馬鞍形邊界剛性屋面橢球形索穹頂受力性能分析

馬 青，陳志華, ，閆翔宇，樓舒陽

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(天津大學(xué))，天津 300072；3. 天津大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院，天津 300073)

基于張拉整體結(jié)構(gòu)的概念，Geiger等[1-2]首先提出了索穹頂結(jié)構(gòu)體系，并應(yīng)用于 1988年漢城奧運(yùn)會的體操館和手球館．索穹頂根據(jù)幾何構(gòu)成主要可以分為Geiger式、Levy式、Kiewitt式和鳥巢式等[3-4]．在已經(jīng)建成的十余座大型索穹頂結(jié)構(gòu)中主要采用的是Geiger式和 Levy式．國內(nèi)此前已經(jīng)建成的中大跨度索穹頂共有3座，均為圓形Geiger式，分別是臺灣桃園市體育館(直徑 120,m)、山西太原煤炭交易中心(直徑 36,m)和內(nèi)蒙古伊金霍洛旗全民健身中心(直徑 72,m)．

出于初始預(yù)應(yīng)力計(jì)算簡便的考慮，大多數(shù)索穹頂均為圓形，已經(jīng)建成的工程中僅有佐治亞穹頂和紅鳥體育館為橢圓形[5]；由于索結(jié)構(gòu)的柔性結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，索穹頂非常適合與張拉膜屋面配合使用，但是膜結(jié)構(gòu)屋面有時不能滿足建筑隔音、保溫和建筑光學(xué)的要求，所以出現(xiàn)了剛性屋面索穹頂結(jié)構(gòu)，美國費(fèi)耶特維爾的皇冠劇院是第一個剛性屋面索穹頂結(jié)構(gòu)[6]．天津理工大學(xué)體育館是工程實(shí)踐中首次出現(xiàn)的邊界為空間曲線的索穹頂結(jié)構(gòu)．

針對剛性屋面索穹頂結(jié)構(gòu)，李紅雨[7]對壓型鋼板屋面索穹頂進(jìn)行了靜動力分析，并與不考慮屋面板的方案進(jìn)行了對比；宗鐘凌等[8]推導(dǎo)了壓型鋼板殼單離散方法，對 Geiger式索穹頂進(jìn)行了靜力分析并進(jìn)行了模型試驗(yàn)研究；董石麟等[9]提出了一種單層網(wǎng)殼與索穹頂組合的空間結(jié)構(gòu)，對該結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行了靜力性能和參數(shù)化分析；胡正平[10]以太原煤炭交易中心索穹頂為例對不同屋面與索穹頂?shù)膮f(xié)同工作性能進(jìn)行了分析．

為了研究剛性屋面系統(tǒng)對橢球形復(fù)合式索穹頂力學(xué)性能的影響，本文基于天津理工大學(xué)體育館索穹頂屋蓋對比分析了索桿體系模型、考慮檁條模型和考慮屋面板的 3種模型在均布荷載和半跨荷載下的力學(xué)性能，并且以預(yù)應(yīng)力水平、水平支承剛度和撐桿高度為參數(shù)，對3種結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行了分析．

1 工程概況

圖1 體育館效果圖Fig.1 Sketch of the gymnasium

天津理工大學(xué)體育館(見圖1和圖2)屋蓋采用索穹頂結(jié)構(gòu)，下部為鋼筋混凝土框架．屋蓋結(jié)構(gòu)平面為橢圓形，長軸 102,m，短軸 82,m，采用外圈 Levy、內(nèi)圈Geiger的新型索穹頂結(jié)構(gòu)(見圖3)．索穹頂周圈錨固于混凝土環(huán)梁，環(huán)梁呈馬鞍形，短軸為最高點(diǎn)，長軸為最低點(diǎn)，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)高差 5.455,m．根據(jù)建筑要求，其屋面外圈為金屬屋面，中間葉片狀部分為張拉膜屋面，膜屋面部分與金屬屋面之間設(shè)置了高1.6,m的天窗，兩種屋面均支承于檁條之上(見圖4).

