多級(jí)平行軸滾筒齒輪數(shù)學(xué)建模及動(dòng)力學(xué)分析

黃曉冬 袁銀男 歐陽(yáng)天成 陳 南 潘明章

(1江蘇大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院， 鎮(zhèn)江 212013)(2東南大學(xué)機(jī)械學(xué)院， 南京 211189)(3廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 南寧 530004)

齒輪傳動(dòng)裝置是現(xiàn)代機(jī)械裝備的重要組成部分，隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械向高轉(zhuǎn)速、大型化、集成化方向發(fā)展，對(duì)機(jī)械系統(tǒng)整機(jī)性能有重要影響的齒輪動(dòng)力學(xué)已成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)[1-2].對(duì)膠印機(jī)而言，良好的運(yùn)行平穩(wěn)性是印刷質(zhì)量的重要保證，膠印印刷過(guò)程依靠多級(jí)平行軸滾筒齒輪的相互轉(zhuǎn)動(dòng)完成圖像轉(zhuǎn)移，傳動(dòng)過(guò)程中如何保證齒輪的高精度嚙合是實(shí)現(xiàn)精確套印的前提.因此，滾筒齒輪嚙合傳動(dòng)的平穩(wěn)性和精確度是高速膠印機(jī)設(shè)計(jì)與制造的首要任務(wù)[2-4].

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題展開了一系列研究[5-10]，在傳動(dòng)誤差與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系、齒輪嚙合非線性動(dòng)力學(xué)、齒側(cè)間隙與動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系等方面取得了豐富的研究成果.郭磊等[11]運(yùn)用ADAMS軟件建立汽車變速箱多體動(dòng)力學(xué)模型，分析了多檔位下的齒輪嚙合拍擊特性和嘯叫噪聲，并利用表面振動(dòng)速度法對(duì)箱體振動(dòng)速度等級(jí)進(jìn)行精確識(shí)別.在考慮齒輪偏心、傳動(dòng)誤差和時(shí)變輸入/輸出力矩前提下，任朝暉等[12]利用集中參數(shù)法建立風(fēng)電斜齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)速、軸承間隙等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響.Yang等[13-14]在考慮接觸時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙基礎(chǔ)上，建立行星齒輪空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型，研究系統(tǒng)不同設(shè)計(jì)參數(shù)下的非線性動(dòng)力學(xué)特性.Besharati等[15]通過(guò)建立包含非對(duì)稱齒側(cè)間隙的齒輪-齒條非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了預(yù)緊載荷對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律.為了研究齒側(cè)間隙與嚙合溫度對(duì)齒輪-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，F(xiàn)argère等[16]整合齒輪-傳動(dòng)軸動(dòng)力學(xué)模型和滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑模型，基于時(shí)間步長(zhǎng)積分法與牛頓迭代法的聯(lián)合求解獲得控制方程數(shù)值解.基于有限元思想，Ouyang等[17]建立膠印機(jī)單對(duì)滾筒-軸承-齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用龍格庫(kù)塔法求解控制方程并分析了轉(zhuǎn)速、嚙合剛度、齒側(cè)間隙等因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響.基于斷裂力學(xué)原理，Han等[18]通過(guò)有限單元法建立了包含傳動(dòng)軸裂紋的平行軸齒輪動(dòng)力學(xué)模型，分析了裂紋類型和參數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)、非穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響.

以上文獻(xiàn)大都將焦點(diǎn)集中在傳統(tǒng)的多級(jí)平行軸齒輪系統(tǒng)，但對(duì)膠印機(jī)平行軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究卻相當(dāng)缺乏.實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果顯示，膠印機(jī)平行軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是高速印刷狀態(tài)下的主要振源，也是決定整機(jī)平穩(wěn)性的關(guān)鍵因素.因此，本文利用集中參數(shù)法建立膠印機(jī)平行軸滾筒齒輪多自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，基于數(shù)值解分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，為膠印機(jī)滾筒齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的改善提供理論支持和分析方法.

