考慮磁儲能變化的PMSM飽和諧波模型

曹博書 ，宋 劍 ，陳 斌

（1.中國民航大學(xué)飛行技術(shù)學(xué)院，天津 300300；2.中國南方航空股份有限公司機(jī)務(wù)工程部，廣州 510470）

永磁同步電機(jī)（PMSM，permanent magnet synchronous motor）體積小、重量輕、功率大，具有良好的短時(shí)過載性能，因此在舵機(jī)和操縱負(fù)荷系統(tǒng)等低速大扭矩領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1]。但在重載情況下交直軸電感飽和，交直軸磁路之間產(chǎn)生耦合效應(yīng)，磁路飽和磁阻增大導(dǎo)致永磁體退磁；同時(shí)，齒槽效應(yīng)導(dǎo)致磁阻變化、改變磁場諧波分布及電機(jī)齒槽位置磁儲能大小，使得經(jīng)典的dq軸電機(jī)模型不能反映電機(jī)重載情況下的電磁轉(zhuǎn)矩特性。因此，建立一種重載情況下考慮磁儲能變化的飽和諧波模型，對研究脈動轉(zhuǎn)矩特性，特別是不考慮溫升效應(yīng)的短時(shí)過載特性具有重要意義。

目前，電機(jī)飽和模型的研究主要是利用凍結(jié)磁導(dǎo)率法，在凍結(jié)電機(jī)某一運(yùn)行狀態(tài)的鐵心磁導(dǎo)率和磁場分布前提下，分別計(jì)算轉(zhuǎn)子永磁體、交直軸電流單獨(dú)作用時(shí)的磁場。由此計(jì)算出對應(yīng)的電感值，該方法雖然能較為準(zhǔn)確地提取交直軸飽和自感和互感參數(shù)，但沒有考慮磁路飽和磁阻增大對永磁體的影響。作為永磁電機(jī)的重要參數(shù)，永磁體隨著磁路磁阻增大而退磁，即永磁體等效激磁電流隨磁路飽和而減小，同時(shí)由于飽和時(shí)交直軸之間存在耦合效應(yīng)，重載時(shí)永磁體在交直軸均激發(fā)磁場，因此飽和情況下還存在交軸等效激磁電流[2-5]。文獻(xiàn)[6-7]考慮了交直軸飽和電感和永磁體磁場諧波，但為了簡化模型忽略了定子繞組磁場諧波，實(shí)際上電機(jī)重載時(shí)定子繞組磁場諧波對轉(zhuǎn)矩諧波的影響遠(yuǎn)大于永磁體磁場諧波對轉(zhuǎn)矩諧波的影響。

根據(jù)電磁能量轉(zhuǎn)換原理，考慮磁飽和、永磁退磁與定子繞組磁場諧波效應(yīng)，推導(dǎo)完善考慮磁儲能變化的反電動勢和電磁轉(zhuǎn)矩諧波計(jì)算公式。以一臺內(nèi)埋式永磁同步電機(jī)為例，利用有限元法，提取不同交直軸電流情況下的電磁參數(shù)，在Matlab仿真平臺建立電機(jī)數(shù)學(xué)模型并導(dǎo)入相關(guān)參數(shù)。通過仿真實(shí)驗(yàn)與有限元分析對比，證明該模型提高了電機(jī)在重載情況下反電動勢和轉(zhuǎn)矩的諧波特性模擬程度。

1 磁儲能變化的PMSM飽和諧波模型推導(dǎo)

考慮諧波效應(yīng)的PMSM定子側(cè)電機(jī)磁鏈模型為

雖然齒槽效應(yīng)為氣隙磁導(dǎo)率周期變化導(dǎo)致的電感諧波，但為了便于公式推導(dǎo)，將氣隙磁鏈諧波分量單獨(dú)設(shè)為一項(xiàng)。由此，式（1）中：LABC0為三相繞組電感基波分量矩陣；IABC、ψf0ABC和ψk分別為定子電流矢量、永磁體磁鏈基波在三相繞組的分量和k次磁鏈諧波幅值，其中 k=2n+1，n=1，2，…；θe為轉(zhuǎn)子電角度。由于齒槽位置磁阻差異較大，且隨著交直軸電流不同，合成磁場相位也會偏離轉(zhuǎn)子永磁體基波磁場相位，因此，不能簡單地認(rèn)為諧波磁鏈和永磁體轉(zhuǎn)子的基波磁場具有相同相位。定義θk0反映k次諧波磁鏈偏離轉(zhuǎn)子永磁體位置的情況，磁鏈諧波是轉(zhuǎn)子永磁材料和定子電流共同作用的結(jié)果，定子電流不同，θk0值不同。

