談數(shù)學(xué)史在高中數(shù)學(xué)課堂中的妙用

成曉玲

數(shù)學(xué)學(xué)科，在許多學(xué)生眼中是貧乏而枯燥的，很多學(xué)生認(rèn)為我們中的很多人，除少數(shù)人將來(lái)成為科技工作者或數(shù)學(xué)工作者外，許多人都無(wú)需直接用到較深的數(shù)學(xué)知識(shí)，所以數(shù)學(xué)無(wú)用論在學(xué)生中有相當(dāng)市場(chǎng)。讓學(xué)生樂(lè)于接受數(shù)學(xué)，如果僅僅解釋數(shù)學(xué)很美，可當(dāng)前應(yīng)試教育的指揮棒，填鴨式的教學(xué)方式實(shí)在讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的美不敢恭維。作為一名數(shù)學(xué)教師，我很想能夠把自己對(duì)數(shù)學(xué)的喜愛(ài)和從中體會(huì)到的智慧與樂(lè)趣轉(zhuǎn)移給學(xué)生，同時(shí)自己對(duì)數(shù)學(xué)史的閱讀及研究促使我想把數(shù)學(xué)史中一些閃光的地方融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)，相信會(huì)對(duì)學(xué)生有所幫助，以下是自己在嘗試過(guò)程中的幾點(diǎn)體會(huì)：

一、妙用數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣

在學(xué)習(xí)建立極坐標(biāo)系時(shí)，習(xí)慣了直角坐標(biāo)系的學(xué)生表現(xiàn)出較大的不適應(yīng)性，所以我在教學(xué)時(shí)引用了數(shù)學(xué)史中笛卡兒的解析幾何思想的最初一閃念，據(jù)說(shuō)是在他注視一只蒼蠅在天花板的一角爬行時(shí)，想到只要知道蒼蠅與相鄰兩墻的距離之間的關(guān)系，就能描述蒼蠅爬行的路線，這個(gè)故事讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)的直覺(jué)來(lái)源于實(shí)際生活，學(xué)生也很清楚建立直角坐標(biāo)系解決許多幾何問(wèn)題是非常簡(jiǎn)潔有效的。接下去，我開(kāi)始創(chuàng)設(shè)問(wèn)題環(huán)境：一艘軍艦行駛在海上，發(fā)現(xiàn)敵艦在某個(gè)方向，問(wèn)你如何向炮手下達(dá)命令使之迅速瞄準(zhǔn)并開(kāi)火？問(wèn)題的實(shí)質(zhì)仍是在一個(gè)平面上如何去確定一個(gè)點(diǎn)的位置，一些學(xué)生想到仍是建立直角坐標(biāo)系，然后由橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)確定目標(biāo)的方向和距離，提示學(xué)生實(shí)際操作可能嗎？即使可能，計(jì)算的時(shí)間也許已使你先敵陣亡了，很自然地，學(xué)生馬上明白，確定一個(gè)點(diǎn)的位置有許多方法。在這個(gè)問(wèn)題，只要知道目標(biāo)的距離與方向，就能解決問(wèn)題，對(duì)極坐標(biāo)系概念地理解得到進(jìn)一步加深，同時(shí)也通過(guò)問(wèn)題，使得學(xué)生體會(huì)到了直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的聯(lián)系與區(qū)別，為以后實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化埋下伏筆。

應(yīng)試教育所導(dǎo)致的直接惡果是學(xué)生被迫式地接受知識(shí)，在很大程度上禁錮了學(xué)生思維的創(chuàng)造力，也使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)敬而遠(yuǎn)之，敬而畏之。這大大違背了數(shù)學(xué)的本意。數(shù)學(xué)的本意在于描述世界，是人類在知識(shí)和改造世界過(guò)程中獲得自由的一種工具。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史本身就是一部數(shù)學(xué)應(yīng)用的歷史。數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)端的原動(dòng)力是“應(yīng)用”，終極目標(biāo)也是“應(yīng)用”。在教學(xué)過(guò)程中強(qiáng)調(diào)應(yīng)用意識(shí)，能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。

二、妙用數(shù)學(xué)史培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的主動(dòng)性

必須注意一個(gè)事實(shí)，當(dāng)數(shù)學(xué)發(fā)展達(dá)到一定程度的抽象層次后，由于數(shù)學(xué)的“自律性”使它有時(shí)與實(shí)際應(yīng)用距離較遠(yuǎn)，高中數(shù)學(xué)在這方面的表現(xiàn)更具抽象性。在教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，其一：數(shù)學(xué)抽象性的表述是數(shù)學(xué)超前性的具體表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷的過(guò)程，數(shù)學(xué)史告訴我們，狹隘地強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，會(huì)把數(shù)學(xué)引入岐途，中國(guó)古代科技思想的實(shí)用化傾向，正是一個(gè)文明古國(guó)衰落的原因之一。相反正由于古希臘強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)的整體把握和理性認(rèn)識(shí)，從而造就了強(qiáng)大的民族創(chuàng)造力；其二：數(shù)學(xué)真正的樂(lè)趣在于思維。培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，數(shù)學(xué)史中許多有趣的悖論有很好的促進(jìn)作用。

