉3|-〉6+

QFT14|φ(b1,b2⊕1)〉12|φ(c1,c2)〉45|-〉3|+〉6+

QFT14|φ(b1,b2⊕1)〉12|φ(c1,c2⊕1)〉45|-〉3|-〉6).(71)

3) Alice發(fā)送粒子1給Bob,發(fā)送粒子4給Charlie.

4) Bob和Charlie合作對(duì)粒子1和4執(zhí)行QFT,復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)

|Ω(3)〉=QFT14|Ω(2)〉=

|φ(b1,b2)〉12|φ(c1,c2⊕1)〉45|+〉3|-〉6+

|φ(b1,b2⊕1)〉12|φ(c1,c2)〉45|-〉3|+〉6+

|φ(b1,b2⊕1)〉12|φ(c1,c2⊕1)〉45|-〉3|-〉6).(72)

Bob用Bell基測(cè)量粒子1和2,如果他的測(cè)量結(jié)果是|φ(b1,b2)〉或|φ(b1,b2⊕1)〉,那么控制者的粒子相應(yīng)地塌縮為|+〉3或|-〉3.沒有控制者的信息,Bob能夠得到比特b1,但不能得到比特b2,同樣,沒有控制者的信息,Charlie能夠得到比特c1,但不能得到比特c2,因此,需要在控制方的幫助下Bob和Charlie才能獲得經(jīng)典信息.

5) 控制者用{|+〉,|-〉}測(cè)量粒子3和粒子6,Bob和Charlie的量子比特塌縮成

|φ(b1,b2⊕m1)〉12|φ(c1,c2⊕m2)〉45, (73)

如果粒子3的測(cè)量結(jié)果是|+〉,則m1=0,否則m1=1.如果粒子6的測(cè)量結(jié)果是|+〉,則m2=0,否則m2=1.在獲得m1的值之后,通過做Bell基測(cè)量,Bob能得到比特b1和b2.同理在獲得m2的值之后,通過做Bell基測(cè)量,Charlie能得到比特c1和c2.步驟1與原始密集編碼的編碼步驟相似,在步驟2,Alice鎖住2個(gè)GHZ態(tài)糾纏的信道.步驟3與原始密集編碼方案發(fā)送粒子步驟類似.在這3個(gè)步驟之后,由于所有量子比特仍然是糾纏的,因此Bob和Charlie不能單獨(dú)獲得信息,系統(tǒng)粒子1和2的約化密度矩陣以及系統(tǒng)粒子3和4的約化密度矩陣都是I/4,因此,Bob和Charlie都不能從自己的系統(tǒng)獲得編碼的信息,除非他們合作.在步驟4,Bob和Charlie一起合作解糾纏信道.在步驟5,在得到控制者的允許之后,Bob和Charlie就能獲得他們期望得到的信息.

6 結(jié)束語(yǔ)

自Bennett等[1]提出量子密集編碼以后,作為量子信息理論的重要分支之一,量子密集編碼引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注,目前已經(jīng)有很多理論和實(shí)驗(yàn)的方案.作為量子密集編碼的推廣,受控密集編碼與同時(shí)密集編碼已成為編碼領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).在Bennett密集編碼的基礎(chǔ)上增加1個(gè)控制方的參與,進(jìn)而滋生了受控密集編碼方案的設(shè)計(jì)想法.同時(shí)密集編碼是在密集編碼的基礎(chǔ)上,提出以2個(gè)糾纏的EPR對(duì)作為量子信道,1個(gè)發(fā)送者多個(gè)接收者的編碼方案.本文主要綜述量子密集編碼在量子信息領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀,首先介紹原始量子密集編碼和受控密集編碼的相關(guān)協(xié)議.接著介紹同時(shí)密集編碼和受控同時(shí)密集編碼的一些方案.就目前而言,雖然在量子密集編碼方面已經(jīng)有了大量的研究,但對(duì)于同時(shí)密集編碼的研究較少,同時(shí)密集編碼還是1個(gè)新的研究課題,還有很多問題值得深入研究和探討,如:1) 在控制者的監(jiān)督下,如何進(jìn)行雙向經(jīng)典信息的傳遞(即雙向受控密集編碼)?2) 如何以部分糾纏態(tài)作為通信信道設(shè)計(jì)同時(shí)密集編碼協(xié)議?3) 在受控同時(shí)密集編碼協(xié)議中,如何度量控制者的控制力?

總之,量子密集編碼作為量子糾纏的重要應(yīng)用之一,依然有待進(jìn)一步研究和推廣.