高速列車折扣票價(jià)與票額分配組合優(yōu)化模型

趙 翔 趙 鵬 姚向明 李 博,2

(1北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044)(2中國鐵路總公司科技管理部，北京 100844)

高速鐵路呈現(xiàn)“公交化”運(yùn)營特點(diǎn)，同一OD有多列旅客列車提供客運(yùn)服務(wù)且不同列車間具有相互替代關(guān)系[1].在單一票價(jià)形式下，旅客傾向于選擇發(fā)車時(shí)刻優(yōu)且旅行時(shí)間短的熱門車次，從而造成熱門車次客票緊張和冷門車次能力虛糜并存的現(xiàn)象.基于差別定價(jià)策略對(duì)旅客選擇行為的影響，對(duì)部分列車提供打折車票，引導(dǎo)熱門車次的部分客流轉(zhuǎn)移至冷門車次.這樣不但可以緩解熱門車次的客票緊張情況，而且能夠提高冷門車次的席位利用率及運(yùn)輸效益.

目前鐵路席位控制對(duì)單一票價(jià)形式下的票額分配問題研究較多，缺乏對(duì)差別定價(jià)和票額分配組合優(yōu)化方法的探究.文獻(xiàn)[2]研究了隨機(jī)需求下的非線性票額分配模型.文獻(xiàn)[3]基于預(yù)測的鐵路客流，研究了兩級(jí)票價(jià)的鐵路席位控制問題.文獻(xiàn)[4]提出了先長途后短途、先有座后無座的票額分配原則.文獻(xiàn)[5]研究了旅客buy-up行為對(duì)票額分配的影響.文獻(xiàn)[6]通過對(duì)需求情景進(jìn)行模擬，研究了嵌套式的票額分配方法.文獻(xiàn)[7]通過對(duì)比分割式預(yù)定限額、嵌套式預(yù)定限額和投標(biāo)價(jià)格等多種席位控制方法，得出更適合中國鐵路的動(dòng)態(tài)調(diào)整下的分割式預(yù)定限額法.文獻(xiàn)[8]研究了考慮通售席位下的旅客列車票額分配方法.文獻(xiàn)[9]將列車運(yùn)行時(shí)間、舒適度等作為選擇屬性來構(gòu)建考慮旅客選擇的票額分配模型.文獻(xiàn)[10]考慮旅行時(shí)間對(duì)旅客疲勞度的影響，以鐵路收益和旅客系統(tǒng)效益最大為目標(biāo)構(gòu)建票額分配模型.上述成果均是在單一票價(jià)形式下研究鐵路票額分配問題，但對(duì)票價(jià)和票額綜合優(yōu)化的研究較少.此外，已有研究對(duì)旅客在多列車間的選擇行為考慮不足.

為此，本文基于隨機(jī)的客流需求和旅客在多列車間的選擇行為，研究高速鐵路多列車差別定價(jià)和票額分配組合優(yōu)化方法.考慮高速鐵路具有社會(huì)效益，本文不采用漲價(jià)策略，以現(xiàn)有單一票價(jià)為全價(jià)票，對(duì)部分列車提供打折車票.鑒于構(gòu)建模型為混合整數(shù)非線性規(guī)劃，設(shè)計(jì)一種混合啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，同時(shí)與單一票價(jià)形式下的票額分配方法進(jìn)行對(duì)比.

1 差別定價(jià)應(yīng)用基礎(chǔ)

在“公交化”運(yùn)營條件下，旅客會(huì)基于發(fā)車時(shí)刻、旅行時(shí)間、出行費(fèi)用等差異在多列車間進(jìn)行選擇.單一票價(jià)形式會(huì)造成旅客集中購買發(fā)車時(shí)刻優(yōu)且旅行時(shí)間短的車次. 如表1所示，G87和G673均為北京始發(fā)終到西安的高速列車，2列旅客列車發(fā)車時(shí)間相近，具有一定的替代關(guān)系.對(duì)于北京至西安的旅客，乘坐G673將比乘坐G87多花費(fèi)1.5 h，同時(shí)需要支付相同的服務(wù)費(fèi)用.這就造成G87客票緊張和G673席位虛糜并存的現(xiàn)象.為了將列車能力和客運(yùn)需求合理匹配，可以在G673能力富裕的情況下提供打折車票，引導(dǎo)G87的部分旅客轉(zhuǎn)移至G673列車.這樣不但緩解了G87的客票緊張情況，而且提高了G673的席位利用率和運(yùn)輸效益.