三、妙用數(shù)學(xué)史培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

歐幾里得《原本》作為古代希臘的最偉大成就之一乃是思想的公理體系的確立，下面關(guān)于公理的方法的敘述我認(rèn)為應(yīng)該在立體幾何開(kāi)始教學(xué)前有必要給學(xué)生說(shuō)明的：

為了在演繹體系中建立一個(gè)陳述，必須證明這個(gè)陳述是前面建立的某個(gè)陳述的一個(gè)必然的邏輯結(jié)論。而那些陳述又必須由更早建立的一些陳述來(lái)建立等等。因?yàn)檫@個(gè)鏈條不能無(wú)限地繼續(xù)往前推，開(kāi)始總要接受幾個(gè)不用證明的陳述，否則就是要犯循環(huán)推理的錯(cuò)誤：即從陳述B推出陳述A然后又從陳述A推出陳述B，這是不可饒恕的。

公理化方法作為一種思想方法有著相當(dāng)重要的教育價(jià)值，在數(shù)學(xué)的許多鄰域都滲透了這種思想，學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何之初，一開(kāi)始并不能領(lǐng)會(huì)為什么要有三條公理，假如解釋是不需證明顯而易見(jiàn)的事實(shí)，那么你很快就會(huì)在他們的證明過(guò)程中看到他們憑自己想象建立的許多“顯而易見(jiàn)”的“公理”或“定理”，而且循環(huán)論證的錯(cuò)誤也一再出現(xiàn)。當(dāng)然《原本》豐富的內(nèi)容作為第二課堂知識(shí)也足以使學(xué)生受益匪淺。愛(ài)因斯坦在1946年撰寫《自述》時(shí)，也沒(méi)忘記他12歲初學(xué)歐幾里得幾何的驚奇，可見(jiàn)這件事在他一身中的地位。

四、妙用數(shù)學(xué)史，啟迪學(xué)生思維的創(chuàng)新性

數(shù)學(xué)史的發(fā)展過(guò)程也是知識(shí)的發(fā)展過(guò)程。如果在上課過(guò)程中能夠重現(xiàn)或親歷發(fā)現(xiàn)過(guò)程，那么對(duì)學(xué)生的幫助會(huì)否更大？抱著想法，我作了一些嘗試。高中階段，數(shù)的概念擴(kuò)展是迅速的，一般的上課模式容易讓學(xué)生滿足于已有的量度關(guān)系，而少有學(xué)生會(huì)發(fā)散出去想象比如實(shí)數(shù)的外面應(yīng)是什么數(shù)，從而使學(xué)生缺少創(chuàng)造性。僅拿無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程來(lái)說(shuō)，相信會(huì)對(duì)學(xué)生有很好的啟發(fā)。

對(duì)于邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)正方形的對(duì)角線不能用有理數(shù)來(lái)表示，則只要證明 是無(wú)理數(shù)就行了。（引理：對(duì)于一個(gè)正整數(shù)S，S2是偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)S是偶數(shù)）

反證法：假定 是有理數(shù)，即 =a/b （a，b是互素的整數(shù)）

∴a=b 即a2=2b2（*）

∵a2是一個(gè)整數(shù)的2倍，可知a2從而a必定是偶數(shù)，令a=2c

∴（*）式變?yōu)?c2=2b，即2c2=b2可知b2從而b必定是偶數(shù)

這與a，b互素矛盾

∴ 為無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)史上給古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以無(wú)比震驚，而重現(xiàn)這樣一個(gè)發(fā)現(xiàn)過(guò)程后，也使一些認(rèn)真的學(xué)生開(kāi)始重新審視并整理自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。不可否認(rèn)，重現(xiàn)或親歷發(fā)現(xiàn)過(guò)程花的時(shí)間可能會(huì)多一點(diǎn)，但以此培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生比其他學(xué)生具有更強(qiáng)的數(shù)學(xué)理性思維，而且有提出尖銳問(wèn)題的積極性與能力。

以上對(duì)數(shù)學(xué)史滲透于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的體會(huì)還很膚淺的，我想假以時(shí)日，應(yīng)該可以做的更好，數(shù)學(xué)史豐富的內(nèi)容值得我們?nèi)ソ梃b與學(xué)習(xí)，引用J·W·L格雷舍的一句話：“任何企圖將一門學(xué)科和它的歷史割裂開(kāi)來(lái)，我確信：沒(méi)有哪一門學(xué)科比數(shù)學(xué)的損失更大”。