一類(lèi)無(wú)限維Lie代數(shù)的不可約模

姚廷富,吳宗顯,施妮沙,戴先勝

(1.貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng) 550005;2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng) 550001)

研究無(wú)限維Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示是當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容.研究一個(gè)無(wú)限維Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu),討論其表示即模,是Lie代數(shù)的主要研究課題. 文獻(xiàn)[1-4]討論了幾類(lèi)無(wú)限維Lie(超)代數(shù)的結(jié)構(gòu)與相關(guān)導(dǎo)子.文獻(xiàn)[5]利用Lie代數(shù)模表示的性質(zhì)及誘導(dǎo)模給出了Cartan型Lie代數(shù)W(1,1)的不可約限制模只有p個(gè)同構(gòu)類(lèi),同時(shí)給出了不可約限制模的具體形式.文獻(xiàn)[6]利用廣義限制Lie代數(shù)的概念和性質(zhì)，研究Cartan型Lie代數(shù)L的不可約表示,給出了特征標(biāo)高度h(2≤h

1 Lie代數(shù)(G，[,])的基本知識(shí)

定義1[9]設(shè)L為域F上的Lie代數(shù),V為域F上的向量空間,V被賦予一個(gè)運(yùn)算L×V→V(記為(x,v)x·v)后,?x,y∈L；?v,w∈V；?a,b∈F.如果條件(i)～(iii)成立,則V被稱(chēng)為域F上的一個(gè)L-模.

(i) (ax+by)·v=a(x·v)+b(y·v);

(ii)x·(av+bw)=a(x·v)+b(x·w);

(iii) [x,y]·v=x·y·v-y·x·v.

定義2[9]一個(gè)L-模V,如果它只有兩個(gè)子模,則稱(chēng)L-模V為不可約的.

定義3設(shè)為復(fù)數(shù)域,G為集合且

當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的i,ai=bi.

對(duì)α,β∈,定義

顯然G成為一個(gè)線(xiàn)性空間.

引理1[8]設(shè)G為定義3所述,括積運(yùn)算如下

則(G，[,])成為上的Lie代數(shù).

2 Lie代數(shù)(G，[,])的不可約模

命題1[8]設(shè)λ∈,令V=span{vi|i≥0}為可數(shù)無(wú)限維線(xiàn)性空間具有一組基{vi|i∈,i≥0}.對(duì)

定義

其中：對(duì)任意的a,b∈,二項(xiàng)式系數(shù)的一般定義為

則V是一個(gè)G-模.

命題2設(shè)λ∈,(G，[,])為引理1所述,V、G如命題1所述,則

(i)V必定是一個(gè)忠實(shí)的G-模；

(ii)V為不可約的G-模的充要條件是λ≠0.

證明(i) 對(duì)任意的

對(duì)V的任一基元vj(j≥0),有

定義了G在V中的作用,且使V成為一個(gè)G-模.定義

其中：φ(g)(vk)=g·vk，vk是V的任一基元，gl(V)是V上的線(xiàn)性L(fǎng)ie代數(shù).

則φ是G的一個(gè)表示.下面證明φ是單射，從而φ是G的一個(gè)忠實(shí)表示,即V是一個(gè)忠實(shí)的G-模.

事實(shí)上,設(shè)φ(g)=φ(h),則對(duì)V的任一基元vk(k≥0),有

φ(g)(vk)=φ(h)(vk),

即g·vk=h·vk，也即

比較系數(shù),得ai=bi，-1≤i≤k.由于k的任意性,得ai=bi，?i≥-1.故g=h，即證得φ是單射.

(ii) 先證必要性.采用反證法.設(shè)V為不可約的G-模,則必有λ≠0.若不然,λ=0，對(duì)任意的

固定一個(gè)非負(fù)整數(shù)j,有

a-1vj+1+a0jvj+a1j(j-1)vj-1+…+aj-1j!v1.

注意到g作用到V的基元vj(j≥0)后，不再含有基元v0.

令U=span{vi|i∈,i≥1},則U不含有基元v0，且由上述作用看出,g·U?U,故U是V的真子G-模,與V為不可約的G-模矛盾.因此，若V為不可約的G-模,則必有λ≠0.

因?yàn)閷?duì)任意的

對(duì)V的任一基元vj(j≥0),有

取gs=asXs∈G，as≠0,有

由ks≠0，有

又由asλ(s+1)!≠0，有

v0∈V1.

另取g-1=a-1X-1∈G，a-1≠0,有

g-1·v0=a-1v1∈V1?v1∈V1,

g-1·v1=a-1v2∈V1?v2∈V1,

?

g-1·vk-1=a-1vk，k=1,2,3,….

由數(shù)學(xué)歸納法知,v0,v1,v2,…,vk,…均屬于V1,即V的所有基元均屬于V1,即V1=V.即證得由λ≠0推得V是不可約的G-模.證畢.

3 結(jié)束語(yǔ)

從命題2的結(jié)果看出,無(wú)限維Lie代數(shù)G可以在可數(shù)基的線(xiàn)性空間V存在一個(gè)忠實(shí)表示,即忠實(shí)模,給出此模為不可約模的一個(gè)充要條件,為研究無(wú)限維Lie代數(shù)G及其子代數(shù)的性質(zhì)與表示提供了有益的啟示.