對式（1）進(jìn)行dq變換，得到轉(zhuǎn)子側(cè)磁鏈模型為

其中：n=1，2，…，由于式（1）中 k 為3 的倍數(shù)的磁鏈諧波dq變換后為0，因此轉(zhuǎn)子側(cè)磁鏈諧波為奇次諧波且不含有3n次諧波。ifdq為永磁體等效交直軸激磁電流，隨著飽和程度加深，直軸等效激磁電流ifd將減小。

式（2）中，轉(zhuǎn)子側(cè)交直軸電感基波分量為

根據(jù)電磁轉(zhuǎn)換原理，反電勢計(jì)算公式為

對其進(jìn)行dq變換，得到轉(zhuǎn)子側(cè)反電勢為

其中：ωe為轉(zhuǎn)子電角速度，將式（2）代入式（4）得

由虛位移法可知，電磁轉(zhuǎn)矩和輸入電能與磁儲能變化關(guān)系為

式（6）中，等式左側(cè)為輸出的機(jī)械能，等式右側(cè)左部為輸入電能，中部為繞組電阻消耗的電能，右部為電機(jī)磁儲能的微分量，Wm表示磁儲能。文獻(xiàn)[7]所介紹的傳統(tǒng)諧波模型中忽略了磁儲能微分量對轉(zhuǎn)矩的影響，導(dǎo)致計(jì)算轉(zhuǎn)矩諧波值偏大，特別是磁路嚴(yán)重飽和的情況下，遠(yuǎn)大于有限元分析的轉(zhuǎn)矩諧波情況。

忽略磁滯損耗和渦流損耗等效電流對轉(zhuǎn)矩的影響，按照最簡單積分路徑方法計(jì)算磁儲能微分量，先將轉(zhuǎn)子置于指定位置，然后再施加永磁體等效激磁電流和定子繞組電流，則任意位置磁儲能為

磁儲能對轉(zhuǎn)子位置的微分量為

根據(jù)電流和磁鏈的關(guān)系，式（7）可轉(zhuǎn)化為

將式（2）、式（3）、式（8）代入式（6），得到考慮磁儲能變化的電磁轉(zhuǎn)矩計(jì)算式為

式（9）中，第1部分為考慮了磁飽和及永磁體退磁的電磁轉(zhuǎn)矩基波分量，第2部分為不考慮磁儲能變化的轉(zhuǎn)矩諧波分量，第3部分為磁儲能變化對電磁轉(zhuǎn)矩的影響。

2 PMSM參數(shù)提取方法

在不考慮磁滯損耗和渦流損耗的情況下，磁場諧波頻相主要與電流有關(guān)，與轉(zhuǎn)速無關(guān)，使電機(jī)保持在恒定轉(zhuǎn)速，利用凍結(jié)磁導(dǎo)率法提取不同電流轉(zhuǎn)速下的三相電感曲線，并進(jìn)行dq變換。由于不同齒槽位置的電感參數(shù)不同，得到包含諧波分量的交直軸電感曲線，對其進(jìn)行傅里葉變換，得到電感參數(shù)基波值，即交直軸自感和互感參數(shù)基波曲線。

同理可得交直軸磁場基波參數(shù)曲線，等效交直軸激磁電流基波值為

諧波磁場的提取方法為：對A相繞組磁場進(jìn)行傅里葉變換，得到各奇次諧波的幅值ψk和各次諧波超前于轉(zhuǎn)子的角度θ0k。

在Matlab/Simulink仿真平臺下，將有限元法提取的不同交直軸電流對應(yīng)的電感、永磁體等效激磁電流和諧波磁場幅值相位參數(shù)導(dǎo)入到lookup table查表模塊，通過線性插值法得到不同交直軸電流對應(yīng)的電機(jī)電磁參數(shù)。