圖2 體育館整體模型Fig.2 Integral model of the gymnasium

圖3 索桿體系平面圖Fig.3 Plan of cable-strut system

圖4 金屬屋面布置范圍Fig.4 Arrangement area of metal cladding

根據(jù)脊索的方向，索穹頂在徑向劃分為 16榀．由于屋蓋邊界為馬鞍形，長軸和短軸的矢跨比差異較大，分別為0.056和0.035．長軸和短軸的剖面分別如圖5和圖6所示．

圖5 長軸剖面Fig.5 Section of major axis

圖6 短軸剖面Fig.6 Section of minor axis

2 有限元模型

本文采用 Ansys軟件建立了 3個有限元模型作為對比分析．3個模型分別為：①模型1，考慮檁條和屋面板的模型；②模型 2，考慮檁條的模型；③模型3，僅有索桿結(jié)構(gòu)的模型．

模型中拉索、撐桿和次檁采用 link180單元，其中拉索設(shè)置為只受拉；主檁通過支托支承于索穹頂節(jié)點(diǎn)上，主檁和支托采用 beam188單元[11]．3個模型的邊界上的拉索節(jié)點(diǎn)均為 3向鉸接．屋面板采用shell181單元．模型中主檁根據(jù)次檁的間距等分，板單元節(jié)點(diǎn)與次檁上的節(jié)點(diǎn)連接．

主檁和次檁均采用矩形鋼管，主檁截面為450,mm×250,mm×10,mm 矩形鋼管、次檁截面為350,mm×250,mm×10,mm矩形鋼管．支托為φ159,mm×5,mm 的圓鋼管，撐桿的截面從外圈向內(nèi)圈分別為φ299,mm×10,mm、φ245,mm×10,mm 和φ219,mm×6,mm 圓鋼管．工程中由于僅有屋面底板與檁條連接，故本文分析中僅考慮屋面底板的作用．屋面底板采用厚度為 0.9,mm、波高 35,mm、波距125,mm的壓型鋼板，壓型鋼板的強(qiáng)軸方向垂直于次檁．構(gòu)件的單元和材料屬性見表 1，主要拉索截面和預(yù)應(yīng)力見表2．

表1 單元和材料屬性Tab.1 Element and material properties

表2 主要拉索截面和預(yù)應(yīng)力Tab.2 Section area and prestress of main cables

在本文的計(jì)算中將壓型鋼板等效為正交各向異性平板．壓型鋼板各向彈性常數(shù)計(jì)算式[12]為

式中：E0為鋼材的彈性模量；Eyy為壓型鋼板強(qiáng)軸的等效彈性模量；Exx為壓型鋼板弱軸的等效彈性模量；l為壓型鋼板展開長度；a為等效的各向異性板長；ε為修正系數(shù)，一般取 2.0～2.5，本文取為 2.0；μ0為鋼材的泊松比；G0為鋼材的剪切模量；Geff為等效正交各向異性板的剪切模量；I0為等效正交各向異性板的橫截面慣性矩；Ix為真實(shí)板的橫截面慣性矩．

3 不同荷載分布下屋面系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

為了研究屋面系統(tǒng)對索穹頂結(jié)構(gòu)性能的影響，本節(jié)對比了全跨均布荷載和半跨均布荷載下結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力，均布荷載的施加范圍如圖 7所示．在模型1和模型 2中施加的均布荷載為屋面恒載和活荷載標(biāo)準(zhǔn)值之和的6倍，即6.3,kN/m2，在模型3中將檁條的自重折算為均布荷載通過虛面施加在索穹頂上．

圖7 加載區(qū)域Fig.7 Loading area

3.1 全跨均布荷載下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)

圖8為均布荷載作用下 3個模型的位移計(jì)算結(jié)果．圖9～圖11為拉索索力的計(jì)算結(jié)果．

由圖 8可見，在加載過程中結(jié)構(gòu)的荷載-位移關(guān)系基本保持線性，模型 2較模型 3剛度提高了32.2%,，模型 1比模型 2提高了 10.3%,，可見檁條對結(jié)構(gòu)剛度有較大貢獻(xiàn)，屋面板對結(jié)構(gòu)剛度有一定貢獻(xiàn)，但不明顯．

