三角模糊數(shù)去模糊化對(duì)VIKOR妥協(xié)解的影響研究

糜萬俊, 江文奇, 戴躍偉

(1.南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210094; 2.南京理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,江蘇,南京 210094)

0 引言

VIKOR法(VlseKriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje)是一種重要的多準(zhǔn)則決策方法[1]，主要利用各個(gè)備選方案的評(píng)價(jià)值與理想方案的接近程度來排列方案的順序，比理想點(diǎn)法具有更高的排序穩(wěn)定性、可信度，在質(zhì)量部件的改善[2]、裝備器材供應(yīng)商選擇[3]、供應(yīng)商選擇[4,5]等等多個(gè)領(lǐng)域。

模糊VIKOR法是近年來的研究熱點(diǎn)問題之一。文[6]提出了一種基于直覺模糊值的新評(píng)分函數(shù)和VIKOR方法，克服了現(xiàn)有評(píng)分函數(shù)、現(xiàn)有的準(zhǔn)確度函數(shù)和現(xiàn)有的IFV排序方法的缺點(diǎn)。文[7]研究了含有猶豫區(qū)間型Pythagorean模型信息的多屬性決策問題，提出了一種多階段的VIKOR方法來解決多屬性決策問題。文[8]針對(duì)屬性值為Pythagorean 不確定語言變量, 屬性權(quán)重和專家權(quán)重完全未知的群決策問題, 提出一種擴(kuò)展VIKOR多屬性群決策方法。文[9]提出相對(duì)VIKOR方法，旨在通過相對(duì)群體效用及相對(duì)個(gè)體遺憾確定一個(gè)相對(duì)最佳妥協(xié)解。文[10]針對(duì)屬性值為直覺梯形模糊數(shù)，決策者間和屬性間存在相互關(guān)聯(lián)的多屬性群決策問題，引入模糊測(cè)度和Choquet積分的概念，提出了基于誘導(dǎo)型廣義直覺梯形模糊Choquet積分算子和多準(zhǔn)則妥協(xié)優(yōu)化解的直覺梯形模糊多屬性群決策方法。文[11]將一種利用最小叉熵準(zhǔn)則集成組合權(quán)重的思想運(yùn)用到黑啟動(dòng)方案評(píng)估上，將原始屬性評(píng)價(jià)矩陣轉(zhuǎn)換為帶有決策者主觀偏好的判斷矩陣，利用VIKOR法對(duì)方案間關(guān)系進(jìn)行細(xì)致分析。文[12]針對(duì)群推薦系統(tǒng)中被推薦項(xiàng)目具有多粒度性、猶豫性、模糊性的特點(diǎn), 提出多粒度猶豫模糊語言熵的概念及計(jì)算公式，將傳統(tǒng)的多準(zhǔn)則妥協(xié)解排序法VIKOR拓展到多粒度猶豫模糊領(lǐng)域。文[13]針對(duì)備選方案的屬性值為三角直覺模糊數(shù)且權(quán)重為實(shí)數(shù)的多屬性決策問題，研究了三角直覺模糊數(shù)型VIKOR方法。文[14]針對(duì)權(quán)重未知的模糊多屬性大群體決策問題，提出基于Humming距離構(gòu)建決策者權(quán)重優(yōu)化模型，基于VIKOR框架，采用區(qū)間直覺模糊均衡交叉熵計(jì)算各方案、臨界解與理想解的空間測(cè)度并實(shí)現(xiàn)方案排序。

在模糊VIKOR方法中，群體效用值、個(gè)體遺憾值和其合成值均需要進(jìn)行模糊數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。在準(zhǔn)則值和準(zhǔn)則權(quán)重均為三角模糊數(shù)的多準(zhǔn)則決策中，可能存在某些運(yùn)算結(jié)果并不符合三角模糊數(shù)特征，進(jìn)而需要進(jìn)行去模糊化處理。論文將深入研究去模糊化的前提條件，不同的去模糊化方法獲得的清晰數(shù)值比較，提出一種基于拓展的模糊VIKOR方法并加以應(yīng)用。

1 三角模糊數(shù)去模糊化

(1)

(2)

(3)

當(dāng)a1或者b1至少一個(gè)大于零

(4)

(5)