1 動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示，膠印機(jī)多級(jí)平行軸滾筒齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)主要由齒輪、滾筒和軸承組成，在滾筒軸頸處設(shè)置軸承起支承作用.印刷過(guò)程中，齒輪1轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)紙張從傳紙滾筒傳遞到壓印滾筒(沿X方向)，油墨從印版滾筒轉(zhuǎn)移到橡皮滾筒，橡皮滾筒將圖像或文字轉(zhuǎn)移到壓印滾筒表面的紙張.振動(dòng)過(guò)大將導(dǎo)致印品模糊，甚至出現(xiàn)卡紙現(xiàn)象.一般而言，振動(dòng)強(qiáng)度隨轉(zhuǎn)速提高而增大，為了提高印刷效率，有必要研究膠印機(jī)平行軸滾筒齒輪的動(dòng)態(tài)特性.

圖1 膠印機(jī)多級(jí)平行軸滾筒齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)三維圖

基于振動(dòng)理論，本研究利用集中參數(shù)法建立膠印機(jī)多級(jí)平行軸滾筒齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型.在保證計(jì)算精度前提下，對(duì)原機(jī)模型進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，利用動(dòng)力學(xué)等效法將滾筒平動(dòng)質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量向斜齒輪中心簡(jiǎn)化，用時(shí)變剛度彈簧模擬齒輪嚙合，支承軸承處理為等效剛度彈簧.

圖2(a)中，每個(gè)斜齒輪具有3個(gè)平動(dòng)自由度和1個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，分別是X和Y方向的彎曲位移，Z方向的軸向位移和繞平行軸的扭轉(zhuǎn)位移.該機(jī)構(gòu)屬于4級(jí)平行軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，共16個(gè)自由度，因此其動(dòng)力學(xué)模型節(jié)點(diǎn)位移向量為

q= {x1,y1,z1,θ1,x2,y2,z2,θ2,
x3,y3,z3,θ3,x4,y4,z4,θ4}T

(1)

式中，xi(i=1,2,3,4)為斜齒輪沿X方向位移；yi(i=1,2,3,4)為斜齒輪沿Y方向位移；zi(i=1,2,3,4)為斜齒輪沿Z方向位移；θi(i=1,2,3,4)為斜齒輪繞Z方向的轉(zhuǎn)角.

(a) 平行軸斜齒輪整體坐標(biāo)系簡(jiǎn)圖

(b) 斜齒輪嚙合副動(dòng)力學(xué)模型

1.1 動(dòng)態(tài)嚙合力

如圖2(b)所示，在外部驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩和負(fù)載力矩共同作用下，接觸齒面將產(chǎn)生彈性變形，接觸點(diǎn)在嚙合平面內(nèi)發(fā)生相對(duì)位移，嚙合點(diǎn)在接觸面內(nèi)的相對(duì)位移近似表達(dá)式為

(2)

斜齒輪嚙合副沿X,Y,Z方向的動(dòng)態(tài)嚙合力分別為

(3)

1.2 嚙合剛度、嚙合阻尼、靜態(tài)傳動(dòng)誤差

齒輪嚙合過(guò)程中，由于接觸輪齒對(duì)數(shù)、接觸幾何特征等因素的變化，導(dǎo)致嚙合剛度具有時(shí)變特性，形成參數(shù)振動(dòng).基于回歸分析法，Cai[19]提出了一種較為接近實(shí)驗(yàn)測(cè)量值的斜齒輪嚙合剛度擬合公式，本文將采用該擬合公式來(lái)模擬多級(jí)平行軸滾筒斜齒輪的嚙合剛度.單對(duì)輪齒的嚙合剛度計(jì)算式為

(4)

式中，t為沿接觸線的嚙合時(shí)間；tz為一個(gè)節(jié)距的嚙合周期時(shí)間；mn為斜齒輪法向模數(shù)；ε為總重合度；εa為端面重合度；kp為分度圓節(jié)點(diǎn)位置的嚙合剛度；bc為齒寬；H為全齒高.