由圖 9可見，由于屋面板對結(jié)構(gòu)剛度的貢獻(xiàn)，環(huán)索對均布荷載的敏感程度有所降低，與全跨結(jié)果相似，模型1與模型2的結(jié)果比較接近，而模型1與模型 3相比有較大提高．荷載的增加對內(nèi)環(huán)索索力影響很?。?/p>

圖9 全跨均布荷載作用下環(huán)索索力Fig.9 Cable force of hoop cables under full span uniform load

圖10顯示了長軸最內(nèi)圈和最外圈脊索索力隨荷載的變化．3個模型的長軸脊索索力在加載初期均呈現(xiàn)線性下降的趨勢，模型3最內(nèi)圈索力下降速度快于另兩個模型，在加載至2.7,kN/m2時，模型3的JS-1A發(fā)生了松弛，此后由于內(nèi)力重分布，其 JS-1D的索力反而大幅上升．而模型 1和模型 2中長軸脊索的索力十分相近并保持了線性下降的趨勢，但是下降的數(shù)值遠(yuǎn)小于模型 3，這說明屋面結(jié)構(gòu)極大地增加了結(jié)構(gòu)抵抗外荷載的能力，尤其是對預(yù)應(yīng)力水平較低的長軸方向．

圖10 全跨均布荷載作用下長軸脊索索力Fig.10 Cable force of ridge cables along major axis under full span uniform load

短軸方向脊索索力見圖11，模型 1和模型 2的脊索依然保持了線性下降的趨勢，并且數(shù)值十分相似，而模型3的JS-5D由于長軸內(nèi)脊索松弛后發(fā)生內(nèi)力重分布，出現(xiàn)了先減小后增大的現(xiàn)象，模型 3的短軸脊索對荷載也比模型1和模型2更敏感．

總體來說，檁條對結(jié)構(gòu)全跨荷載下的剛度貢獻(xiàn)較大，純索桿結(jié)構(gòu)與考慮了屋面體系的結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布有較大不同，而屋面板對結(jié)構(gòu)的剛度貢獻(xiàn)相對較小，基本上在10%,以內(nèi)．

圖11 全跨均布荷載作用下短軸脊索索力Fig.11 Cable force of ridge cables along minor axis under full span uniform load

3.2 半跨均布荷載作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)

本節(jié)中分析了索穹頂結(jié)構(gòu)在非對稱均布荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移，圖表中所涉及的拉索及節(jié)點(diǎn)均位于施加均布荷載的一側(cè)．

3.2.1 短軸半跨荷載作用下

由圖12和13可知，與全跨情況類似，模型3在加載過程中 JS-1A發(fā)生松弛．但是由于長軸上荷載小于全跨情況，松弛時荷載為 3.25,kN/m2，在松弛前JS-1D索力先下降，松弛后因內(nèi)力重分布再上升．但與全跨荷載不同的是，模型2的長軸索力下降的速度快于模型 1，說明屋面板能夠增強(qiáng)結(jié)構(gòu)對半跨承載能力．對于短軸脊索 JS-5D，索力大幅上升是由于短軸兩側(cè)的兩榀內(nèi)圈脊索發(fā)生松弛，短軸上承擔(dān)的荷載增加．

圖12 短半跨均布荷載作用下長軸脊索索力Fig.12 Cable force of ridge cables along major axis under short half span uniform load

圖14為同圈環(huán)索最大索力和最小索力之差，從結(jié)果可見，模型2比模型1、模型3比模型2的索力差均有明顯減小，檁條和屋面板都可以提高結(jié)構(gòu)的整體工作性能，兩者的作用效果相近．

圖13 短半跨均布荷載作用下短軸脊索索力Fig.13 Cable force of ridge cables along minor axis under short half span uniform load

圖14 短半跨均布荷載作用下HS-3索力差Fig.14 Force difference cable HS-3 under short half span uniform load