表1 G87和G673對(duì)比

東南沿海的部分高速列車已經(jīng)嘗試出售打折車票，如G7536列車，但現(xiàn)階段我國高速鐵路差別定價(jià)方法在理論和實(shí)踐上都十分匱乏.高速鐵路具有多列車、多區(qū)段和多OD需求的特點(diǎn)，隨機(jī)需求下的票額分配問題已經(jīng)非常復(fù)雜，綜合優(yōu)化票價(jià)和票額將使問題更加困難.本文針對(duì)票價(jià)和票額綜合優(yōu)化問題進(jìn)行探究，為高速鐵路差別定價(jià)策略提供理論基礎(chǔ)和方法支撐.

2 模型構(gòu)建

μij表示OD對(duì)(i,j)的客流需求，假設(shè)μij服從參數(shù)為λij的獨(dú)立泊松分布[9]，即μij～π(λij)，則OD對(duì)(i,j)客流需求的概率分布為

(1)

當(dāng)某一OD的旅客在不同列車間進(jìn)行選擇時(shí)，因?yàn)榧蟢內(nèi)的不同列車發(fā)車時(shí)間相近，所以影響旅客選擇的主要因素為旅行時(shí)間和服務(wù)費(fèi)用.當(dāng)OD對(duì)(i,j)的旅客在面對(duì)集合k內(nèi)多列旅客列車時(shí)，旅客選擇列車g出行的效用函數(shù)為

(2)

(3)

當(dāng)客流需求為μij時(shí)，選擇列車g出行的旅客人數(shù)為

(4)

那么列車g在(i,j)的客票期望銷售量為

(5)

(6)

基于隨機(jī)的客流需求和旅客在不同列車間的選擇行為，高速鐵路多列車期望收益最大化的目標(biāo)函數(shù)為

(7)

對(duì)高速鐵路線路上的列車進(jìn)行票價(jià)和票額綜合優(yōu)化時(shí)，必須滿足如下約束：

(8)

(9)

式中，m為線路上的區(qū)段號(hào)，m=1,2,…,L-1；Cgm為列車g在區(qū)段m上的席位能力.

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(10)

4) 票額決策變量約束.列車分配的票額必須為正整數(shù)或零，即

(11)

基于隨機(jī)的客流需求和旅客在不同列車間的選擇行為，建立高速鐵路多列車票價(jià)和票額綜合優(yōu)化模型MINLP：

(12)

s.t.

(13)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(14)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(15)

j=i+1,i+2,…,L

(16)

3 求解算法

本文構(gòu)建的高速鐵路多列車票價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化模型為非線性混合整數(shù)規(guī)劃，已有的精確算法不能很好地求解，故本文提出一種混合啟發(fā)式算法進(jìn)行求解.

3.1 等價(jià)模型

為了得到混合啟發(fā)式算法中適應(yīng)函數(shù)的計(jì)算公式，首先對(duì)模型MINLP進(jìn)行一定的等價(jià)變換.

(17)

(18)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(19)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(20)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(21)

列車α在(i,j)的客票期望銷售量可進(jìn)一步等價(jià)轉(zhuǎn)化為

通過上述變量替代，模型MINLP可等價(jià)轉(zhuǎn)化為模型MINLP-S：

(22)

s.t.

