低位截斷瑞利噪聲的統(tǒng)計推理

李增輝, 李建勛, 李光偉, 王恩堂

(1. 空軍研究院, 北京 100085; 2. 中國人民解放軍93498部隊, 河北 石家莊 050071)

0 引 言

預警雷達擔負著國土防空、航空管制、引導攻擊、目標指示以及遠程戰(zhàn)略預警等重要任務，是平時和戰(zhàn)時的重要武器裝備[1]。隨著電子技術的演進，干擾與反干擾技術之間的斗爭愈演愈烈。

在復雜電磁環(huán)境下，為了保持雷達效能和提高生存能力，只有不斷提升抗干擾性能，降低干擾對雷達性能的影響[2-4]。同時，通過構建復雜電磁環(huán)境，評估預警雷達抗干擾性能對于預估戰(zhàn)時雷達實際效能具有重要意義[5-7]。

預警雷達抗噪聲壓制干擾能力評估常需要對通道噪聲幅度的均值進行估計。從理論上說,在脈沖壓縮體制的雷達系統(tǒng)中,脈沖壓縮后的噪聲通常服從瑞利分布,因此對通道噪聲幅度均值的估計本質(zhì)上是對服從瑞利分布的噪聲進行統(tǒng)計推理。關于瑞利分布的統(tǒng)計估計已有大量研究[8-14]。然而,雷達系統(tǒng)在處理過程中,通常會對噪聲進行量化處理,受采樣位數(shù)影響還可能舍棄低位數(shù)據(jù)。如果仍然采用瑞利分布下的噪聲估計方法,必然導致一定的估計偏差,尤其是量化電平較高或者低位舍棄位數(shù)較多的情況。

為了對截斷量化后的瑞利噪聲樣本進行有效的統(tǒng)計推理,降低估計偏差,本文從瑞利分布和多項分布出發(fā),推導得到了瑞利分布參數(shù)的極大似然估計、無信息先驗貝葉斯估計和共軛先驗貝葉斯估計方法,仿真實驗驗證了所提算法的有效性。

1 噪聲樣本統(tǒng)計估計模型

1.1 低位截斷的瑞利分布樣本的統(tǒng)計分布

設xi(i=1,2,…,n)為服從瑞利分布的樣本,即[15]

p(x;λ)=2λxexp(-λx2)

(1)

式中,參數(shù)λ與樣本均值和方差的關系為

(2)

(3)

(4)

式中,參數(shù)向量θ=[θ0,θ1,…,θK-1]中的參數(shù)θk為噪聲樣本量化截斷后取的k概率,且

e-λk2Δ2{1-exp(-λ(2k+1)Δ2)}

(5)

同時θK為噪聲樣本量化截斷后取值大于K的概率,且

(6)

從而,在給定量化截斷后樣本時,參數(shù)λ的對數(shù)似然函數(shù)為

lnL(λ|n)=lnp(n;θ)=

(7)

式中,參數(shù)θk按照式(5)取值。

1.2 最大似然估計及其凸優(yōu)化

根據(jù)式(7)給出參數(shù)λ的最大似然估計公式為

ln[1-exp(-λ(2k+1)Δ2)]}

(8)

求對數(shù)似然函數(shù)ln L的二階導數(shù)可得

(9)

即對數(shù)似然函數(shù)為凸函數(shù),因此理論上以大于零的任意實數(shù)為初值進行迭代尋優(yōu)總能找到式(8)中優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解,即解得最大似然估計。

事實上,截斷后的瑞利樣本的均值以很大的概率滿足

(10)

因此,取式(10)中λ的上限為初值,可使優(yōu)化問題快速收斂到最優(yōu)解,即使式(10)以極小概率不成立時,也不會影響問題的收斂性。

1.3 貝葉斯估計

由于超參數(shù)λ的似然函數(shù)無法簡單分離樣本統(tǒng)計量,相應的共軛先驗分布也無法直接給出。因此,貝葉斯估計中采用瑞利分布的共軛先驗分布來近似超參數(shù)λ的共軛先驗,即Gamma分布[16]

(11)

其中,α>1，β>0,則后驗分布可得

π(λ|n)=π(λ;α,β)L(λ|n)∝

exp{-βλ+(α-1)lnλ+lnL(λ|n)}

(12)

對式(12)取對數(shù)并求二階導數(shù)可得

(13)

因此,超參數(shù)λ的后驗分布為對數(shù)凹分布,可以采用[17]中對于對數(shù)凹分布產(chǎn)生隨機數(shù)的方法生成足夠多的隨機樣本,進而采用求樣本均值的方法實現(xiàn)超參數(shù)的精確后驗估計。

設生成服從后驗分布的隨機樣本為λi(i=1,2,…,N),則超參數(shù)λ的后驗期望估計為

(14)

后驗方差為

(15)

區(qū)間估計下限估計為

?

