移動車輛荷載作用下梁體裂縫擴(kuò)展規(guī)律

朱勁松 張一峰 陳興達(dá)

(1天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072)(2天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

橋梁是交通系統(tǒng)的咽喉，它的正常工作是保證交通順暢的關(guān)鍵.我國橋梁大部分是改革開放后所建，橋齡一般為40年左右，不少橋梁已經(jīng)或正在發(fā)生老化、破損、開裂等現(xiàn)象.因此，需要對帶病害橋梁進(jìn)行深入研究，從而為后期的評估處理提供依據(jù).鋼筋混凝土T型梁橋因其結(jié)構(gòu)形式簡單、施工難度較小，自1950年代就在我國公路上大量地修建，這也使其在目前病害橋梁中占比很大，故本文主要針對開裂的鋼筋混凝土T型梁橋進(jìn)行研究.

近年來相關(guān)學(xué)者針對車輛荷載作用下的開裂混凝土梁體進(jìn)行了廣泛的研究.殷新鋒等[1]將車輛模型視為七自由度的整車模型，建立了多跨變截面損傷混凝土梁的車橋耦合方程并編制了相應(yīng)的計(jì)算程序，對不同裂縫類型、裂縫位置、裂縫參數(shù)及車輛組合等因素對橋梁沖擊系數(shù)的影響進(jìn)行了分析.譚國金等[2]基于傳遞矩陣方法的基本思想，形成了車輛作用下裂縫簡支梁橋自振特性的分析方法，并采用數(shù)值模擬計(jì)算驗(yàn)證了方法的正確性和有效性.王文潔等[3]對車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)進(jìn)行時頻特性分析，以兩軸汽車模型模擬移動車輛，利用有限元法建立有損傷橋梁結(jié)構(gòu)在車輛作用下的運(yùn)動方程，分析不同裂縫模型對橋梁動力響應(yīng)的影響.這些研究取得了一定的成果，但多集中在對損傷梁體的動力特性分析，極少有直接針對車橋耦合作用下梁體開裂狀態(tài)時變特征的研究.

應(yīng)力強(qiáng)度因子是評價(jià)裂縫狀態(tài)的有效方式.一般荷載作用下，可認(rèn)為開裂橋梁的裂縫是穩(wěn)定的，但實(shí)際情況中橋梁時刻受到汽車等動荷載的作用，其裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子是時變的.李玉龍等[4]對三點(diǎn)彎曲試樣進(jìn)行了動態(tài)分析，結(jié)果表明將沖擊荷載代入準(zhǔn)靜態(tài)公式中確定試樣應(yīng)力強(qiáng)度因子的做法是不正確的.姜風(fēng)春等[5]考慮了轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形，通過振動分析的方法對沖擊荷載作用下三點(diǎn)彎曲梁的動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了計(jì)算，得到了較好的結(jié)果，說明可變荷載中需考慮慣性的作用.橋梁結(jié)構(gòu)時刻受到車輛等動載的作用，忽略車輛的質(zhì)量和慣性會造成較大誤差.因此，本文對開裂橋梁的裂縫進(jìn)行描述時，采用考慮慣性的三維動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子.

目前，可通過解析法或數(shù)值法有效地計(jì)算出二維應(yīng)力強(qiáng)度因子[6].但對于復(fù)雜的三維裂縫，解析法求解極其困難，通常采用數(shù)值方法進(jìn)行近似計(jì)算.相互作用積分法因其建模簡單、計(jì)算精度高，被廣泛應(yīng)用于應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算.Nakamura[7]首先運(yùn)用相互作用積分法求解了復(fù)合材料界面彈性裂縫尖端處的三維應(yīng)力強(qiáng)度因子.Song等[8]將相互作用積分法引入到三維動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算中，分析了不同材料特性、積分域大小和積分時長對計(jì)算結(jié)果的影響.本文同樣采用相互作用積分法，通過體積分的方式計(jì)算裂縫尖端的三維應(yīng)力強(qiáng)度因子.

本文結(jié)合車橋耦合振動分析方法和相互作用積分法，對車輛荷載作用下開裂梁體的裂縫擴(kuò)展性能進(jìn)行研究.使用MATLAB和ANSYS聯(lián)合建立了三維實(shí)體開裂梁的車橋耦合振動模型，裂縫尖端則通過奇異單元進(jìn)行模擬.運(yùn)用相互作用積分法求解開裂梁的三維動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，并提出了一種評估動力作用下彎剪裂縫擴(kuò)展性能的指標(biāo).最后，分析了路面等級、車重、車速、梁體損傷程度和裂縫角度對開裂梁體裂縫擴(kuò)展性能的影響.

