基于角域AR模型濾波的滾動(dòng)軸承故障診斷*

程衛(wèi)東， 劉東東， 趙德尊

(北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院 北京，100044)

引 言

變轉(zhuǎn)速工況下滾動(dòng)軸承的故障診斷需要消除轉(zhuǎn)速變化對振動(dòng)信號的影響[1]，消除轉(zhuǎn)速變化常使用階比跟蹤技術(shù)，將時(shí)域信號轉(zhuǎn)化為角域信號[2-3]。階比跟蹤過程中需要轉(zhuǎn)速信息，有兩種方式獲得轉(zhuǎn)速[4]：a.通過轉(zhuǎn)速計(jì)等硬件設(shè)備直接測?。籦.在振動(dòng)信號中提取。由于在實(shí)際工況中受到安裝成本以及安裝空間的限制，從振動(dòng)信號中提取轉(zhuǎn)速引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[5]利用帶通濾波獲取轉(zhuǎn)頻特定的諧波成分后再進(jìn)行相位解調(diào)對瞬時(shí)轉(zhuǎn)頻進(jìn)行估計(jì)，該方法雖然有效，但僅適合轉(zhuǎn)速在小范圍內(nèi)波動(dòng)的工況。文獻(xiàn)[6]使用短時(shí)傅里葉變換(short time Fourier transform, 簡稱STFT)變換與 Viterbi 擬合算法相結(jié)合估計(jì)變轉(zhuǎn)速模式下的振動(dòng)信號瞬時(shí)轉(zhuǎn)頻。文獻(xiàn)[7]根據(jù)經(jīng)STFT變換的時(shí)頻分析結(jié)果，利用峰值搜索算法對變轉(zhuǎn)速運(yùn)行機(jī)械的瞬時(shí)轉(zhuǎn)頻進(jìn)行估計(jì)。然而，在齒輪噪源影響下，軸承的轉(zhuǎn)速分量相對較小，依靠上述算法在混合信號中提取轉(zhuǎn)速信息很困難。

文獻(xiàn)[8-9]提出以故障特征頻率(fault characteristic frequency, 簡稱FCF)代替轉(zhuǎn)頻對振動(dòng)信號進(jìn)行角域重采樣，這是因?yàn)镕CF在時(shí)頻域中表現(xiàn)出明顯的峰值，提取FCF相對于轉(zhuǎn)頻容易。基于FCF角域重采樣的原理是先對FCF趨勢線積分，然后根據(jù)積分曲線求得轉(zhuǎn)過等角度間隔時(shí)的時(shí)間點(diǎn)，從時(shí)域信號中獲得各時(shí)間點(diǎn)的峰值。然而，基于FCF的階比分析存在不足之處。首先，在信噪比比較低的情況下，作為參考量的較小轉(zhuǎn)頻分量會被噪聲淹沒，導(dǎo)致基于FCF的階比分析不能確定故障發(fā)生的位置；其次，在齒輪噪聲存在的情況下，這種方法可能會出現(xiàn)誤判。

齒輪噪源干擾下軸承轉(zhuǎn)頻分量提取困難并且以FCF代替轉(zhuǎn)頻進(jìn)行階比分析具有不足之處，因此，有必要尋找一種新的易提取的頻率成分來彌補(bǔ)以上不足。齒輪噪源干擾下的振動(dòng)信號中雖然轉(zhuǎn)頻分量相對較小，但是齒輪嚙合頻率的幅值很大，并且嚙合頻率與轉(zhuǎn)頻存在倍數(shù)關(guān)系。因此，如果能從振動(dòng)信號中提取齒輪的嚙合頻率便可以估計(jì)轉(zhuǎn)頻。近年來, 文獻(xiàn)[10]提出了線調(diào)頻小波路徑追蹤(chirplet path pursuit, 簡稱CPP)算法，可以提取復(fù)雜信號中的瞬時(shí)頻率，并且已經(jīng)開始應(yīng)用于機(jī)械故障診斷中[11]。使用CPP算法可以從時(shí)域信號中提取峰值最大的瞬時(shí)頻率趨勢線，而齒輪瞬時(shí)嚙合頻率(gear instantaneous meshing frequency, 簡稱GIMF)在時(shí)域中具有高幅值的特點(diǎn)，所以，可以利用CPP算法從時(shí)域信號中提取GIMF趨勢線。因此，可以直接在時(shí)域信號中提取GIMF趨勢線，然后根據(jù) GIMF與轉(zhuǎn)頻關(guān)系估計(jì)轉(zhuǎn)頻，利用估計(jì)轉(zhuǎn)頻對原信號進(jìn)行等角度重采樣，獲得角域信號。