常數(shù)可以看成三個(gè)端點(diǎn)均相等的三角模糊數(shù)，采用定義2設(shè)定的規(guī)則計(jì)算即可。如果將三角模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為清晰數(shù)，則主要有如下幾種去模糊化方法：

(6)

(7)

(8)

(2)如果采用公式(7)去模糊化(式(6)去模糊化值是式(7)的特例)，則:

數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果與上述相同。

(3)如果采用公式(8)進(jìn)行去模糊化，則:

盡管采用式(7)和(8)得到的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果與式(6)相類似，但是參數(shù)k對(duì)最終的結(jié)果產(chǎn)生影響。隨著k值的增加，三角模糊數(shù)中間值對(duì)去模糊化值影響將會(huì)越來越大。同時(shí)，在三種去模糊化方法下乘法和除法運(yùn)算規(guī)則得到的合成去模糊化結(jié)果，均不等于兩者分別去模糊化的合成值，說明在運(yùn)算中不應(yīng)該分別進(jìn)行去模糊化。

2 VIKOR法中三角模糊數(shù)去模糊化必要性

VIKOR方法是一種對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行多準(zhǔn)則決策的折衷排序方法，折衷解是所有解中最為接近理想解的可行解，是屬性間彼此讓步的結(jié)果，也是理想點(diǎn)法改進(jìn)的結(jié)果。

令v為大多數(shù)準(zhǔn)則策略的決策機(jī)制系數(shù)，v>0.5表明根據(jù)大多數(shù)人的意見決策，v=0.5表明根據(jù)贊同情況決策，v<0.5表明根據(jù)拒絕情況進(jìn)行決策。有:

不是一般性，假定依據(jù)Qi值得到排序第一和第二的方案分別為a1和a2[8]。

條件1可接受度優(yōu)勢(shì)。Q2-Q1≥1/(m-1)，m為方案數(shù)目。

條件2決策過程中可以接受的穩(wěn)定性，a1同樣是Si或Ri中排序第一的方案。

如果條件1和2均滿足，則a1為排序第一的方案。如果上述條件有1個(gè)不滿足，有：如不滿足條件2，則a1和a2均為折衷解；如果不滿足條件1，則通過Q2-Q1<1/(m-1)得到最大的M,a1,…,aM，均貼近理想方案。

從VIKOR方法步驟來看，主要有以下環(huán)節(jié)可能需要進(jìn)行去模糊化。

(1)zij值的計(jì)算。zij值的分母是準(zhǔn)則cj下每個(gè)準(zhǔn)則值的最大值與最小值的差值。盡管兩者去模糊化之后的差值一定為正數(shù)，但依據(jù)減法運(yùn)算規(guī)則，仍可能存在差值(三角模糊數(shù))中存在負(fù)數(shù)的情形。例如：針對(duì)某個(gè)準(zhǔn)則，其最大和最小的準(zhǔn)則值分別為(0.5,0.8,0.9)和(0.4,0.6,0.7)，則兩者的差值為(-0.2,0.2,0.5)。如果直接采用式(5)的除法規(guī)則，會(huì)導(dǎo)致得到的三角數(shù)的右端點(diǎn)值小于左端點(diǎn)的值，不符合三角模糊數(shù)的本質(zhì)特征(三個(gè)端點(diǎn)值逐步增加)。

(2)Qi值的計(jì)算。按照判斷妥協(xié)解的條件1要求，需計(jì)算排序第一位和第二位方案Qi值的差值，故需要對(duì)每個(gè)模糊Qi值進(jìn)行去模糊化，才能獲得差值并判斷是否滿足條件1。

3 去模糊化對(duì)VIKOR妥協(xié)解的影響

對(duì)zij值而言，如其分母(三角模糊數(shù))的值均為正數(shù)，令：zij=(a,b,c)/(d,e,f)。

如果采用式(6)進(jìn)行去模糊化，去模糊化的值分別為：

如果采用式(7)和式(8)進(jìn)行去模糊化，上述兩種情形下的計(jì)算結(jié)果均分別為:

采用三種去模糊化方法對(duì)兩種情形下的zij值進(jìn)行去模糊化的結(jié)果表明：

(1)在兩種情形下，采用不同的去模糊化方法得到的結(jié)果是不同的。第二種和第三種方法更加注重三角模糊數(shù)中間值對(duì)去模糊化的值影響，隨著k值的增加，影響越來越大。情形1下如果a,b,c且d,e,f接近，情形2下如果a/f,b/e,c/a接近，則采取三種方法得到的清晰數(shù)接近，可以采取任何一種方法去模糊化。