設(shè)定轉(zhuǎn)子初始位置、初始交直軸電流，查表得到交直軸磁鏈基波和諧波的幅值相位，通過式（5）計(jì)算電機(jī)反電勢，根據(jù)式（9）計(jì)算電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩。

3 仿真驗(yàn)證

利用有限元軟件ANSYS EM對一臺給定的IPMSM進(jìn)行電磁分析，采用ANSYS EM材料庫中的標(biāo)準(zhǔn)材料，提取交直軸電感、等效激磁電流和諧波磁場的幅值相位情況，電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 永磁同步電機(jī)樣機(jī)參數(shù)表Tab.1PMSM parameters

利用凍結(jié)磁導(dǎo)率法提取的交直軸自感及互感基波分量如圖1～圖3所示。

圖1 直軸電感Ld與交直軸電流id和iq的關(guān)系Fig.1 Relationship between Ld,idand iq

圖2 交軸電感Lq與交直軸電流id和iq的關(guān)系Fig.2 Relationship between Lq,idand iq

圖3 互感Ldq與交直軸電流id和iq的關(guān)系Fig.3 Relationship between Ldq,idand iq

由于交軸沒有永磁體，不涉及退磁問題，交軸電流激發(fā)磁場的能力與交軸電流大小有關(guān)，與方向無關(guān)，因此只分析iq＞0的情況。

通過圖1可知，隨著id增大，有限元分析得出Ld增大，與傳統(tǒng)的磁路飽和理論不符。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)電機(jī)模型使用線性永磁材料，永磁體不退磁的情況下，磁導(dǎo)率不變。為了更好地反映實(shí)際情況，選用ANSYS EM默認(rèn)材料庫中的非線性永磁材料NdFe35，隨著磁路飽和，永磁體等效激磁電流ifd0減小，永磁材料退磁，永磁體磁導(dǎo)率增大，如圖4所示。由于直軸等效磁路中永磁體和鐵芯串聯(lián)形成，因此隨著id增大，凍結(jié)磁導(dǎo)率法計(jì)算出的直軸電感Ld仍然增大。但是隨著iq增大，磁路趨于飽和，Ld隨iq增大而減小。

圖4 永磁體等效直軸激磁電流基波分量ifd0與交直軸電流id和iq的關(guān)系Fig.4 Relationship between equivalent d axis excitation current of permanent magnet ifd0and id,iq

如圖5所示，當(dāng)電機(jī)負(fù)載較輕、iq較小時(shí)，ifq0幾乎為0，但隨著電機(jī)負(fù)載增大、iq較大時(shí)，沿直軸擺放的永磁材料在交軸表現(xiàn)出了一定的抗磁性，即ifq0＜0。

圖5 永磁體等效交軸激磁電流基波分量ifq0與交直軸電流id和iq的關(guān)系Fig.5 Relationship between equivalent q axis excitation current of permanent magnet ifq0and id,iq

各次諧波超前于轉(zhuǎn)子的角度如圖6～圖9所示。為了簡化模型，這里僅分析5次和7次磁場諧波幅值相位情況。

將有限元法提取的電感參數(shù)導(dǎo)入到Matlab仿真平臺下搭建數(shù)模的lookuptable查表模塊中，為了驗(yàn)證數(shù)模諧波特性的模擬程度，使電機(jī)保持在特定轉(zhuǎn)速，在重載條件下對比考慮磁儲能變化的飽和諧波模型、文獻(xiàn)[6-7]所述只考慮轉(zhuǎn)子磁場諧波的飽和模型和有限元仿真結(jié)果之間的差異。磁鏈、電壓及電磁轉(zhuǎn)矩對比結(jié)果如圖10～圖12所示。

圖6 5次諧波磁鏈幅值ψ5與交直軸電流id和iq的關(guān)系Fig.6 Relationship between 5-harmonic magnetic chain amplitude ψ5and id,iq

圖7 5次諧波磁鏈超前轉(zhuǎn)子電角度θ05與交直軸電流id和iq的關(guān)系Fig.7 Relationship between 5-harmonic magnetic chain phase θ05and id,iq

圖8 7次諧波磁鏈幅值ψ7與交直軸電流id和iq的關(guān)系Fig.8 Relationship between 7-harmonic magnetic chain amplitude ψ7and id,iq

