用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界

張靂 龔健梅

導(dǎo)讀

為了讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，張靂老師讓學(xué)生經(jīng)歷從找三角形物體（有形有質(zhì)，屬性豐富），到用三根小棒拼三角形（有形有質(zhì)，屬性單一），再到畫(huà)三角形（有形無(wú)質(zhì)，無(wú)其他屬性）這樣一個(gè)過(guò)程。學(xué)生在不經(jīng)意間經(jīng)歷抽象的過(guò)程，從而認(rèn)識(shí)三角形，更重要的，在這樣一個(gè)抽象的過(guò)程中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

史寧中教授說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)，是讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是建模。三角形是學(xué)生在整個(gè)空間與圖形領(lǐng)域很重要的一個(gè)圖形。三角形是有形無(wú)質(zhì)的圖形，如何讓學(xué)生從生活中的三角形物體中抽象出三角形，如何認(rèn)識(shí)圖形中的抽象概念——高，是“三角形的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課的兩個(gè)難點(diǎn)。讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的過(guò)程，不失為良好的教學(xué)突破口。

一、情境導(dǎo)入

（出示金字塔、斜拉大橋圖片。）

師：圖中有三角形嗎？

生：有。

師：指出圖片中的三角形。

（請(qǐng)學(xué)生指出三角形。）

師：我非常感謝他，沒(méi)有指一個(gè)點(diǎn)，而是指出三角形的輪廓，一眼就能看清楚三角形在哪里。很好，掌聲送給他。

師：圖中其實(shí)還有更多的三角形，誰(shuí)來(lái)找找看。

（幾個(gè)學(xué)生比畫(huà)出更多的三角形。）

師：生活中還有哪些有三角形，誰(shuí)能舉個(gè)例子？

生：紅領(lǐng)巾、衣架、黑板、路標(biāo)、古代的建筑、三角旗……

師：其實(shí)我們生活中很多地方都有三角形。

（PPT展示紅領(lǐng)巾、三角尺、路標(biāo)。）

教學(xué)反思：本環(huán)節(jié)在生活中找尋三角形物件，讓學(xué)生徜徉在古代與現(xiàn)代之間，感受古代文明與現(xiàn)代生活氣息，喚起學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)驅(qū)力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的興趣，初步感知三角形的特點(diǎn)。學(xué)生們認(rèn)真觀察，能手口一致地描繪三角形，積極舉手發(fā)言，大膽質(zhì)疑和補(bǔ)充。當(dāng)學(xué)生誤找角時(shí)，給學(xué)生更多的鼓勵(lì)和肯定，也能給課堂營(yíng)造輕松愉悅的氛圍。

二、引入新知，擺一擺，畫(huà)一畫(huà)，說(shuō)一說(shuō)

師：三角形居然在生活中有這么多應(yīng)用，它肯定有奧秘。今天這節(jié)課，我們就來(lái)認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)三角形，它到底有哪些妙處？

板書(shū)：三角形的認(rèn)識(shí)

師：請(qǐng)同學(xué)拿出學(xué)具，擺一個(gè)三角形。注意擺一個(gè)三角形需要什么條件。

（教師指導(dǎo)，各小組合作擺出一個(gè)三角形。）

師：請(qǐng)哪一組匯報(bào)一下，構(gòu)成三角形需要什么條件？

生：三條邊、三個(gè)角、三個(gè)棍子。

師：需要三根棍子，它就需要三條邊，那還需要注意什么？

生：必須連接起來(lái)。

師：哪里需要連接起來(lái)？拿一個(gè)三角形比畫(huà)一下。

生：它們每條邊的端點(diǎn)要相互連接。

師：每條邊的端點(diǎn)，因?yàn)槲覀兠織l邊是線段。我們能擺一個(gè)三角形，那能不能畫(huà)一個(gè)三角形呢？請(qǐng)同學(xué)們邊畫(huà)邊想，你是怎樣畫(huà)這個(gè)三角形的？你畫(huà)的三角形有什么特點(diǎn)？