齒輪噪聲的去除也是軸承故障診斷中非常棘手的問題。文獻(xiàn)[12]指出周期與隨機(jī)量分離算法要求保證軸承的轉(zhuǎn)速不存在波動(dòng)。張西寧等[13]運(yùn)用同步平均的方法對信號進(jìn)行處理，當(dāng)軸承轉(zhuǎn)速發(fā)生變化時(shí)，同步平均不能完全去除齒輪嚙合、不對中產(chǎn)生的噪聲成分。文獻(xiàn)[14]利用AR模型去除恒轉(zhuǎn)速下混合信號的可線性預(yù)測的周期平穩(wěn)成分，但是AR模型對去除信號成分的周期性要求很嚴(yán)格，在變轉(zhuǎn)速工況下，齒輪嚙合頻率及其諧波失去了周期性。AR模型對去除信號的周期性要求很嚴(yán)格，但是齒輪噪聲成分在經(jīng)過估計(jì)轉(zhuǎn)頻重采樣的角域信號中恢復(fù)了其周期性，因此，可以使用AR模型去除角域信號中的齒輪噪聲成分。

鑒于此，提出了不依靠轉(zhuǎn)速計(jì)等輔助設(shè)備的基于角域AR模型濾波處理方法。首先，使用線調(diào)頻小波路徑追蹤算法提取降采樣處理的混合信號中GIMF趨勢線并估計(jì)轉(zhuǎn)速；其次，根據(jù)估計(jì)轉(zhuǎn)速對原混合信號進(jìn)行等角度重采樣，并利用角域信號中齒輪嚙合振動(dòng)成分具有周期性的特點(diǎn)使用AR模型對其濾波；最后，對濾波后信號進(jìn)行Hilbert變換和快速傅里葉變換(fast Fourier transform, 簡稱FFT)得到階比譜，完成故障判斷。

1 算法部分

1.1 線調(diào)頻小波路徑追蹤算法

線調(diào)頻小波路徑追蹤是利用一系列的瞬時(shí)頻率為線性變化的chirplet原子，在整個(gè)時(shí)間長度上通過最佳路徑連接的算法逐一連接，從而提取分析信號的瞬時(shí)頻率。其具體算法如下。

建立chirplet原子庫

hI(t)=|I|-1/2e-i(aμt2/2+bμt)LI(t)

(1)

其中：I為動(dòng)態(tài)支撐區(qū)間，I=[kN2-j,(k+1)N2-j]×Δt；k為動(dòng)態(tài)區(qū)間的序號，k=0,1,…,2j-1；N為分析信號的采樣點(diǎn)數(shù)；j為動(dòng)態(tài)支撐區(qū)間的尺度系數(shù)，j=0,1,…,log2N-5；LI(t)為矩形窗函數(shù)(即t∈I時(shí)，LI(t)=1；t?I時(shí)，LI(t)=0)；aμ為調(diào)頻率系數(shù)；bμ為頻率偏置系數(shù)；aμt+bμ為動(dòng)態(tài)支撐區(qū)間內(nèi)瞬時(shí)頻率，應(yīng)小于fs/2。

定義分析信號為信號與所有原子的內(nèi)積，即

(2)

