例談高中含參不等式恒成立求解策略

李萌

摘 要 “含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、幾何等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來。其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而備受高考、競(jìng)賽命題者的青睞。在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”“化歸與轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 含參不等式 恒成立 求解策略

中圖分類號(hào)：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0前言

已知不等式恒成立，來求參數(shù)的取值范圍，不僅是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考的重點(diǎn)。不等式恒成立問題是將多知識(shí)點(diǎn)有機(jī)融合，綜合性強(qiáng)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等多種數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生對(duì)于這一類問題感到難以尋求解題的切入點(diǎn)和突破口，同時(shí)也是教師教學(xué)的難點(diǎn)。本文將通過實(shí)例對(duì)此類問題的求題策略作探討和歸納，以對(duì)學(xué)生解答此類問題有所幫助。

1用具體實(shí)例談恒成立問題求解策略

1.1分類討論

通常情況下，求解參數(shù)范圍，是將函數(shù)直接求導(dǎo)，有時(shí)可能需要二次求導(dǎo)，從而通過討論在定義域上的單調(diào)性確定參數(shù)范圍。

例1 若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。

解：設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，的最小值非負(fù)。

（1）當(dāng)即：時(shí)， 又所以不存在；

（2）當(dāng)即：時(shí)， 又 ；

（3）當(dāng)即：時(shí)， 又；綜上所得：.

1.2分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題

不等式恒成立問題中，常常將不等式變形，參編分離，也就是，使參數(shù)和主元分別位于不等式的兩邊，然后再巧妙構(gòu)造函數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為最值法求解。

例2 已知函數(shù)，若對(duì)恒有，試確定的取值范圍。

解：依題得：在上恒成立，即：在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以.

最值法常用的結(jié)論：恒成立； 恒成立；恒成立；恒成立.

1.3變換主元

使用變換主元法的前提是根據(jù)題意中所給出參數(shù)范圍，通常是將參數(shù)作為該題中的主元。運(yùn)用變換主元法通過將主元進(jìn)行變換，進(jìn)而轉(zhuǎn)換思考角度，從而避免分類討論，打破思維定勢(shì)，輕松解決恒成立問題。

例3 對(duì)于滿足的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)恒成立，求的取值范圍.

解：

恒成立。當(dāng)時(shí)，（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，或，故的取值范圍為.

1.4端點(diǎn)效應(yīng)

在遇到給出關(guān)于的函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)大于等于或小于等于，單增或單減，就讓在端點(diǎn)處滿足上述條件，從而進(jìn)行求解。

例4 已知當(dāng)時(shí)，.求的范圍。

解：由必要性：...在上成立.在上單調(diào)遞增.

2結(jié)束語

含參不等式恒成立問題求解的策略有很多，除了上述幾種求解方法外，還有放縮法、數(shù)形結(jié)合法等等，這些方法并不是孤立的，它們是相互聯(lián)系、相互滲透的，其核心是等價(jià)轉(zhuǎn)化。如在分類討論以及變換主元法中，雖然沒有明確指出需要分離變量，但其中滲透了分離變量的思想。含參不等式恒成立問題是聯(lián)系不等式、函數(shù)、方程等知識(shí)的一個(gè)良好素材，是高考命制能力型試題的理想命題點(diǎn)，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)對(duì)此問題給予高度重視。

參考文獻(xiàn)

[1] 趙春琴.含參不等式恒成立問題的解法研究[J].數(shù)理化解題研究，2017（22）.

[2] 張虹.一道含參不等式恒成立問題的多種解法及分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（02）.