節(jié)點(diǎn) 6是位于短軸 1/4跨度上的節(jié)點(diǎn)，從圖15可見屋面板和檁條對短軸方向豎向剛度的提高作用是相近的．與全跨均布荷載的情況(見圖 8)對比，屋面板對增強(qiáng)結(jié)構(gòu)抵抗半跨荷載作用更加明顯．

圖15 節(jié)點(diǎn)6豎向位移Fig.15 Vertical displacement of node 6

節(jié)點(diǎn)43是位于長軸1/4跨度上的節(jié)點(diǎn)，從圖16中節(jié)點(diǎn)43的平面外位移可見模型2長軸脊索節(jié)點(diǎn)平面外位移基本與模型 3相同，都遠(yuǎn)大于模型 1，說明屋面極大地提高了每榀索桿結(jié)構(gòu)的平面外剛度．

圖16 節(jié)點(diǎn)43平面外位移Fig.16 Out-of-plan displacement of node 43

3.2.2 長軸半跨荷載作用下

由圖17和18中長短軸的脊索索力變化可見，對于長軸半跨荷載的情況長軸和短軸上脊索索力變化趨勢與短軸半跨情況基本一致，但是外圈脊索的受力更為接近．

圖17 長半跨均布荷載作用下長軸脊索索力Fig.17 Cable force of ridge cables along major axis under long half span load

圖18 長半跨均布荷載作用下短軸脊索索力Fig.18 Cable force of ridge cables along minor axis under long half span load

圖19為HS-3的索力差，3個模型的HS-3索力差比短軸半跨情況更為接近，模型1和模型2有明顯的上升，這是因?yàn)殚L軸方向屋面板和檁條覆蓋面積較小，在這個方向受到半跨荷載后外圈拉索的受力較為相似．

圖19 長半跨均布荷載作用下HS-3索力差Fig.19 Force difference of cable HS-3 under long half span load

由圖20可見，長軸半跨荷載下長軸的模型 2和模型3的短軸平面外位移基本相似，也與模型1更為接近，這是由于節(jié)點(diǎn) 6處沒有金屬屋面覆蓋，剛度主要由檁條貢獻(xiàn)．

圖20 節(jié)點(diǎn)6平面外位移Fig.20 Out-of-plan displacement of node 6

圖21中，模型1和模型2長軸方向的豎向剛度比較接近，這與短軸有明顯的不同，這是因?yàn)殚L軸方向屋面板布置面積較小，豎向剛度的提高主要是由于檁條的作用，與模型3結(jié)果對比可見對預(yù)應(yīng)力水平較低的位置，檁條結(jié)構(gòu)可以大幅提高結(jié)構(gòu)的豎向剛度．

圖21 節(jié)點(diǎn)43豎向位移Fig.21 Vertical displacement of node 43

對比兩種半跨荷載工況與全跨荷載工況下結(jié)構(gòu)的索力和位移，可以發(fā)現(xiàn)檁條對提高結(jié)構(gòu)的豎向剛度起了很大作用，屋面板作用較?。?，在半跨荷載作用下考慮檁條的結(jié)構(gòu)和索桿結(jié)構(gòu)的的平面外位移比較相似，而考慮了屋面模型的平面外位移則大幅小于前面兩種結(jié)構(gòu)，這說明屋面板對提高結(jié)構(gòu)的平面外剛度起了較大的作用，檁條對提高平面外剛度作用較弱．

4 參數(shù)分析

為了研究更深入地對比3種模型的力學(xué)性能，本節(jié)進(jìn)行了參數(shù)化分析．主要對比的參數(shù)有預(yù)應(yīng)力水平、水平支承剛度、撐桿高度．參數(shù)分析采用全跨均布荷載，大小為恒荷載與活荷載標(biāo)準(zhǔn)值之和，即金屬屋面部分1.05,kN/m2、膜屋面部分0.51,kN/m2．