1 車橋動力方程

1.1 橋梁動力方程

將橋梁進(jìn)行有限元離散化處理，其運(yùn)動方程的矩陣形式可表示為

(1)

1.2 車輛動力方程

車輛模型采用簡化后的兩軸八自由度平面車輛模型[9]，車輛模型的布置和參數(shù)定義如圖1所示.

圖1 車輛模型

車輛模型包括車體、前輪和后輪3個部分，車輪和車體以及車輪與路面之間的相互作用均用彈簧阻尼進(jìn)行連接.l1,l2分別為后輪和前輪距重心距離，l=l1+l2.各個部件的表示方法如下：m1,m2和m3分別為后輪質(zhì)量、車身質(zhì)量和前輪質(zhì)量；J為車身的轉(zhuǎn)動慣量；k1,k2,k3和k4分別為后輪與橋面、后輪與車身、前輪與車身和前輪與橋面之間的剛度系數(shù)；c1,c2,c3和c4分別為后輪與橋面、后輪與車身、前輪與車身和前輪與橋面之間的阻尼系數(shù).平面車模型的8個自由度包括：后輪的豎向位移y1、車身尾端的豎向位移y2、車身前端的豎向位移y3、前輪的豎向位移y4、后輪與橋面接觸處的位移z1、前輪與橋面接觸處的位移z2、車身質(zhì)心處的轉(zhuǎn)角yc、車身質(zhì)心處的轉(zhuǎn)角θ.其中z1,z2與橋面同一位置處的位移相等，yc,θ與y2,y3之間的關(guān)系可寫為

(2)

因此該模型的獨(dú)立自由度共有4個，車輛模型的位移列陣可表示為

YV=[y1y2y3y4]T

(3)

對車輛模型中的各部分分別進(jìn)行動力分析，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理可得

(4)

為便于編程使用，將式(4)用矩陣的形式表示，即

(5)

式中，

由式(5)右邊的荷載向量可知，車輛所受荷載中包含由于橋梁變形所引起的彈性力以及阻尼力，該部分荷載分量將車輛振動與橋梁結(jié)構(gòu)振動方程耦合起來，形成一個耦合振動體系.

當(dāng)車輛總質(zhì)量為20 t時的車輛參數(shù)具體取值見表1，對于后文數(shù)值模擬中不同載重的車輛，只改變m2的數(shù)值.

表1 車輛模型參數(shù)

1.3 路面不平順

路面不平順樣本函數(shù)r(x)是橋梁車致振動的主要影響因素，可采用三角級數(shù)疊加法[10]模擬，即

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，αk為余弦函數(shù)的幅值；ωk為位于功率譜密度定義區(qū)間[ωl，ωu]內(nèi)的頻率；θk為均勻分布在0～2π之間的隨機(jī)相位角；x為局部坐標(biāo)，表示橋上某點(diǎn)距橋梁左端的距離；N為模擬隨機(jī)不平順的點(diǎn)數(shù)；S(ωk)為功率譜密度函數(shù)，在區(qū)間[ωl，ωu]內(nèi)定義為路面不平順空間頻率的函數(shù)，

(10)

式中，α為不平順系數(shù)；指數(shù)β可取1.94.橋上路面粗糙度被劃分為5個等級，各等級路面不平順系數(shù)的選取見文獻(xiàn)[11].

1.4 車橋耦合振動分析

在進(jìn)行車橋耦合振動分析時，通常假設(shè)車輛在行駛過程中始終與梁體保持接觸狀態(tài)，車輛的動力方程和梁的動力方程可通過接觸點(diǎn)作用力和位移的相互約束進(jìn)行耦合.本文采用豎向耦合振動，以車輛后輪為例，車輪與梁體的相互作用力可表示為

(11)

式中，Δb(t)為后輪質(zhì)心在t時刻相對于梁體的垂直位移，其表達(dá)式為

Δb(t)=yb(t)-zb(t)-rb

(12)

式中，yb(t)為后輪質(zhì)心在t時刻的豎向位移；zb(t)為接觸點(diǎn)處橋面節(jié)點(diǎn)在t時刻的豎向位移；rb為后輪與橋面接觸點(diǎn)處的橋面不平順樣本值.