（學(xué)生拿出筆畫(huà)，教師個(gè)別指導(dǎo)。）

師：請(qǐng)一個(gè)同學(xué)上講臺(tái)畫(huà)一個(gè)三角形。

（生在黑板上畫(huà)一個(gè)三角形。）

師：你覺(jué)得哪一筆最難畫(huà)？

生：都不難畫(huà)。

師：你們覺(jué)得哪一筆比較難畫(huà)？

生：最后一筆最難畫(huà)。

師：最后一筆是哪一筆？請(qǐng)同學(xué)上講臺(tái)指出來(lái)。

師：最后一筆為什么難畫(huà)？

生：它要將兩個(gè)端點(diǎn)連接起來(lái)。

師：是的。我們擺三角形，畫(huà)三角形，想一想，到底什么是三角形？哪一位同學(xué)能試一試一句話講清楚？

生：有三個(gè)角的圖形是三角形。

生：有三條邊的圖形是三角形。

師：有三個(gè)角的圖形是三角形，有三條邊的圖形是三角形，好像都對(duì)。怎么講才讓人聽(tīng)得明白呢？那么我們來(lái)看看數(shù)學(xué)上怎么規(guī)定。

板書(shū)：由3條線段圍成的圖形。

師：而且這三條線段怎么圍呢？

生：端點(diǎn)要連起來(lái)。

（PPT出示兩個(gè)圖形，一個(gè)沒(méi)有相連，一個(gè)沒(méi)有與端點(diǎn)相連而是與線段中間相連。）

師：哪里出現(xiàn)問(wèn)題？

生：第一個(gè)圖形沒(méi)有連接起來(lái)，就是沒(méi)有圍起來(lái)。第二個(gè)圖形凸出來(lái)了。

師：凸出來(lái)的意思就是沒(méi)有連到端點(diǎn)。所以我們對(duì)三角形是有要求的。

板書(shū)：每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連，叫作三角形。

（學(xué)生把板書(shū)讀兩遍。）

師：你們認(rèn)為這句話哪些詞語(yǔ)比較重要？

生：相連。

師：要注意端點(diǎn)相連。

生：三條線段。

師：就是說(shuō)三條線段，兩條線段不行。

生：相鄰兩條線段。

（給“相鄰”加著重號(hào)。）

生：圍成。

師：對(duì)，要圍起來(lái)。沒(méi)有圍起來(lái)就不是三角形。同學(xué)們，再讀一遍，把你們找到的關(guān)鍵詞語(yǔ)讀出來(lái)。

（學(xué)生朗讀，并能夠很好地重讀出關(guān)鍵詞語(yǔ)。）

教學(xué)反思：此環(huán)節(jié)通過(guò)“擺一擺”，進(jìn)一步讓學(xué)生感知三角形的特點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷三角形的第一步抽象，有質(zhì)有形，其他非本質(zhì)屬性減少，比如鐵質(zhì)、木質(zhì)，顏色等；通過(guò)“畫(huà)一畫(huà)”的操作活動(dòng)，喚起學(xué)生對(duì)三角形的回憶，進(jìn)一步感知三角形的本質(zhì)屬性；通過(guò)“說(shuō)一說(shuō)”的活動(dòng)，真正將三角形抽象出來(lái)——由三條線段圍成的圖形叫三角形。

三、認(rèn)識(shí)三角形的各部分名稱，用字母表示三角形

師：我們來(lái)找一找三角形有幾個(gè)頂點(diǎn)，幾個(gè)角，幾條邊？

（教師展示PPT三角形。）

生：三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)。

師：三角形顧名思義就是三個(gè)角，三條邊，三個(gè)頂點(diǎn)。

（學(xué)生在練習(xí)本上操作。請(qǐng)同學(xué)上臺(tái)畫(huà)三角形，標(biāo)記出它的頂點(diǎn)、邊、角。學(xué)生在圖上標(biāo)注這些名稱很辛苦，且影響圖形美觀。PPT出示給三角形標(biāo)注頂點(diǎn)A、B、C。）