其中：Δt為采樣時(shí)間間隔；n為t時(shí)刻采樣點(diǎn)數(shù)。

在原子庫中尋找一組原子連接，使分析信號在時(shí)間支撐區(qū)域上有最大的投影系數(shù)。支撐區(qū)間內(nèi)最大投影系數(shù)為

(3)

定義最大投影系數(shù)kI在時(shí)間支撐區(qū)I內(nèi)代表的信號分量為dI(t)，得

dI(t)=|kI|e-i(at2/2+bt)LI(t)

(4)

連接最大投影系數(shù)kI，使得信號分量dI(t)信號具有最大的總能量，即

(5)

其中：Π應(yīng)覆蓋整個(gè)時(shí)間長度且不重疊。

由此獲得最佳路徑連接算法如下。

1) 初始化 取e(i)=0，pred(i)=0。其中：e(i)為i-1個(gè)動(dòng)態(tài)時(shí)間支撐區(qū)的最大投影系數(shù)對應(yīng)的總能量和；pred(i)為連接到第i個(gè)動(dòng)態(tài)時(shí)間支撐區(qū)的前置支撐區(qū)的序號。

2) 對動(dòng)態(tài)時(shí)間支撐區(qū)集合{Ii|i∈z}，找到與其相鄰的下一個(gè)動(dòng)態(tài)時(shí)間支撐區(qū)集合{Ik|k∈z}，若

e(i)+d(i)>e(k)

(6)

則令

(7)

該連接方法能確?；瘮?shù)的組合與分析信號的相似度最高，而動(dòng)態(tài)支撐區(qū)Π內(nèi)的瞬時(shí)頻率為aμt+bμ(ti∈Ii)，線性連接各個(gè)支撐區(qū)的瞬時(shí)頻率就獲得了分析信號的瞬時(shí)頻率。

1.2 基于GIMF趨勢線的等角度重采樣算法

利用CPP算法從振動(dòng)信號中提取GIMF趨勢線，根據(jù)GIMF與轉(zhuǎn)速成齒數(shù)倍關(guān)系，可以估計(jì)出與齒輪同軸的軸承轉(zhuǎn)頻?；贕IMF趨勢線的等角度重采樣算法的具體算法如下。

1) 利用CPP算法提取GIMF趨勢線，利用三次多項(xiàng)式對其進(jìn)行擬合并估計(jì)轉(zhuǎn)頻

f(t)=at3+bt2+ct+d

(8)

fr(t)=f(t)/z=(at3+bt2+ct+d)/z

(9)

其中：f(t)為GIMF；fr(t)為估計(jì)轉(zhuǎn)頻；z為齒輪的齒數(shù)。

2) 確定階比分析的最大階次Dmax以及對應(yīng)的等角度采樣時(shí)的角增量Δθ

(10)

3) 計(jì)算等角度重采樣的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N

(11)

其中：T為信號采集時(shí)間；Δθ為角域采樣間隔。

4) 計(jì)算等角度重采樣的鑒相時(shí)標(biāo)Tn

(12)

其中：T0為采樣起點(diǎn)；n= 0,1,… ,N。

5) 以振動(dòng)信號的時(shí)域采樣點(diǎn)為基礎(chǔ)，利用Lagrange線性插值定理計(jì)算鑒相時(shí)標(biāo)Tn處對應(yīng)的幅值以完成基于GIMF的等角度重采樣算法

(ti≤Tn≤ti+1)

(13)

1.3 齒輪噪聲消除的AR模型算法

線性預(yù)測是一種基于AR模型的預(yù)測方法，其自回歸特性體現(xiàn)在當(dāng)前的輸出是當(dāng)前的輸入與過去的一部分輸出的加權(quán)和，因此可以對信號進(jìn)行預(yù)測。

設(shè)x是長度為N的零均值平穩(wěn)信號序列，p為AR模型的階數(shù)，則x的AR模型可以表示為

(14)

(15)