4.1 預(yù)應(yīng)力水平

索穹頂只有在施加了預(yù)應(yīng)力才能形成結(jié)構(gòu)，預(yù)應(yīng)力水平是影響索穹頂結(jié)構(gòu)受力性能的最主要因素．為了研究預(yù)應(yīng)力水平對 3種模型受力性能的影響，以原有預(yù)應(yīng)力(見表2)分布為基準(zhǔn)，分析了 3種模型在 0.5倍、1.0倍、1.5倍和 2.0倍預(yù)應(yīng)力水平下的受力性能．圖22給出了不同預(yù)應(yīng)力水平下的跨中豎向位移．

圖22 不同預(yù)應(yīng)力水平下的跨中位移Fig.22 Mid-span displacement under different prestress levels

由圖23可見，在預(yù)應(yīng)力從 1.0倍減小到 0.5倍時，3個模型長軸脊索索力減小趨勢明顯大于短軸脊索，尤其在預(yù)應(yīng)力減小到0.5倍時模型3的JS-1A和JS-1B出現(xiàn)了松弛．但是，結(jié)構(gòu)位移均未出現(xiàn)突變，這是由于控制結(jié)構(gòu)跨中位移主要因素是短軸方向的索桿的剛度，長軸方向影響較小，從圖23和24也可見跨中位移的變化趨勢和短軸脊索的變化趨勢較為一致；同時，這也說明索穹頂結(jié)構(gòu)在部分拉索失效后并不會出現(xiàn)結(jié)構(gòu)的整體破壞，而是會發(fā)生內(nèi)力重分布達(dá)到一個新的平衡位置．

圖23 不同預(yù)應(yīng)力水平下的長軸脊索索力Fig.23 Cable force of ridge cables along long axis under different prestress levels

圖24 不同預(yù)應(yīng)力水平下的短軸脊索索力Fig.24 Cable force of ridge cables along short axis under different prestress levels

4.2 支座水平剛度

索穹頂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中通常假設(shè)拉索錨固節(jié)點(diǎn)為固定節(jié)點(diǎn)，即不發(fā)生各個方向位移．但是，實(shí)際工程中無論周圈采用鋼結(jié)構(gòu)還是混凝土環(huán)梁，結(jié)構(gòu)均會發(fā)生變形．尤其對于本工程，其環(huán)梁為馬鞍形，剛度遠(yuǎn)小于圓形平面環(huán)梁，因此本節(jié)對比了環(huán)梁剛度為工程中采用的環(huán)梁剛度的0.01倍、0.1倍、10倍、100倍情況下3種模型的受力性能．

由圖25可知，3種結(jié)構(gòu)豎向剛度均隨著環(huán)梁相對剛度的增大而增長，環(huán)梁相對剛度從0.1倍增加到10倍區(qū)間，結(jié)構(gòu)的豎向剛度增加較為迅速，達(dá)到 100倍實(shí)際工程剛度中環(huán)梁剛度時結(jié)果與固定約束的結(jié)果接近．由模型1和模型2的曲線可見，水平約束剛度越大屋面板的蒙皮效應(yīng)越明顯，由模型2剛度變化幅度為4.6%,而模型3為9.3%,，這說明屋面支承體系不僅提高了屋蓋的豎向剛度，也減小了其對水平約束剛度的敏感程度．

圖25 不同環(huán)梁相對剛度下的豎向位移Fig.25 Vertical displacement under different relative stiffnesses of ring beam

與圓形環(huán)梁不同，橢圓形環(huán)梁短軸發(fā)生向內(nèi)側(cè)的位移會使長軸發(fā)生向外側(cè)的徑向位移，即變形后環(huán)梁短軸變短、長軸變長，尤其在短軸索力大、長軸索力小的情況下更為明顯(如圖26所示)．長軸脊索是內(nèi)拉環(huán)和外環(huán)梁之間的連續(xù)拉索，環(huán)梁相對剛度增加，內(nèi)拉環(huán)豎向位移減小會使脊索索力增加，而環(huán)梁在長軸處向外側(cè)水平位移的減小又會使脊索索力減?。?/p>