車輛與橋梁的耦合方程是一個時變的二階微分方程組，可采用Newmark-β法求解.本文通過編制的MATLAB與ANSYS聯(lián)合程序?qū)嚇蝰詈险駝臃匠踢M(jìn)行迭代求解，基本思路如下：

① 在MATLAB中輸入各項(xiàng)參數(shù)，輸出輪壓荷載時程數(shù)據(jù)；

② 調(diào)用ANSYS計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)在輪壓荷載作用下的動力響應(yīng)并輸出中車輪接觸處位移及速度時程數(shù)據(jù)；

③ 在MATLAB中通過Newmark-β法根據(jù)橋梁響應(yīng)計(jì)算車輛動力響應(yīng)并輸出輪壓荷載時程數(shù)據(jù)；

④ 計(jì)算前后兩次計(jì)算所得輪壓荷載時程數(shù)據(jù)的差值ΔF，若小于限值則結(jié)束運(yùn)算，并得到方程的數(shù)值解，若大于等于限值則重復(fù)步驟②～④.

2 三維動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子

2.1 三維裂縫尖端應(yīng)力場

對于含有裂縫的三維勻質(zhì)彈性體，其裂縫尖端的應(yīng)力場可表示為[12]

(13)

2.2 三維相互作用積分法

三維裂縫尖端的能量釋放率表示如下：

(14)

式中，s為裂縫尖端位置的參數(shù)；μk(s)為裂縫局部擴(kuò)展方向；W為應(yīng)變能密度；σij為應(yīng)力分量；ui為位移分量；nk和nj為與積分圍道垂直的單位向量；Γ是圍繞裂縫頂端點(diǎn)按逆時針方向所做圍道，沿此圍道進(jìn)行積分.

根據(jù)能量釋放理論可得到能量釋放率J和應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系式為

(15)

式中，E為彈性模量；ν為泊松比.

相互作用積分法在計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子時，通過建立裂縫尖端的輔助場來分離并獲得真實(shí)場的應(yīng)力強(qiáng)度因子.裂縫尖端的輔助場是滿足平衡條件、物理方程和幾何關(guān)系的任一可能位移場和應(yīng)力場，而裂縫尖端的真實(shí)場則是待研究問題的裂縫尖端的實(shí)際位移場和應(yīng)力場.具體過程如下[13-14]：

① 將輔助場與真實(shí)場疊加后可得相互積分

(16)

式中，上標(biāo)“aux”表示輔助場的解，只要保證Γ值足夠小就能保證上述積分是守恒的.

② 由I(s)和能量釋放率的關(guān)系，可得到點(diǎn)s處的局部應(yīng)力強(qiáng)度因子和I(s)之間的關(guān)系式為

(17)

(18)

可用同樣方法計(jì)算KⅡ和KⅢ.

本文基于車橋耦合振動分析方法求解出所有離散時間點(diǎn)上的位移、應(yīng)力等信息.在每個步長中，通過將計(jì)算得到的應(yīng)力和應(yīng)變代入相互作用積分中求解每個步長內(nèi)的應(yīng)力強(qiáng)度因子，即可得到車輛在橋梁上行駛時的動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ(t)和KⅡ(t)時程.

3 裂縫評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

3.1 彎剪裂縫擴(kuò)展評價(jià)參數(shù)

由于車輛荷載是豎向荷載，故可將梁體的裂縫近似地看成Ⅰ，Ⅱ型復(fù)合裂縫.徐道遠(yuǎn)等[15]通過四點(diǎn)剪切試樣研究所得到的Ⅰ，Ⅱ型復(fù)合裂縫的臨界斷裂曲線表達(dá)式為

(19)

式中，KⅠC為混凝土的斷裂韌度，其取值可根據(jù)試驗(yàn)確定.

根據(jù)式(19)可構(gòu)造評估裂縫擴(kuò)展性能的參數(shù)，其表達(dá)式可寫成

(20)

當(dāng)λ(t)=1時，表示裂縫處于臨界擴(kuò)展?fàn)顟B(tài).當(dāng)λ(t)>1時，表示裂縫是不穩(wěn)定的，在當(dāng)前荷載作用下會發(fā)生擴(kuò)展.當(dāng)0<λ(t)<1時，裂縫是穩(wěn)定的，但λ(t)越大，該裂縫就越危險(xiǎn)，可通過λ(t)值的大小對裂縫擴(kuò)展性能進(jìn)行評價(jià).