在線性預(yù)測過程中的一個(gè)關(guān)鍵問題是AR模型階次p的選取，過高過或過低的模型階數(shù)將直接影響到預(yù)測結(jié)果的效用。

在滾動(dòng)軸承的故障診斷中，線性預(yù)測被用于剝離混合信號中的周期成分。因峭度指標(biāo)對信號沖擊成分的高度敏感性，這里使用基于峭度值最大的AR模型定階準(zhǔn)則

(16)

當(dāng)殘余信號的峭度值達(dá)到最大值時(shí)，返回的AR模型階次k即為線性預(yù)測濾波器的最優(yōu)階次。

2 基于角域AR模型濾波的診斷方法

當(dāng)滾動(dòng)軸承出現(xiàn)凹坑或裂紋時(shí)，故障點(diǎn)與其接觸點(diǎn)會產(chǎn)生沖擊，由于系統(tǒng)的衰減特性，形成高幅值而快速衰減的沖擊響應(yīng)[15]。根據(jù)軸承結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)便可以得到故障特征系數(shù)(fault characteristic coefficient, 簡稱FCC)

其中：fo，fi和fb分別為外圈、內(nèi)圈和滾動(dòng)體的故障特征頻率；fr為軸承轉(zhuǎn)頻；N為滾動(dòng)體個(gè)數(shù)；d為滾動(dòng)體直徑；D為節(jié)圓直徑；φ為接觸角。

由式(17)，(18)和(19)可以看出，F(xiàn)CF與轉(zhuǎn)頻存在著固定的倍數(shù)關(guān)系，比值為FCC。因此，以軸承的轉(zhuǎn)速為基準(zhǔn)對信號進(jìn)行等角度重采樣，再做包絡(luò)階比譜分析，會在橫坐標(biāo)FCC以及倍數(shù)處出現(xiàn)峰值。然而，在齒輪噪源和變轉(zhuǎn)速雙重干擾下的振動(dòng)信號中，軸承的轉(zhuǎn)速分量相對較小，直接提取困難。相反，GIMF具有較大峰值，提取容易。GIMF與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系為

fm=frz

(20)

其中：fm為齒輪嚙合頻率；fr為齒輪所在軸的轉(zhuǎn)速；z為該齒輪的齒數(shù)。

由式(20)可以看出，齒輪的GIMF和與齒輪同軸的軸承轉(zhuǎn)速成整齒數(shù)倍關(guān)系，通過提取GIMF趨勢線，便可以估計(jì)此軸的轉(zhuǎn)頻。使用基于GIMF趨勢線的等角度重采樣算法對振動(dòng)信號進(jìn)行處理便獲得角域信號。由于在角域信號中齒輪嚙合頻率及其諧波，屬于確定性周期信號，因此，使用AR模型可以剝離振動(dòng)信號中的GIMF。

鑒于此，提出了基于角域AR模型濾波的滾動(dòng)軸承的故障處理方法如下：

1) 對混合信號進(jìn)行降采樣，使用CPP算法提取降采樣處理的混合信號中的GIMF趨勢線；

2) 分析軸承轉(zhuǎn)速與齒輪GIMF的關(guān)系，根據(jù)GIMF趨勢線估計(jì)轉(zhuǎn)速曲線；

3) 根據(jù)估計(jì)轉(zhuǎn)頻對原混合信號進(jìn)行等角度重采樣，并使用AR模型對其濾波，獲得去除齒輪噪聲的濾波后信號；

4) 對濾波后信號進(jìn)行Hilbert變換和FFT變換得到階比譜，完成故障判斷。

方法流程圖如圖1所示。

圖1 基于角域AR模型的故障處理方法流程圖Fig.1 Flow chart of bearing fault diagnosis based on AR model filtering in angle domain

3 仿真信號分析

為了驗(yàn)證筆者提出方法的有效性，對滾動(dòng)軸承的仿真信號進(jìn)行分析。模擬滾動(dòng)軸承的外圈出現(xiàn)故障，故障特征系數(shù)C0=5，滾動(dòng)軸承的轉(zhuǎn)速如圖2所示，隨時(shí)間成線性變化

v(t)=10t+5

(21)