多級(jí)平行軸滾筒斜齒輪嚙合剛度為

(5)

式中，n為同一時(shí)刻同時(shí)參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù).

為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，本文采用與速度成正比的線性黏性阻尼模擬齒輪嚙合阻尼，其計(jì)算式為

(6)

式中，Ji，Jj分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；kave為齒輪平均嚙合剛度；ξg為齒輪嚙合阻尼比(取ξg=0.05).

在靜態(tài)條件下，由于制造原因引起的齒廓、齒向偏差以及輪齒接觸變形而導(dǎo)致的嚙合誤差稱為齒輪靜態(tài)傳動(dòng)誤差.考慮到靜態(tài)傳動(dòng)誤差具有周期性，其諧波函數(shù)表達(dá)式可描述為

(7)

式中，e0為靜態(tài)傳動(dòng)誤差平均值；en為靜態(tài)傳動(dòng)誤差諧波項(xiàng)幅值；νn為靜態(tài)傳動(dòng)誤差諧波項(xiàng)嚙合相位；ωm為齒輪嚙合頻率，ωm=ωizi，其中ωi為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速，zi為主動(dòng)輪齒數(shù).

1.3 等效軸承剛度

膠印機(jī)采用滾動(dòng)軸承支承斜齒輪平行軸，本文采用等效原理推導(dǎo)滾動(dòng)軸承的等效剛度.在忽略軸承內(nèi)、外滾道與鋼球之間的間隙、軸承接觸角不隨載荷改變的前提下，軸承沿X，Y，Z方向的等效剛度分別為[20]

(8)

式中，sx為X方向的等效軸承剛度；sy為Y方向的等效軸承剛度；sz為Z方向的等效軸承剛度；δr為軸承內(nèi)、外圈的徑向相對(duì)位移；δa為軸承內(nèi)、外圈的軸向相對(duì)位移；Kn為赫茲剛度系數(shù)；Zn為滾子數(shù)目；Cc為余弦計(jì)算系數(shù)；αc為接觸角.

1.4 等效質(zhì)量

確定X，Y，Z方向上的等效質(zhì)量和軸承安裝等效剛度是集中參數(shù)法建立平行軸滾筒齒輪動(dòng)力學(xué)模型的重要環(huán)節(jié).圖3為膠印機(jī)單級(jí)滾筒齒輪等效參數(shù)簡(jiǎn)圖，由于滾筒沿軸向的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于齒輪中心(C點(diǎn))到軸承2的距離(lb>la)，因此將滾筒視為質(zhì)量均勻分布的梁.膠印機(jī)滾筒在圖3所示的支承方式下，梁?jiǎn)卧?滾筒)任意一點(diǎn)的彈性變形為

(9)

且有

(10)式中，yC為梁?jiǎn)卧贑點(diǎn)的彈性變形；Wg為外載荷；la為齒輪中心到軸承的距離；lb為滾筒長(zhǎng)度；E為梁?jiǎn)卧膹椥阅Ａ浚籌為梁?jiǎn)卧慕孛鎽T性矩.

圖3 等效參數(shù)簡(jiǎn)圖

根據(jù)Rayleigh法原理[21]，梁?jiǎn)卧畲髣?dòng)能表達(dá)式為

(11)

式中，Kmax為梁?jiǎn)卧淖畲髣?dòng)能；wg為單位長(zhǎng)度的梁?jiǎn)卧|(zhì)量；g為重力加速度.

基于動(dòng)力學(xué)等效原理，平動(dòng)方向和豎直方向的等效質(zhì)量和軸承安裝等效剛度分別為

(12)

式中，mx和my分別為平動(dòng)方向和豎直方向上齒輪中心等效質(zhì)量；mg為斜齒輪質(zhì)量；mc為滾筒質(zhì)量.