(16)

(17)

當沒有先驗信息可用時,需要引入無信息先驗或弱信息先驗分布。比如引入無信息先驗分布

π(λ)∝1

(18)

時,相當于式(12)中的后驗分布退化為似然函數(shù)形式,此時后驗分布的二階導數(shù)仍然小于零,即式(13)中的參數(shù)α取1時的情況,也就是后驗分布仍然為對數(shù)凹分布,依然可以采用上述方法生成隨機樣本。因此,在共軛先驗分布條件下給出的后驗期望、后驗方差和區(qū)間估計公式對無信息先驗分布同樣適用。

此外,在引入無信息先驗條件下,生成超參數(shù)后驗分布的隨機樣本后,可以根據(jù)超參數(shù)的先驗分布對先驗分布的參數(shù)α和β進行最大似然估計[18]

(19)

式中,校正因子μ=(N-1)/(N+2)。

2 仿真數(shù)據(jù)處理與分析

為了方便實驗分析,不妨設量化間隔Δ取值為1。取參數(shù)λ的真值為1,即α=β,在取不同α和β參數(shù)值情況下,先驗分布如圖1所示,顯然取值越大,分布越集中,這也意味著引入的先驗信息越多。

圖1 不同參數(shù)下的先驗分布Fig.1 Prior distributions under different parameter values

生成50個服從瑞利分布的隨機樣本,在量化截斷后取值情況如表1所示,量化后的數(shù)值僅包含0、1、2共3種數(shù)值。

表1 截斷量化后瑞利噪聲取值情況

如果將量化后樣本仍然按照瑞利分布來估計參數(shù)數(shù)值,那么按照式(2)估計參數(shù)λ可得

(20)

顯然,估計值遠離真值1。相比之下,如圖2所示,極大似然估計為0.972,無信息先驗條件下的貝葉斯估計為1.003,后驗方差為0.03,后驗區(qū)間估計為[0.49,1.95],估計結果均遠優(yōu)于式(20)的估計值。需要說明的是,極大似然估計的偏差并不是優(yōu)化誤差,而是極大似然函數(shù)本身存在的偏差,這也說明引入先驗分布進一步修正似然函數(shù)曲線的必要性。

圖2 對數(shù)似然函數(shù)曲線與估計結果Fig.2 Logarithm likelihood function curves and the associated estimates

雖然量化截斷后的瑞利分布參數(shù)的共軛分布不是Gamma分布,但從圖3來看,一方面按照對數(shù)凹分布生成的隨機樣本與后驗分布符合較好;另一方面,后驗分布與Gamma分布非常接近,在一定程度上說明采用Gamma分布作為先驗分布的合理性。

圖3 服從后驗分布的隨機樣本分布Fig.3 Histogram of the posterior distributed samples

在無信息先驗條件下,貝葉斯估計不僅可以給出后驗期望,同時還可以給出共軛先驗分布參數(shù)的估計值。使用上述50個隨機樣本可以估計出先驗分布參數(shù),相應的分布曲線如圖4所示。

圖4 無信息先驗條件下的先驗分布估計Fig.4 Parameter estimation of the noninformative prior distribution

在共軛先驗分布參數(shù)估計的基礎上,進一步生成50個隨機樣本,并執(zhí)行1 000次蒙特卡羅分析,可得極大似然估計、無信息先驗貝葉斯估計和共軛先驗貝葉斯估計結果的分布情況,如圖5所示。

圖5 不同估計方法1 000次估計值的分布直方圖Fig.5 Histograms of 1 000 estimates with different estimation algorithms

從實驗結果看,與極大似然估計相比,無信息先驗貝葉斯估計性能改善不明顯,這主要是引入的先驗本質(zhì)上并未增加信息的緣故,同時,無信息先驗貝葉斯估計是利用參數(shù)分布求解的參數(shù)的后驗期望估計,極大似然估計是求解使參數(shù)分布最大的參數(shù)得到的,前者更為充分的運用的樣本數(shù)據(jù),因此性能略有改善。而共軛先驗貝葉斯估計由于引入了有效的先驗信息,使得估計結果更集中于真值附近,即在先驗分布的作用下降低了估計方差。

3 結 論

本文針對截斷量化瑞利噪聲的估計問題,推導了噪聲的統(tǒng)計分布,通過證明極大似然函數(shù)的凸函數(shù)性質(zhì)和貝葉斯后驗分布的對數(shù)凹分布性質(zhì),提出了極大似然和貝葉斯估計方法。通過設計仿真實驗，利用生成的截斷量化后瑞利噪聲樣本進行統(tǒng)計推理，不僅驗證了所提統(tǒng)計估計算法的有效性,還直觀反映了引入先驗信息對參數(shù)估計精度的影響。