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    直覺(jué)權(quán)與直覺(jué)模糊子群之間的關(guān)系

    2018-08-02 08:25:04付云鵬王利香袁學(xué)海
    關(guān)鍵詞:模糊化同態(tài)子群

    付云鵬,王利香,袁學(xué)海

    (1.遼寧大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110036 ;2.濰坊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 濰坊 261061;3.大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部, 遼寧 大連 116024 )

    自1965年L. A. Zadeh提出模糊集概念以來(lái),以現(xiàn)實(shí)世界廣泛存在的模糊性為研究對(duì)象、模糊集合論為基本工具的新興學(xué)科得到了迅速發(fā)展.

    Rosenfeld[1]在模糊集的理論基礎(chǔ)上提出模糊群的概念. Suzuki[2]引入了權(quán)的概念,從另一個(gè)角度刻畫(huà)了模糊子群.付云鵬等[3-4]研究了權(quán)與模糊化拓?fù)洹?quán)與反模糊子群之間的關(guān)系.Atanassov[5]引入了直覺(jué)模糊集的概念.林夢(mèng)雷[6]給出一個(gè)直覺(jué)模糊集為直覺(jué)模糊群的充要條件,引入直覺(jué)模糊群關(guān)于它的正規(guī)子群的誘導(dǎo)商集的概念.班喜光等[7-8]通過(guò)經(jīng)典集合上的模糊二元運(yùn)算定義了直覺(jué)模糊群并給出其兩種等價(jià)定義,討論直覺(jué)模糊群的性質(zhì).李選海等[9]研究直覺(jué)模糊群之間的關(guān)系,在直覺(jué)模糊群之間引入了同態(tài)的概念.李曉萍等[10]研究了關(guān)于T-S模的直覺(jué)模糊正規(guī)子群、超直覺(jué)模糊群,并在同態(tài)的意義下,得到了關(guān)于超直覺(jué)模糊群之間同態(tài)和同構(gòu)的結(jié)果. 付云鵬等[11]通過(guò)在模糊化拓?fù)渖隙x直覺(jué)權(quán)的概念,研究了該定義下直覺(jué)權(quán)的性質(zhì),并且證明該直覺(jué)權(quán)可以導(dǎo)出一種直覺(jué)模糊化拓?fù)?,進(jìn)而證明了該直覺(jué)權(quán)與其所導(dǎo)出的直覺(jué)模糊化拓?fù)渲g的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

    作者在前人研究成果的基礎(chǔ)上,以直覺(jué)模糊子群為研究對(duì)象,并以直覺(jué)模糊子群為定義域給出直覺(jué)權(quán)的定義,討論了論文定義下的直覺(jué)權(quán)和直覺(jué)模糊子群之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

    1 引理及預(yù)備知識(shí)

    定義1[5]設(shè)X為一個(gè)非空經(jīng)典集合,形如

    A={|0≤μA(x)+νA(x)≤1}

    的3重組稱(chēng)為X上的一個(gè)直覺(jué)模糊集.其中:μA:X→[0,1] ,νA:X→[0,1]均為普通的模糊集;μA(x),νA(x)分別表示x屬于A(yíng)的隸屬度和非隸屬度.

    令I(lǐng)FS(intuitionistic fuzzy set)[X]表示X上所有直覺(jué)模糊集構(gòu)成的集合.

    定義2[5]設(shè)X是一個(gè)非空經(jīng)典集合,A,B∈IFS[X],且有下面的形式

    A={|x∈X},B={|x∈X}.

    規(guī)定序及其運(yùn)算如下

    (1)A?B?μA(x)≤μB(x)且νA(x)≥νB(x),x∈X.

    (2)A=B?μA(x)=μB(x)且νA(x)=νB(x),x∈X.

    (3)A∩B?{|x∈X}.

    (4)A∪B?{|x∈X}.

    若{Aj|j∈J}?IFS[X],J為指標(biāo)集,Aj={|x∈X},規(guī)定如下

    定義3[2]設(shè)G是經(jīng)典群,G上的一個(gè)直覺(jué)模糊子集A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈G},如果滿(mǎn)足

    (1)μA(xy)≥min{μA(x),μA(y)},νA(xy)≤max{νA(x),νA(y)},?x,y∈G;

    (2)μA(x-1)≥μA(x),νA(x-1)≤νA(x),?x∈G.

    則稱(chēng)A為G上的一個(gè)直覺(jué)模糊子群.

    令I(lǐng)FG(intuitionistic fuzzy group)[G]表示群G上的所有直覺(jué)模糊子群所構(gòu)成的集合.

    定理1設(shè)G是經(jīng)典群,若A,B∈IFS[G],則A∩B∈IFS[G].

    證明設(shè)A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈G},B={〈x,μB(x),νB(x)〉|x∈G},由定義2知

    A∩B={〈x,min{μA(x),μB(x)},max{νA(x),νB(x)}〉|x∈G}.

    令σA∩B(x)=min{μA(x),μB(x)},τA∩B(x)=max{νA(x),νB(x)},則?x,y∈G,有

    σA∩B(xy)=min{μA(xy),μB(xy)}≥min{min{μA(x),μA(y)},min{μB(x),μB(y)}}=

    min{min{μA(x),μB(x)},min{μA(y),μB(y)}}=min{σA∩B(x),σA∩B(y)}.