(2)針對(duì)同一種去模糊化方法，兩種情形下得到的清晰數(shù)存在一定的差異，如果差異較大，則可能對(duì)群體效用值和個(gè)體遺憾值產(chǎn)生影響。即如果僅僅對(duì)部分準(zhǔn)則下zij的分母去模糊化，則該準(zhǔn)則下zij的值發(fā)生變化，進(jìn)而造成合成值(群體效用值和個(gè)體遺憾值)發(fā)生變化，間接對(duì)Qi值產(chǎn)生影響，造成妥協(xié)解的改變。

于是，基于VIKOR方法的多準(zhǔn)則決策過程可以描述為：

步驟1針對(duì)第三節(jié)的模糊多準(zhǔn)則決策矩陣，由于量綱不同，需要進(jìn)行無量綱化處理。

對(duì)權(quán)重歸一化，有

步驟2確定正負(fù)理想方案。依據(jù)三角模糊數(shù)可能度公式，即:

(9)

分別比較各個(gè)準(zhǔn)則下準(zhǔn)則值之間的可能度，確定f*,f-。

步驟5按照第三節(jié)提供的Qi值計(jì)算公式計(jì)算Qi。如果計(jì)算Qi過程中遇見和zij值計(jì)算相同的情形，則按照步驟3 的方式進(jìn)行計(jì)算。

步驟6基于第三節(jié)提出的兩個(gè)條件和Qi值確定妥協(xié)解。

4 實(shí)例分析

某風(fēng)險(xiǎn)投資企業(yè)致力于尋求合適的設(shè)備風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目，現(xiàn)有4個(gè)備選方案，考慮的準(zhǔn)則主要有環(huán)境影響c1、預(yù)期收益c2、成長(zhǎng)性c3、社會(huì)效益c4，第一個(gè)準(zhǔn)則為成本型準(zhǔn)則，其他均為效益型準(zhǔn)則。決策矩陣分別見表1。

表1 多準(zhǔn)則決策矩陣

步驟1對(duì)上述三個(gè)決策矩陣進(jìn)行無量綱化處理，見表2。

表2 多準(zhǔn)則決策矩陣無量綱化表

假定四個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重分別為(0.2,0.3,0.4)，(0.6,0.7,0.8)，(0.3,0.4,0.5)和(0.4,0.5,0.6)。歸一化值分為(0.087,0.158,0.267)，(0.261,0.368,0.533)，(0.130,0.211,0.333)和(0.174,0.263,0.400)。

步驟2按照可能度公式，選出正負(fù)理想解，分別為：

正理想解(0.738,0.951,1.000)，(0.968,1.000,1.000)，(0.768,1.000,1.000)，(0.750,1.000,1.000)

負(fù)理想解(0.660,0.848,0.977)，(0.894,-0.935,0.989)，(0.549,0.691,1.000)，(0.250,0.500,0.667)

表表

表4 zij值

采用式(6)對(duì)其進(jìn)行去模糊化的值見表5。

表5 zij值的去模糊化結(jié)果

表6 VIKOR中

步驟6采用式(6)方式去模糊化，得到a3,a2均為妥協(xié)解。如果采取式(7)進(jìn)行去模糊化，則從k=1開始，Q2-Q1值分別為0.128，0.38，0518，0.616等，逐步增加，此時(shí)妥協(xié)解為a2。如果采取式(8)的方法，則從k=2開始，Q2-Q1值分別為0.216，0.438，0.576，0.66等，值仍然逐步增加，妥協(xié)解為a2。

5 結(jié)論

VIKOR方法中的三角模糊數(shù)運(yùn)算是核心，是獲得群體效用值和個(gè)體遺憾值以及妥協(xié)解的必須環(huán)節(jié)。由于三角模糊數(shù)的合成運(yùn)算并非滿足運(yùn)算規(guī)則，因此論文重點(diǎn)分析了三角模糊數(shù)去模糊化的前提條件和如何選擇合適的去模糊化方法，并給出了一種拓展的VIKOR方法解決含有三角模糊數(shù)的多準(zhǔn)則決策問題，案例驗(yàn)證了本文的分析結(jié)果。