圖9 7次諧波磁鏈超前轉(zhuǎn)子電角度θ07與交直軸電流id和iq的關(guān)系Fig.9 Relationship between 7-harmonic magnetic chain phase θ07and id,iq

模型雖考慮了定子電流對諧波磁鏈的影響，但反電勢和磁鏈的建模方法與文獻(xiàn)[6-7]介紹的方法并無區(qū)別，因此圖10～圖12中磁鏈和反電勢模型統(tǒng)稱為諧波模型。由圖10～圖12可知，諧波模型和有限元分析的交直軸反電勢基波與6次諧波幅值、電磁轉(zhuǎn)矩基波分量幅值、交直軸磁鏈6次諧波幅值基本一致。

圖10 id=0 A、iq=50 A時(shí)磁鏈、反電動勢及電磁轉(zhuǎn)矩諧波幅值對比Fig.10 Magnetic chain,anti-electromotive force and electromagnetic torque harmonic amplitude comparison when id=0 A,iq=50 A

圖11 id=50 A、iq=50 A時(shí)磁鏈、反電動勢及電磁轉(zhuǎn)矩諧波幅值對比Fig.11 Magnetic chain,anti-electromotive force and electromagnetic torque harmonic amplitude comparison when id=50 A,iq=50 A

圖12 id=40 A、iq=30 A時(shí)磁鏈、反電動勢及電磁轉(zhuǎn)矩諧波幅值對比Fig.12 Magnetic chain,anti-electromotive force and electromagnetic torque harmonic amplitude comparison when id=40 A,iq=30 A

在電磁轉(zhuǎn)矩諧波方面可發(fā)現(xiàn)，隨著交直軸電流增大，電機(jī)飽和程度加深，磁儲能變化產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩諧波幅值增大，文獻(xiàn)[6-7]介紹的未考慮磁儲能變化的飽和諧波模型6次轉(zhuǎn)矩諧波與有限元分析結(jié)果差異很大，而考慮磁儲能變化的諧波模型與有限元分析結(jié)果非常接近，不同重載條件下6次轉(zhuǎn)矩諧波對比如表2所示。

通過對比可以發(fā)現(xiàn)，在飽和程度最深的id=iq=50 A情況下，未考慮磁儲能變化模型的轉(zhuǎn)矩諧波幅值是有限元分析結(jié)果的11倍，而考慮磁儲能變化的模型只是有限元分析結(jié)果的2.2倍；當(dāng)id=0 A、iq=50 A時(shí)，未考慮磁儲能變化模型的轉(zhuǎn)矩諧波幅值是有限元分析結(jié)果的1.8倍，而考慮磁儲能變化的模型只比有限元分析結(jié)果高3%；當(dāng)id=40 A、iq=30 A時(shí)，未考慮磁儲能變化模型的轉(zhuǎn)矩諧波幅值是有限元分析結(jié)果的14.8倍，而考慮磁儲能變化的模型只比有限元分析結(jié)果高66%。不同交直軸電流下的對比表明，該模型大幅度提升了重載情況下轉(zhuǎn)矩諧波的模擬程度。

表2 未考慮磁儲能變化、考慮磁儲能變化及有限元法分析的電磁轉(zhuǎn)矩6次諧波幅值對比Tab.2 6-torque-harmonic amplitude comparison with/without magnetic energy storage change vs FEM results

4 結(jié)語

研究了磁儲能變化對轉(zhuǎn)矩諧波的影響，完善了電磁轉(zhuǎn)矩的計(jì)算公式及數(shù)學(xué)模型。通過有限元分析法，提取了飽和電感曲線、等效激磁電流曲線和磁場諧波幅值相位曲線。在Matlab仿真平臺上建模，與傳統(tǒng)的飽和諧波模型對比，并與有限元分析結(jié)果進(jìn)行比較研究。結(jié)果表明，考慮磁儲能變化的飽和諧波電機(jī)數(shù)學(xué)模型能夠更準(zhǔn)確地反映飽和情況下電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩的諧波特性，為電機(jī)重載控制，特別是不考慮溫升對電磁參數(shù)影響的短時(shí)重載控制提供了更加準(zhǔn)確的理論依據(jù)。