    同理,τA∩B(xy)≤max{τA∩B(x),τA∩B(y)}.

    又因?yàn)?/p>

    τA∩B(x-1)=min{μA(x-1),μB(x-1)}≥min{μA(x),μB(x)}=τA∩B(x),

    τA∩B(x-1)=max{νA(x-1),νB(x-1)}≤max{νA(x),νB(x)}=τA∩B(x),

    因此A∩B∈IFS[G].

    2 直覺(jué)權(quán)與直覺(jué)模糊子群

    2.1 直覺(jué)權(quán)

    注:定義4中直覺(jué)權(quán)的定義與文獻(xiàn)[11]中直覺(jué)權(quán)的定義其定義方式類(lèi)似,都是從一個(gè)集合到L={(α,β)∈[0,1]×[0,1],0≤α+β≤1}上滿(mǎn)足一定條件的映射.但是定義4中映射的定義域是直覺(jué)模糊子群的集合,文獻(xiàn)[11]中映射的定義域是模糊化拓?fù)涞募?另外,模糊化拓?fù)浔举|(zhì)上也是一種映射,見(jiàn)定義5.

    定義5設(shè)J:2X→[0,1],若滿(mǎn)足

    (1)J(X)=J(?)=1;

    (2)J(A∩B)≥J(A)∧J(B);

    則稱(chēng)J為X上的模糊化拓?fù)洌?/p>

    定義6設(shè)G是經(jīng)典群,G上的一個(gè)直覺(jué)模糊子集A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈G},如果滿(mǎn)足

    (1)μA(xy)≥min{μA(x),μA(y)},νA(xy)≤max{νA(x),νA(y)},?x,y∈G;

    (2)μA(x-1)≥μA(x),νA(x-1)≤νA(x),?x∈G.

    則稱(chēng)A為G上的一個(gè)直覺(jué)模糊子群.

    從定義5、6的對(duì)比可以看出直覺(jué)模糊子群并非一個(gè)模糊化拓?fù)?

    引理1設(shè)w是G上的直覺(jué)權(quán),?H,K∈φ,若H?K,則w(H)≥w(K).

    證明?H,K∈φ,若H?K,則w(K)=w(〈H∪K〉)=inf{w(H),w(K)}≤w(H).

    設(shè)φ={H|H≤G},A為G上的直覺(jué)模糊子群,L={(α,β)∈[0,1]×[0,1],0≤α+β≤1},定義映射wA如下

    wA:φ→L,

    引理2wA為直覺(jué)權(quán).

    (1)

    (2)

    欲證(1)、(2)式相等,只需證

    事實(shí)上,對(duì)于(a):?{∪gλ}?φ, 則

    x∈〈∪gλ〉?x=xλ1…xλn,xλi∈gλi,

    對(duì)于(b):?{∪gλ}?φ,則x∈〈∪gλ〉?x=xλ1…xλn,xλi∈gλi,有

    所以,有

    所以,有

    又因?yàn)?/p>

    所以,有

    從而wA是直覺(jué)權(quán).

    2.2 直覺(jué)模糊子群

    引理3令w:φ→[0,1]×[0,1],H令則Aw={〈x,μAw(x),νAw(x)〉|x∈G}為G的直覺(jué)模糊子群.

    證明(1) 0≤μAw(x)+νAw(x)≤1(顯然).

    (2) 往證μAw(xy)≥min{μAw(x),μAw(y)}.

    同理,?K∈φ(y),使得μAw(xy)<α2,w(K)=(α2,β2),于是μAw(xy)<α1∧α2.

    (3) 往證νAw(xy)≤max{νAw(x),νAw(y)}.

    另一方面,〈H∪K〉∈φ(x)∩φ(y)?φ(xy),而

    2.3 直覺(jué)權(quán)與直覺(jué)模糊子群的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

    定理2設(shè)A是G上的直覺(jué)模糊子群,w是G上的直覺(jué)權(quán),則

    (1)wAw=w;

    (2)AwA=A.

    證明(1) ?H∈φ,往證wAw(H)=w(H).令wAw(H)=(α1,β1),w(H)=(α,β),往證α1=α,β1=β.

    對(duì)?

    ?

    (2) ?x∈G,往證AwA(x)=A(x),即證μAwA(x)=μA(x),νAwA(x)=νA(x),有

    若″<″成立,則?t∈[0,1],使得

    (3)

    令Ht={y∈G|μA(y)>t},則Ht為G的子群.

    事實(shí)上,?x,y∈Ht,則μA(x)>t,μA(y)>t.由A為G上的直覺(jué)模糊子群,則μA(xy)≥min{μA(x),μA(y)}>t,故xy∈Ht;又因?yàn)棣藺(x-1)≥μA(x)>t,故x-1∈Ht.從而Ht為G的子群.

    由(3)知x∈Ht,則Ht∈φ(x),所以,?y∈Ht,使得μA(y)t矛盾,故μAwA(x)=μA(x).同理,νAwA(x)=νA(x),故AwA=A.

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