師：告訴你們一個(gè)好消息，從此你的三角形就有名字了。叫什么名字？

生：三角形ABC。

（教師板書(shū)三角形ABC。）

師：請(qǐng)同學(xué)們找出三角形的頂點(diǎn)。

生：A旁邊是頂點(diǎn)。

師：不是A旁邊是頂點(diǎn)，是用A表示這個(gè)頂點(diǎn)。

（教師板書(shū)3個(gè)頂點(diǎn)A、B、C。）

師：除了三個(gè)頂點(diǎn)還有什么？

生：三條邊。

師：那三條邊怎么表示呢？

（請(qǐng)一個(gè)同學(xué)指。）

師：那這條邊叫什么呢？

生：這條邊叫AB。

師：為什么？

生：因?yàn)樗膬蓚€(gè)端點(diǎn)是A和B。

師：很厲害，是這樣的。這樣我們就有幾條邊？分別叫什么？

生：AB、AC、BC三條邊。

（板書(shū)3條邊AB、AC、BC。）

師：我們?nèi)切芜€有最明顯的特點(diǎn)，三個(gè)角，誰(shuí)來(lái)找？

（請(qǐng)同學(xué)到講臺(tái)上用粉筆標(biāo)出。）

師：這叫什么角？

生：A角、B角、C角。

師：但是我們?cè)跀?shù)學(xué)里面怎么叫？

生：角A、角B、角C。

師：角的符號(hào)是什么？用什么表示，誰(shuí)來(lái)比畫(huà)一下？

（學(xué)生上臺(tái)寫(xiě)∠A、∠B、∠C。）

教學(xué)反思：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生在抽象出的三角形中認(rèn)識(shí)三角形，推理三角形的圖形特點(diǎn)，建立三角形模型。教師的問(wèn)題簡(jiǎn)單易懂，比如說(shuō)“三角形有幾個(gè)邊，幾個(gè)角，幾個(gè)頂點(diǎn)”，學(xué)生很快就能回答出來(lái)。教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出頂點(diǎn)的名字。從學(xué)生畫(huà)三角形，到準(zhǔn)確標(biāo)出三角形的頂點(diǎn)，再到給三角形頂點(diǎn)命名，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)循序漸進(jìn)，很快掌握了三角形頂點(diǎn)的概念，依次類(lèi)推，掌握三角形的相關(guān)知識(shí)。

四、認(rèn)識(shí)三角形的高和底

師：三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)角，三條邊，它還隱藏了一個(gè)東西，你們猜？

生：高。

師：你們認(rèn)為誰(shuí)是三角形的高？

生：從A點(diǎn)到BC的垂直線。

師：你還強(qiáng)調(diào)什么？

生：垂直線。

（PPT展示兩個(gè)三角形，分別畫(huà)了三條垂線段，第一個(gè)三角形中是頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線段，第二個(gè)圖形中沒(méi)有從頂點(diǎn)開(kāi)始。）

師：哪個(gè)是高？

生：第一個(gè)是高。

師：從頂點(diǎn)A到對(duì)邊BC的垂直線段就是高。另外一個(gè)是高嗎？

生：不是。

師：一個(gè)頂點(diǎn)到它對(duì)邊的一條垂直線就叫高。

（PPT展示從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它對(duì)邊作一條垂直線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高，這條對(duì)邊叫作三角形的底。）

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧约寒?huà)的三角形內(nèi)畫(huà)出一條高。

（學(xué)生動(dòng)手操作。）

師：誰(shuí)能幫我畫(huà)一下？需要什么工具？

生：三角尺。

（請(qǐng)一個(gè)學(xué)生在講臺(tái)上畫(huà)三角形的高。）

師：你在畫(huà)的同時(shí)，能不能告訴同學(xué)們你是怎么畫(huà)的？

生：從∠A頂點(diǎn)垂直畫(huà)線。

師：怎么畫(huà)？

生：先用三角尺的一條直角邊與三角形的底邊重合，再平移三角尺靠近對(duì)面的頂點(diǎn)，再沿著三角尺的另一條直角邊從頂點(diǎn)開(kāi)始往底邊畫(huà)線。

（老師根據(jù)學(xué)生的操作及發(fā)言板書(shū)：1.重合；2.平移；3.畫(huà)線。）

師：哪里是高？

（學(xué)生一起指出來(lái)。）

師：你叫什么名字？

生：×××。

（請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)在黑板上寫(xiě)上自己的名字，并命名為×××畫(huà)高法。）

師：今后畫(huà)三角形的高，請(qǐng)記住這位同學(xué)畫(huà)高所使用的方法。三角形有三條邊、三個(gè)角、三個(gè)頂點(diǎn)，那么三角形的高有幾條？

生：三條高。

（PPT展示：1.以BC為底，畫(huà)BC邊上的高；2.以AC為底，畫(huà)AC邊上的高；3.以AB為底，畫(huà)AB邊上的高。）

師：以BC為底，哪個(gè)是它的頂點(diǎn)？以AC為底，哪個(gè)是它的頂點(diǎn)？以AB為底，哪個(gè)是它的頂點(diǎn)？

生：以BC為底，頂點(diǎn)A；以AC為底，頂點(diǎn)B；以AB為底，頂點(diǎn)C。

師：有什么發(fā)現(xiàn)？

生：頂點(diǎn)所在的對(duì)邊是另外兩個(gè)點(diǎn)所在的那條邊。

師：誰(shuí)能講得更清楚？

師：A為頂點(diǎn)，那對(duì)邊就是底，頂點(diǎn)也在它的對(duì)面。

（同學(xué)們動(dòng)筆畫(huà)三角形的三條高。在操作過(guò)程中，有學(xué)生轉(zhuǎn)動(dòng)作業(yè)本，這樣每次底邊在下，頂點(diǎn)在上，作高就比較好操作。）