從跨中豎向位移和環(huán)梁長軸水平位移的變化可知，環(huán)梁相對剛度從0.1增加到1時內(nèi)拉環(huán)豎向位移減小較為明顯，而后趨緩，但是環(huán)梁相對剛度大于 1后，水平位移減小趨勢并未減緩，故脊索索力基本呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢．

圖26 環(huán)梁徑向位移Fig.26 Radial displacement of ring beam

總體而言，考慮環(huán)梁實(shí)際剛度的模型受力與固定約束邊界的模型有一定區(qū)別，尤其是對模型3的影響更為明顯．環(huán)梁相對剛度增加到實(shí)際剛度的 100倍時才與固定約束邊界的結(jié)果接近，但是此時環(huán)梁尺寸已經(jīng)遠(yuǎn)超實(shí)際工程可以接受的范圍，因此對于邊界為空間曲線的索穹頂，在實(shí)際工程的設(shè)計(jì)與分析中應(yīng)考慮環(huán)梁以及下部結(jié)構(gòu)剛度的影響．

4.3 撐桿高度

在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，通常結(jié)構(gòu)完成面的形狀和標(biāo)高已由建筑設(shè)計(jì)確定．對于索穹頂結(jié)構(gòu)這意味著在拉索布置方式確定后脊索的布置和角度已經(jīng)基本確定，撐桿高度是影響結(jié)構(gòu)性能的最主要因素．

在本節(jié)中分析了撐桿高度在工程實(shí)際的基礎(chǔ)上增加 30%,到減小 30%,的結(jié)構(gòu)變形情況．在撐桿高度變化后結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力分布也會發(fā)生變化，故在不同撐桿高度的模型匯總?cè)⊥猸h(huán)索索力相等作為標(biāo)準(zhǔn)，確定每個模型的預(yù)應(yīng)力分布．

由圖27的分析結(jié)果可知，在撐桿高度從+30%,減小到-30%,時3個結(jié)構(gòu)豎向剛度都隨著撐桿的高度減小而減小．屋面支承系統(tǒng)能夠有效提升結(jié)構(gòu)豎向剛度，尤其是結(jié)構(gòu)幾何剛度較小的時候，屋面板對結(jié)構(gòu)豎向剛度影響較?。?/p>

圖27 不同撐桿高度下豎向位移Fig.27 Vertical displacement under different strut lengthes

由于索桿模型的剛度主要是由幾何剛度提供的，可見結(jié)構(gòu)的幾何剛度和撐桿高度間是非線性關(guān)系，尤其是與圖22對比可見在提高結(jié)構(gòu)剛度上，提高撐桿高度比提升預(yù)應(yīng)力水平更有效．故實(shí)際工程中撐桿高度是在建筑凈空要求的范圍內(nèi)選擇盡量大的數(shù)值，而預(yù)應(yīng)力水平是在滿足結(jié)構(gòu)要求的情況下選擇較小的數(shù)值．

5 結(jié) 論

本文以天津理工大學(xué)體育館為工程背景分析了馬鞍形邊界剛性屋面橢球形索穹頂?shù)氖芰π阅埽玫饺缦陆Y(jié)論．

(1) 屋面支承系統(tǒng)可以使索穹頂結(jié)構(gòu)的剛度有較大提升；屋面板對剛度提升的作用較小，但是可以增強(qiáng)結(jié)構(gòu)抵抗半跨荷載的能力和整體工作性能．剛性屋面索穹頂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中可以主要考慮屋面支承系統(tǒng)的作用．

(2) 幾何剛度對剛性屋面索穹頂結(jié)構(gòu)整體剛度的影響小于其對純索桿結(jié)構(gòu)的影響．撐桿高度對結(jié)構(gòu)幾何剛度的影響大于預(yù)應(yīng)力水平的影響．

(3) 結(jié)構(gòu)剛度隨水平支承剛度減小而減小，柔性屋面索穹頂對水平剛度變化更加敏感．實(shí)際工程中下部結(jié)構(gòu)無法達(dá)到剛度無限大，故建議考慮下部結(jié)構(gòu)的實(shí)際剛度．