同樣按照上述方法求得軸向振動(dòng)方向齒輪中心等效質(zhì)量和軸承安裝等效剛度，表達(dá)式為

(13)

式中，mz為軸向方向的齒輪中心等效質(zhì)量.

1.5 動(dòng)力學(xué)方程

在任意時(shí)刻，滾筒斜齒輪上的慣性力、阻尼力和彈性力構(gòu)成平衡力系，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理得到每個(gè)滾筒斜齒輪的運(yùn)動(dòng)微分方程：

1) 傳紙滾筒斜齒輪

(14a)

2) 壓印滾筒斜齒輪

(14b)

3) 橡皮滾筒斜齒輪

(14c)

4) 印版滾筒斜齒輪

(14d)

將4個(gè)滾筒斜齒輪的偏微分方程整合并用矩陣形式表示，得到16個(gè)自由度的多級(jí)平行軸滾筒齒輪動(dòng)力學(xué)方程，其表達(dá)式為

(15)

式中，M為滾筒齒輪質(zhì)量矩陣；C為滾筒齒輪阻尼矩陣；K為滾筒齒輪剛度矩陣；F為滾筒齒輪載荷列向量；q為滾筒齒輪節(jié)點(diǎn)位移列向量.

2 動(dòng)態(tài)特性分析

表1給出了膠印機(jī)平行軸滾筒齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的特征參數(shù)，表2給出了滾筒齒輪的部分嚙合參數(shù).

在轉(zhuǎn)速4 000～17 000 r/h 范圍內(nèi)，本文采用Newmark-β法對(duì)膠印機(jī)平行軸滾筒齒輪動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值求解，分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，如齒輪嚙合力的波動(dòng)、齒輪中心角速度的波動(dòng)、齒輪中心加速度隨轉(zhuǎn)速的變化趨勢(shì)，以及螺旋角、壓力角與嚙合剛度波動(dòng)的關(guān)系.

表1 滾筒齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的特征參數(shù)

表2 齒輪嚙合參數(shù)

2.1 動(dòng)態(tài)嚙合力

嚙合力的波動(dòng)是造成齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)的最直接因素，波動(dòng)越劇烈，動(dòng)載系數(shù)越大，振動(dòng)越強(qiáng)烈.為驗(yàn)證本文建立的多級(jí)平行軸滾筒齒輪動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，圖4將ADAMS模型[4]得到的嚙合力與本文建立的動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值計(jì)算嚙合力作對(duì)比.從圖4可看出，在17 000 r/h轉(zhuǎn)速下，斜齒輪的嚙合力具有周期性質(zhì)，呈上下波動(dòng)狀態(tài)，齒對(duì)12的嚙合力圍繞9 000 N上下波動(dòng)，而齒輪34的嚙合力則圍繞1 200 N上下波動(dòng).由圖4可知，ADAMS模型的計(jì)算結(jié)果在波動(dòng)幅值和波動(dòng)變化率方面均大于動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值解，原因是ADAMS模型通過(guò)定義剛體碰撞函數(shù)模擬齒輪嚙合，而動(dòng)力學(xué)模型則是基于振動(dòng)理論建立控制方程，因此動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值解呈現(xiàn)相對(duì)較小的波動(dòng)性和波動(dòng)變化率.通過(guò)圖4的對(duì)比，驗(yàn)證了本文建立的動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算精度.

(a) 齒對(duì)12

(b) 齒對(duì)34

2.2 角速度

理想狀態(tài)下齒輪角速度應(yīng)為恒定值，但由于振動(dòng)的存在導(dǎo)致角速度出現(xiàn)波動(dòng)，波動(dòng)越大，振動(dòng)越強(qiáng)烈.如圖5所示，膠印機(jī)滾筒齒輪的角速度也具有周期性質(zhì)，ADAMS模型的波動(dòng)幅度同樣大于動(dòng)力學(xué)模型.圖5(a)中,ADAMS模型的波動(dòng)幅值約為13°/s，動(dòng)力學(xué)模型的波動(dòng)幅值則約為10°/s.圖5(b)中，ADAMS模型和動(dòng)力學(xué)模型的角速度基本是圍繞1 700°/s(理想轉(zhuǎn)速)上下波動(dòng)，分析結(jié)果說(shuō)明了穩(wěn)態(tài)工況下齒輪角速度是理想轉(zhuǎn)速與振動(dòng)的疊加.