師：大家都畫(huà)得差不多了，請(qǐng)一個(gè)同學(xué)到黑板上來(lái)展示（主要看看不能轉(zhuǎn)動(dòng)圖形時(shí)怎么辦）。

（以左右兩條邊為底時(shí)，學(xué)生一開(kāi)始沒(méi)能找到放置尺子的方法。比畫(huà)了幾次后，師提醒：“一重合是什么與什么重合？”生回答：“是三角尺的直角邊與底邊重合?！彼R上想到先用三角尺直角邊去與三角形的底邊重合，再用另一條直角邊對(duì)著頂點(diǎn)，順利完成了作圖。）

師：一重合，二平移，三畫(huà)線。這個(gè)三角形有三條高，是不是其他三角形也有三條高？

（PPT展示直角三角形作高，用動(dòng)畫(huà)展示三角尺的重合、平移、畫(huà)線過(guò)程，作出直角三角形的三條高。）

師：發(fā)生一件很奇怪的事情？

生：高與三角形的兩條直角邊重合了。

師：還是它的高嗎？

生：是。

師：底在哪里？

生：另一條直角邊。

師：還有更奇怪的事呢。

（PPT展示鈍角三角形的三條高。當(dāng)作出兩條較短邊上的高時(shí)，學(xué)生們“啊”了起來(lái)。）

師：大家發(fā)現(xiàn)，又有什么奇怪的事？

生：這個(gè)三角形有兩條高在外面。

師：那還是不是它的高？

生：是的。

師：那這兩條高對(duì)應(yīng)的底在哪？

生：AC和AB。

師：你能來(lái)指下嗎？

（學(xué)生在黑板上指出AC和AB的位置，沒(méi)有包括延長(zhǎng)線。）

師：我們發(fā)現(xiàn)這些三角形都有三條高。

（PPT再將三種三角形的高總結(jié)展示出來(lái)。）

教學(xué)反思：本環(huán)節(jié)學(xué)生動(dòng)手操作，在已學(xué)的垂直概念的基礎(chǔ)上，引入三角形的底和高。學(xué)生獨(dú)立、認(rèn)真思考如何畫(huà)出三角形的高，感受三角形的高與底是相互依存的關(guān)系，建立高模型，為學(xué)習(xí)三角形面積的計(jì)算奠定基礎(chǔ)。課件展示不同三角形的高和畫(huà)法。在展示鈍角三角形的兩條高時(shí)，學(xué)生能夠很好地找到對(duì)應(yīng)的底邊，沒(méi)有出現(xiàn)以往的將延長(zhǎng)線也作為底邊的情況，這可能就是用字母表示端點(diǎn)帶來(lái)的好處。

五、鞏固練習(xí)

PPT展示題目：

（1）由三條（ ）圍成的圖形叫三角形。一個(gè)三角形有（ ）條邊，（ ）個(gè)頂點(diǎn)。

（2）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫三角形的（ ）。任意三角形都有（ ）條高。

六、總結(jié)

師：這節(jié)課有什么收獲？

生1：我知道三角形有三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)、三個(gè)角。

生2：我還知道三角形有三條高，可以用×××畫(huà)法來(lái)畫(huà)三條高。

……

教學(xué)反思：整節(jié)課，學(xué)生都是在動(dòng)手操作及思考中經(jīng)歷三角形的抽象、推理與建模過(guò)程，從而建立三角形的概念。

（小背景：本節(jié)課上課的學(xué)生是象山學(xué)校的學(xué)生。象山學(xué)校從2014年提出“學(xué)科建設(shè)”以來(lái)，一直在試行“自主合作+”形式的課堂教學(xué)。所以，本班學(xué)生在上課前都會(huì)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，對(duì)教材中的概念及例題進(jìn)行預(yù)習(xí)。所以，在課堂上學(xué)生對(duì)于概念是有一定的認(rèn)識(shí)的。教師更多地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象、推理、建模的過(guò)程。）

（作者單位：江西省貴溪市象山學(xué)校 江西省貴溪市教研室）

□責(zé)任編輯 李杰杰

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