圖2 仿真信號轉(zhuǎn)頻與偽IFCF趨勢線Fig.2 Simulation signal rotating frequency and false IFCF

軸承轉(zhuǎn)過角度與時(shí)間之間的關(guān)系為

(22)

其中：θi=i/C0(i=1,2,…,k)。

由以上兩個(gè)公式可以求得每個(gè)沖擊對應(yīng)的時(shí)標(biāo)Ti。該混合信號主要由故障軸承的沖擊成分xbearing、齒輪嚙合振動(dòng)產(chǎn)生信號成分xgear和白噪聲成分n(t)三部分構(gòu)成，如式(23)所示

x(t)=xbearing+xgear+n(t)

(23)

筆者改進(jìn)了勻轉(zhuǎn)速工況下滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號的仿真模型[16]，構(gòu)造轉(zhuǎn)速變化工況下故障滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號的仿真模型

(24)

其中：Ai為第i個(gè)沖擊的幅值，簡化該幅值與時(shí)間成線性關(guān)系；fr為共振頻率；φω為初相角，設(shè)置為0；λ為滑移常數(shù)，參考軸承轉(zhuǎn)速的時(shí)間浮動(dòng)進(jìn)行定義。

齒輪振動(dòng)信號的仿真模型為

(25)

其中：Am為m倍齒輪嚙合頻率的幅值；fz(t)為齒輪轉(zhuǎn)頻隨時(shí)間變化規(guī)律；φm為信號的初相角，設(shè)定為0；Z為齒數(shù)。

齒輪箱主動(dòng)輪和故障軸承同軸，其參數(shù)設(shè)定如表1所示。

表1 仿真模型參數(shù)

為了驗(yàn)證前面所指出的基于FCF的階比跟蹤的不足，根據(jù)式(23)建立仿真模型，設(shè)置軸承的振動(dòng)信號xbearing=0。根據(jù)表1參數(shù)得到如圖3所示的時(shí)域波形圖。使用基于FCF的階比跟蹤算法得到如圖4所示的階比譜，階比譜中在1階處出現(xiàn)峰值，然而，信號中并無軸承的振動(dòng)信號成分。這是因?yàn)殡m然軸承未發(fā)生故障，但是在包絡(luò)時(shí)頻圖中有齒輪嚙合頻率成分，而且僅在時(shí)頻圖中無法判定此頻率成分為GIMF還是FCF, 如果提取GIMF趨勢線對信號進(jìn)行角域重采樣便會出現(xiàn)這種情況。因此，基于FCF的階比跟蹤算法可能會出現(xiàn)誤判。

圖3 正常軸承的仿真信號時(shí)域波形圖Fig.3 Simulated signal of healthy bearing in time domain

圖4 故障特征階比譜Fig.4 Order spectrum of fault feature

為了驗(yàn)證算法的有效性，根據(jù)表1參數(shù)建立的仿真模型得到如圖5 所示時(shí)域波形圖。圖6給出了譜峭度圖，從譜峭度圖中看出，最大峭度值出現(xiàn)在尺度為7、中心頻率為1 191 Hz處，而不是在設(shè)置中心頻率為2 kHz(共振頻率)處，這也直觀反應(yīng)了齒輪噪源干擾著共振頻帶的獲取。為了提高CPP算法處理的效率，先對仿真信號降采樣，然后使用CPP算法提取齒輪GIMF趨勢線，根據(jù)GIMF估計(jì)轉(zhuǎn)頻，如圖7所示。通過對比發(fā)現(xiàn)，估計(jì)轉(zhuǎn)頻與實(shí)際轉(zhuǎn)頻曲線基本吻合。根據(jù)估計(jì)轉(zhuǎn)頻對原信號進(jìn)行等角度重采樣，然后利用AR模型對角域信號進(jìn)行濾波，得到如圖8所示的濾波后信號。對濾波后信號進(jìn)行Hilbert變換和FFT變換得到如圖9所示的階比譜，在階比譜中階比no=5.029處出現(xiàn)明顯的峰值，與仿真信號的Co=5對應(yīng)，由此可以判斷軸承的外圈出現(xiàn)故障。