?g=1,2,…,Gk；m=1,2,…,L-1

(23)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(24)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(25)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(26)

i=1,2,…，L-1；j=i+1,i+2,…,L

(27)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(28)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(29)

3.2 蜂群算法

蜂群算法是Karaboga[12]提出的一種模擬蜜蜂群體尋找優(yōu)良蜜源的仿生智能算法.該算法使用參數(shù)較少且善于求解多維變量問題.同時(shí)，在每次迭代中都進(jìn)行全局和局部搜索，提高了找到全局最優(yōu)解的概率.針對(duì)模型MINLP-S的特點(diǎn)，利用蜂群算法進(jìn)行求解.

首先，用蜜源表示每列高速列車在各OD的票價(jià)決策變量.每列列車共有L(L-1)/2個(gè)票價(jià)決策變量，當(dāng)有Gk列列車時(shí)，共有GkL(L-1)/2個(gè)票價(jià)決策變量，這里設(shè)置一個(gè)N=GkL(L-1)/2的搜索空間.根據(jù)票價(jià)約束(8)隨機(jī)生成初始蜜源：

(30)

式中，α=1,2,…,ηS，ηS表示蜜源個(gè)數(shù).當(dāng)

(31)

s.t.

(32)

(33)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(34)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(35)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(36)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(37)

i=1,2,…,L-1;j=i+1,i+2,…,L

(38)

采蜜蜂和觀察蜂進(jìn)行鄰域搜索尋找新蜜源的過程為

一個(gè)蜜源被觀察蜂選擇的概率為

(40)

式中，Tα表示第α個(gè)蜜源的適應(yīng)度函數(shù)值，它與第α個(gè)蜜源的花蜜量成正比.

若蜜源被采蜜蜂和觀察蜂搜尋的次數(shù)(蜜源連續(xù)停留次數(shù))超過限定次數(shù)ω，仍然沒有找到更高花蜜量的蜜源，則放棄該蜜源，同時(shí)該蜜源的采蜜蜂轉(zhuǎn)化為偵察蜂.每次迭代過程最多產(chǎn)生一個(gè)偵察蜂，偵察蜂根據(jù)票價(jià)約束(8)隨機(jī)生成新蜜源.

人工蜂群算法具體步驟如下：

① 設(shè)置人工蜂群算法的初始參數(shù)ηS，ηB，ω，Omax和迭代次數(shù)υ=0.

② 根據(jù)約束(8)隨機(jī)生成ηS個(gè)初始蜜源，并根據(jù)模型ILP計(jì)算蜜源花蜜量.

③ 每只采蜜蜂根據(jù)式(39)和貪婪準(zhǔn)則尋找新的蜜源，記錄同一蜜源連續(xù)停留次數(shù).

④ 每只觀察蜂根據(jù)式(40)選擇蜜源，并根據(jù)式(39)和貪婪準(zhǔn)則尋找新的蜜源，記錄同一蜜源連續(xù)停留次數(shù).

⑤ 若某一蜜源的連續(xù)停留次數(shù)超過ω，則該蜜源的采蜜蜂放棄當(dāng)前蜜源成為偵察蜂，并根據(jù)約束(8)隨機(jī)生成新蜜源.

⑥ 記錄當(dāng)前所有蜜源的花蜜量，更新迭代次數(shù)υ=υ+1，如果υ>Omax，跳至步驟⑦；否則，返回步驟③.

⑦ 結(jié)束迭代.具有最高花蜜量的蜜源對(duì)應(yīng)的票價(jià)和票額分配的組合方案即為所求.

4 算例

4.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

以京滬高速鐵路為例，G113和G1為一集合內(nèi)的2列列車.G113發(fā)車時(shí)間為08:53，全程運(yùn)行時(shí)間為340 min；G1發(fā)車時(shí)間為09:00，全程運(yùn)行時(shí)間為268 min.本文以2列列車的二等座為例進(jìn)行實(shí)例分析，京滬線路上的車站及2列列車的停站方案如圖1所示，2列列車共同服務(wù)28個(gè)OD，設(shè)2列列車的二等座車廂定員均為560人，客流需求參數(shù)λij的取值如表2所示.