(a) 傳紙滾筒斜齒輪

(b) 印版滾筒斜齒輪

2.3 加速度

加速度有效值能反映某一時(shí)間段振動(dòng)能量的大小，是衡量振動(dòng)強(qiáng)度的重要指標(biāo).圖6給出了壓印滾筒斜齒輪和印版滾筒斜齒輪在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)(4 000～17 000 r/h)的X，Y,Z和三向合成加速度有效值.總體而言，加速度隨轉(zhuǎn)速的提高而增大，在7 000, 11 000, 16 000 r/h轉(zhuǎn)速下出現(xiàn)峰值，表現(xiàn)出加速度共振峰特征.Z方向的加速度小于X，Y方向，原因可歸結(jié)為軸向力波動(dòng)相對(duì)較小.

2.4 嚙合剛度

大量研究證實(shí)，嚙合剛度激勵(lì)是引起齒輪系統(tǒng)振動(dòng)的主要原因之一，齒輪嚙合過(guò)程中，剛度波動(dòng)越大振動(dòng)越強(qiáng)烈，嚙合剛度的平穩(wěn)性對(duì)齒輪減振有重要意義.標(biāo)準(zhǔn)差是衡量嚙合剛度周期波動(dòng)大小的一個(gè)有效指標(biāo)，能反映齒輪動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣.如圖7所示，螺旋角和壓力角的變化對(duì)嚙合剛度波動(dòng)(齒對(duì)12)有顯著影響.

(a) 壓印滾筒斜齒輪

(b) 印版滾筒斜齒輪

圖7(a)中壓力角恒定為20°，當(dāng)螺旋角為10°和20°時(shí)，嚙合剛度標(biāo)準(zhǔn)差較??；螺旋角為16°時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差較大；當(dāng)螺旋角小于10°時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差隨螺旋角的減小而增大；當(dāng)螺旋角大于22°時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差隨螺旋角的增大而增大.這說(shuō)明需要合理設(shè)計(jì)膠印機(jī)滾筒斜齒輪的螺旋角以降低振動(dòng)強(qiáng)度.

圖7(b)中螺旋角恒定為15°，當(dāng)壓力角為16°時(shí)，嚙合剛度標(biāo)準(zhǔn)差最小，壓力角偏離16°越大，標(biāo)準(zhǔn)差越大，振動(dòng)越強(qiáng)烈.

3 結(jié)論

1) 基于集中參數(shù)法建立膠印機(jī)多級(jí)平行軸滾筒齒輪動(dòng)力學(xué)模型，利用Newmark-β法求解系統(tǒng)控制方程，分析了齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力、角速度、角加速度以及嚙合剛度標(biāo)準(zhǔn)差，通過(guò)與多體動(dòng)力學(xué)ADAMS仿真軟件的對(duì)比，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算精度.

(a) 螺旋角

(b) 壓力角

2) 斜齒輪的嚙合力具有周期性質(zhì)，呈上下波動(dòng)狀態(tài)，波動(dòng)越劇烈，動(dòng)載系數(shù)越大，振動(dòng)越強(qiáng)烈.

3) 總體上，加速度隨轉(zhuǎn)速的提高而增大，在印刷速度范圍內(nèi)存在幾個(gè)共振峰，尤其以16 000 r/h最明顯.

4) 螺旋角為10°、壓力角為16°時(shí)嚙合剛度標(biāo)準(zhǔn)差較小，齒輪系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)特性.