圖5 仿真信號時(shí)域波形圖Fig.5 Simulated signal in time domain

圖6 仿真信號譜峭度圖Fig.6 Simulation signal spectrum kurtogram

圖7 仿真信號轉(zhuǎn)頻與等效轉(zhuǎn)頻Fig.7 Rotating frequency and equivalent rotating frequency

圖8 仿真信號的濾波信號Fig.8 Filtering signal of the simulated signal

圖9 仿真信號階比譜Fig.9 Order spectrum of simulated signal

4 實(shí)測信號驗(yàn)證

利用如圖10所示的實(shí)驗(yàn)臺測得的外圈故障滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號對本算法進(jìn)一步加以驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)軸承的參數(shù)如表2所示。

采集系統(tǒng)的采樣率為24 kHz，截取時(shí)間段為2 s的數(shù)據(jù)。圖11，12分別給出了時(shí)域波形圖和譜峭度圖。從譜峭度圖中看出最大峭度值出現(xiàn)在尺度為

圖10 試驗(yàn)臺結(jié)構(gòu) Fig.10 Expcrimcntal set-up of the test rig

表2 滾動(dòng)軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖11 外圈故障滾動(dòng)軸承信號時(shí)域波形圖Fig.11 Outer faulty bearing signal in time domain

圖12 外圈故障滾動(dòng)軸承信號譜峭度Fig.12 Outer faulty bearing signal spectrum kurtogram

7、中心頻率為2 390 Hz處，而不是在中心頻率為6 kHz(共振頻率)處。先對混合信號降采樣，然后使用CPP算法提取GIMF趨勢線，利用GIMF與軸承轉(zhuǎn)速的關(guān)系，得到如圖13所示的估計(jì)轉(zhuǎn)頻。根據(jù)估計(jì)轉(zhuǎn)頻對原信號進(jìn)行等角度重采樣，再利用AR模型對角域信號進(jìn)行濾波，得到如14圖所示的濾波后信號。對濾波后信號進(jìn)行Hilbert變換和FFT變換得到如15圖所示階比譜，在階比譜中階比no=3.579處出現(xiàn)明顯的峰值，正好與Co=3.58對應(yīng)，由此可以判斷軸承的外圈出現(xiàn)故障。

圖13 外圈故障滾動(dòng)軸承信號轉(zhuǎn)頻與等效轉(zhuǎn)頻Fig.13 Rotating frequency and equivalent rotating frequency

圖14 外圈故障滾動(dòng)軸承信號的濾波信號Fig.14 Filtering signal of outer faulty bearing signal

圖15 外圈故障滾動(dòng)軸承信號階比譜Fig.15 Order spectrum of outer faulty bearing signal

5 結(jié) 論

1) 使用CPP算法提取降采樣處理的齒輪噪源干擾下的振動(dòng)信號的GIMF趨勢線，并利用GIMF估計(jì)轉(zhuǎn)頻，根據(jù)估計(jì)轉(zhuǎn)頻對原混合信號進(jìn)行等角度重采樣，實(shí)現(xiàn)了時(shí)域信號到角域信號的轉(zhuǎn)變。

2) 通過重采樣恢復(fù)了齒輪嚙合振動(dòng)成分的周期性，使用AR模型可以濾除角域信號的齒輪嚙合頻率及其倍頻成分。

3) 仿真信號和實(shí)測信號證明了使用GIMF趨勢線估計(jì)轉(zhuǎn)頻的可行性，以及使用AR模型對角域信號濾波的有效性。

參 考 文 獻(xiàn)

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