圖1 京滬高速鐵路線路及列車停站方案

OD廊坊德州東濟(jì)南西徐州東南京南蘇州北上海虹橋北京南20111691425611625廊坊15111211913德州東9741118濟(jì)南西154614111徐州東131211南京南13251蘇州北13

考慮高速鐵路的社會(huì)效益，以目前二等座票價(jià)為最高票價(jià)，以二等座票價(jià)的七折票為最低票價(jià).基于2016年9月在北京南站的SP問卷調(diào)查計(jì)算參數(shù)β1和β2的取值，結(jié)果如表3所示.調(diào)查人群的月平均收入為6 300元，參數(shù)π取值0.6[12].

表3 旅客選擇模型參數(shù)標(biāo)定值

4.2 收益分析

算法中蜜源個(gè)數(shù)為25，最大迭代次數(shù)為500，限定次數(shù)為50.在MATLAB中調(diào)用Cplex工具進(jìn)行模型求解，具體迭代過程如圖2所示.以采用單一票價(jià)的票額分配方案為對(duì)比方案，本文方案和對(duì)比方案在部分OD的優(yōu)化結(jié)果如表4所示.

圖2 迭代優(yōu)化過程

元

在相同的客流需求下，對(duì)比方案的客票期望收益為52.994萬元，本文方案的客票期望收益為55.534萬元，期望收益提高4.81%.因此本文方案不但能對(duì)多列車進(jìn)行票價(jià)和票額的綜合優(yōu)化，同時(shí)說明基于不同列車服務(wù)屬性差異和旅客在不同列車間的選擇行為進(jìn)行多列車差別定價(jià)的方法更有益于席位利用率及運(yùn)輸效益的提高.

相比G1列車，G113列車在旅行時(shí)間上有一定劣勢，旅客更傾向于選擇G1列車，這可能造成G1列車客票緊張和G113列車席位虛糜并存的現(xiàn)象.因此，對(duì)G113列車部分OD的車票進(jìn)行打折銷售可以提高G113列車的旅客需求，緩解G1列車的客票緊張，使不同列車的上座率更加均衡并提高了多列車整體的席位利用率.

圖3給出了當(dāng)需求變化時(shí)，收益提高比例的變化和G113列車部分OD的票價(jià)變化情況.可看出當(dāng)需求增大時(shí)，G113列車提高票價(jià).當(dāng)需求減小時(shí)，G113列車降低票價(jià)，但并不是隨著需求的減小而持續(xù)降低，當(dāng)需求已經(jīng)較小時(shí)，票價(jià)不再持續(xù)減小，反而有一定的回升.在不同的需求強(qiáng)度下，相比單一票價(jià)策略，本文方案都能夠提高客票期望收益，尤其在需求強(qiáng)度適中時(shí)，收益提高效果明顯.

圖3 不同需求強(qiáng)度下的收益提高比例和票價(jià)折扣情況

5 結(jié)論

1) 本文研究了高速鐵路多列車差別定價(jià)方法，構(gòu)建了票價(jià)和票額綜合優(yōu)化模型，并根據(jù)模型特點(diǎn)設(shè)計(jì)混合啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，最后以京滬高速鐵路列車為例進(jìn)行分析.

2) 與單一票價(jià)形式下的票額分配方法相比，本文提出的多列車差別定價(jià)方法能夠更合理地將客流需求與不同列車的席位資源進(jìn)行匹配，進(jìn)而提高多列車的整體上座率和客票收益.

3) 考慮高速鐵路的社會(huì)效益，本文僅對(duì)打折車票進(jìn)行了案例研究，當(dāng)高速鐵路允許實(shí)施漲價(jià)策略時(shí)，本文方法仍然可以對(duì)票價(jià)和票額進(jìn)行綜合優(yōu)化.