3.2 裂縫擴(kuò)展動力放大系數(shù)

車輛荷載的作用通常采用放大系數(shù)來表示.對于車輛荷載對裂縫的擴(kuò)展性能的影響，可以通過參數(shù)λ的動力放大系數(shù)來考慮，如下所示：

4 算例分析

4.1 數(shù)值模型

算例選取某跨度30 m簡支T梁進(jìn)行實(shí)體建模分析.簡化后的兩軸車模型沿T梁上表面中軸線加載.根據(jù)橋面劃分的單元數(shù)確定過橋積分步數(shù)，先假設(shè)車輛荷載在每個步長作用點(diǎn)不變，通過ANSYS的動力分析過程得到每個作用點(diǎn)處接觸點(diǎn)的位移，然后再反求此時的輪壓荷載，通過迭代直到前后兩次算得的輪壓荷載相等，完成一步迭代.荷載通過兩軸車輛模型施加在T梁三維實(shí)體模型中線上的節(jié)點(diǎn)，施加位置隨不同積分步而改變.不同的移動速度通過積分時間步長控制，積分時間步長δ=l/v，l為主梁的單元長度，v為所設(shè)定的車速.T梁跨中截面如圖2所示，T梁總高220 cm，腹板高203 cm，寬27 cm，翼緣板寬240 cm，厚17 cm.材料采用C50混凝土，通過增加材料的彈性模量來考慮鋼筋的作用，取彈性模量E=45.4 GPa，材料泊松比為0.2，密度為2 549kg/m3，T梁質(zhì)量為73 113 kg.混凝土材料的斷裂韌度KⅠC可根據(jù)文獻(xiàn)中的試驗(yàn)資料進(jìn)行確定，其數(shù)值大致在0.632～0.949 MPa/m1/2之間.參考文獻(xiàn)[16]，本文取混凝土的斷裂韌度KⅠC=0.869 6 MPa/m1/2.

圖2 T梁跨中截面示意圖(單位：cm)

算例采用通用有限元軟件ANSYS建立開裂T梁實(shí)體有限元模型，混凝土采用solid186單元進(jìn)行模擬.solid186單元是高階三維20節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元，具有二次位移模式，不僅可以模擬不規(guī)則的網(wǎng)格，而且支持運(yùn)用相互作用積分法進(jìn)行三維應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算.為了更加精確地模擬裂縫尖端場，裂縫端部采用奇異單元.裂縫尖端網(wǎng)格劃分如圖3所示.

圖3 裂縫尖端網(wǎng)格劃分示意圖

4.2 裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)研究

該算例分別分析了車重、路面平順度、車速和梁體損傷程度對跨中豎向裂縫擴(kuò)展性能的影響，此外還分析了裂縫角度對四分之一跨處斜裂縫擴(kuò)展性能的影響.各參數(shù)變量取值見表2.為敘述方便，設(shè)車重Rweight為車輛總質(zhì)量和T梁總質(zhì)量的比值，損傷程度α為跨中豎向裂縫深度和T梁高度的比值.

通過試算，發(fā)現(xiàn)車重是影響裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)的最主要因素，因此在具體分析某一變量對裂縫擴(kuò)展性能的影響時，選取該參數(shù)和車重作為變量進(jìn)行模擬分析，除車重外其余參數(shù)在各控制變量分析中的取值統(tǒng)一為：路面不平順等級3級，車速30 km/h，梁體損傷程度α=0.20，斜裂縫角度45°.

表2 數(shù)值模擬參數(shù)變量和取值

4.2.1 靜動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子對比分析

首先用編制的車橋耦合振動程序?qū)α后w跨中裂縫的三維動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行求解分析，對比靜止車輛作用在橋上的靜態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子.具體選取的工況為：Rweight取0.12，車速60 km/h，路面不平順等級3，梁體損傷比0.2.圖4和圖5分別給出了該工況下應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ(t)，KⅡ(t)以及裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)λ的時程曲線，并將各條曲線與不考慮振動時的靜態(tài)曲線進(jìn)行了對比.可看出，車輛運(yùn)動對橋梁會有沖擊作用，導(dǎo)致裂縫參數(shù)一定程度的放大.因此在判斷開裂梁橋中裂縫的穩(wěn)定性時，必須考慮車輛荷載的動力作用.由圖4(a)可見，Ⅰ類張開型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ(t)的時程曲線變化趨勢與其他文獻(xiàn)中車輛荷載作用下跨中的位移響應(yīng)時程變化趨勢相似，大致在車輛位于跨中時出現(xiàn)最大值.由圖4(b)可見，當(dāng)車輛位于跨中附近時，由于二維車輛前后輪的作用導(dǎo)致Ⅱ類滑開型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡ(t)有一個雙谷的變化過程.對比圖4(a)和圖4(b)可以發(fā)現(xiàn)，該工況下KⅠ(t)遠(yuǎn)大于KⅡ(t)，λ主要受到KⅠ(t)的影響，故圖5中裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)λ的時程曲線和KⅠ(t)的時程曲線趨勢相同.

