初中幾何“梯形”教學(xué)中的輔助線作法分析

江蘇省海安縣大公鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 鐘 卿

梯形在初中幾何中是較為特殊的圖形，可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形或者是三角形的相關(guān)問題，但是，在具體證明或解答時(shí)卻不容易直接找到連接已知條件與結(jié)論之間的關(guān)系，因此，需要添加一定的輔助線來連接條件與結(jié)論。不同形式的梯形的輔助線添加方式也不同，需要做到具體問題具體分析。

一、梯形輔助線制作方法

（一）平移法

1.平移腰

例1：如圖1，在等腰梯形ABCD當(dāng)中，AD∥BC，AB=CD，∠C=60°，AD=15cm，BC=49cm，求CD。

圖1

解：過D點(diǎn)作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，則根據(jù)平行四邊形的定義可得：四邊形ABED為平行四邊形，所以，AD=BE=15cm，AB=DE，且EC=BC-BE=BC-AD=49-15=34cm。又因?yàn)锳B=CD,所以DE=CD。因?yàn)椤螩=60°，所以△CDE為等邊三角形，所以CD=EC=34cm。

總結(jié)：如果經(jīng)過梯形的上底或者是下底的其中一個(gè)端點(diǎn)，可以作梯形一個(gè)腰的平行線，就可以將梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形，這就是平移腰的基本做法。

2.平移對(duì)角線

例2：如圖2，在梯形ABCD當(dāng)中，AD∥BC,AC=15cm,BD=20cm,DH為梯形的高，高為12cm，求梯形ABCD的總面積。

圖2

解：可以過點(diǎn)D作DE∥AC,交BC的延長線于點(diǎn)E，四邊形ACED為平行四邊形，因此，△ABD、△ACD、△DCE的面積都相等。所以，梯形ABCD與△DBE的面積相等。根據(jù)勾計(jì)算為：所以，梯形的面積為150cm2。這就是平移對(duì)角線的具體做法，這種輔助線的作法是比較常見且解題較為容易的方法之一。

（二）延長兩腰

例3：如圖3，在梯形ABCD當(dāng)中，AD∥BC,∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD。

圖3

解：延長腰BA與腰CD交于點(diǎn)E，在△BCD當(dāng)中，∠B=50°，∠C=80°，所以，∠E=50°，所以△EBC為等腰三角形，BC=EC=5。同理可得AD=ED=2，所以，CD=EC-ED=5-2=3。

可見，將梯形的兩個(gè)腰延長，交于一點(diǎn)，可以將梯形轉(zhuǎn)化成三角形，然后進(jìn)行計(jì)算和證明。

（二）作梯形的高

例4：如圖4，在梯形ABCD中，∠C=60°,∠B=45o，AD∥BC,AD=3，DC=6，求梯形ABCD的面積。

圖4

解：過點(diǎn)A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC,垂足分別為E、F，在Rt△DFC中，因?yàn)椤螩=60°，所以∠FDC=30°，所這就是作梯形腰的具體做法。

（三）構(gòu)造全等三角形

例5：如圖5，在梯形ABCD當(dāng)中，AD∥BC,點(diǎn)M、N分別是腰AB與DC的中點(diǎn)，求證：

證明：連接AN并且延長，交BC的延長線于點(diǎn)E，因?yàn)镈N=CN,∠1=∠2，所以△ADN≌△ECN，所以AN=EN,AD=CE,又因?yàn)锳M=MB，所以MN是△ABE的中位線，所以MN∥BC,MN=BE。因?yàn)锽E=BC+CE=BC+AD，所以

利用梯形的底和腰的中點(diǎn)構(gòu)成三角形，可以將梯形直接轉(zhuǎn)化為三角形來進(jìn)行解析。

二、作梯形輔助線的意義

在初中幾何學(xué)習(xí)中，梯形是比較重要的一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容。通過作輔助線，可以將梯形轉(zhuǎn)化成不同的圖形，進(jìn)而通過對(duì)平行四邊形和三角形的解析可以直接證明梯形的相關(guān)性質(zhì)，而且了解初中幾何中梯形輔助線的作法更可以為高中或者是大學(xué)時(shí)期的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

總而言之，在解析幾何當(dāng)中，梯形是比較特殊的圖形，作好輔助線有助于學(xué)生明晰圖形構(gòu)造。輔助線的添加將梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形或者三角形問題，使得輔助線起到了一定的橋梁作用。通過總結(jié)初中幾何中梯形添加輔助線的幾種方法，既可以提高解題效率，又可以培養(yǎng)初中生的發(fā)散思維。