(a) KⅠ(t)時程曲線

(b) KⅡ(t)時程曲線

圖5 裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)λ時程曲線

4.2.2 路面不平順對裂縫擴(kuò)展性能的影響

為了考查路面不平順對車輛荷載作用下裂縫擴(kuò)展性能的影響，進(jìn)行了相關(guān)模擬分析.圖6給出了不同等級路面條件下裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)λ的動力時程曲線，其中Rweight取0.12，i為路面不平順等級，i=1，2，3，4，5，其他參數(shù)為上文所述控制變量分析中的統(tǒng)一取值.由圖6可見，當(dāng)車輛位于跨中時，裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)λ的振幅最大，且隨著路面粗糙度等級的增大，參數(shù)λ的振幅變大.

圖6 不同等級路面下裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)λ時程曲線

另一方面，3種車重作用下Λ的改變量Δj分別為0.26(Rweight=0.12)，0.20(Rweight=0.24)，0.18(Rweight=0.36).分析不同車輛荷載隨路面等級退化時Λ的增長率，可以看到車輛荷載越小，其隨路面等級退化時Λ的增長速率越大，這是由于輕車隨路面等級退化更易產(chǎn)生顛簸，車輛的沖擊作用對橋梁裂縫產(chǎn)生不利影響.圖8給出了3種不同車重情況下λ的動力放大系數(shù)隨著路面等級退化的變化情況.由圖可見，λ的動力放大系數(shù)隨著路面等級退化呈加速增大的趨勢，且車輛荷載越小趨勢越明顯，這也印證了圖7中輕車隨路面等級退化時Λ加速增長的現(xiàn)象.故保持路面狀況良好，能夠顯著降低車輛沖擊作用對橋梁裂縫的影響.此外，從圖中可看出運(yùn)動車輛對橋梁的沖擊作用會導(dǎo)致裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)λ的放大，在某些工況下(Rweight=0.12，路面不平順等級5)達(dá)到靜態(tài)裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)的近2倍，說明考慮動態(tài)作用對于評估開裂梁橋中裂縫穩(wěn)定性是十分必要的.

圖8 不同等級路面下動力放大系數(shù)變化情況

4.2.3 車速對裂縫擴(kuò)展性能的影響

4.2.4 梁體損傷程度對裂縫擴(kuò)展性能的影響

4.2.5 彎剪區(qū)斜裂縫角度對裂縫擴(kuò)展性能的影響

圖11 裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)λ時程曲線(斜裂縫角度45°)

5 結(jié)論

1) 本文提出的車橋耦合振動分析與相互作用積分相結(jié)合的方法能夠有效地對車輛荷載作用下實(shí)體開裂梁動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行計(jì)算分析.

2) 在求解車輛荷載作用下裂縫的動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子時，應(yīng)當(dāng)考慮慣性的作用，將車輛荷載直接代入應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解公式中得到的靜態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子偏小，在某些工況下會產(chǎn)生近2倍的誤差.

3) 車輛荷載的增加，路面等級的退化和梁體損傷程度的增大均會導(dǎo)致裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)變大，其中車輛荷載作用最為明顯，車輛行駛速度及裂縫角度的改變對其影響不大.四分之一跨處的斜裂縫在裂縫水平角接近45°時發(fā)生擴(kuò)展的風(fēng)險(xiǎn)最大.

4) 車輛荷載的沖擊作用會加大裂縫擴(kuò)展的風(fēng)險(xiǎn)，車輛荷載較輕和路面退化嚴(yán)重時，其對裂縫擴(kuò)展性能的動力放大作用十分明顯.

5) 車輛荷載和梁體損傷程度對裂縫擴(kuò)展性能參數(shù)的耦合作用表現(xiàn)出非線性，隨著車輛荷載的增大和梁體損傷程度的增加，裂縫擴(kuò)展的風(fēng)險(xiǎn)加速增大.