例析數(shù)學(xué)思想在解決函數(shù)問題中的滲透

江蘇省鹽城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三（28）班 周文昊

數(shù)學(xué)思想是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，它有著普遍的應(yīng)用意義，是歷年高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，有關(guān)函數(shù)問題的解題中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。同學(xué)們?cè)诮忸}的過程中若是能夠充分、靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，則可以使得許多問題快速、準(zhǔn)確地得到解答。筆者結(jié)合做題實(shí)踐，現(xiàn)將一些常見的數(shù)學(xué)思想方法通過函數(shù)例題的形式給同學(xué)們做一簡(jiǎn)單呈現(xiàn)，希望為讀者了解數(shù)學(xué)思想方法以及對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)提供一些幫助。

一、換元思想

換元是通過引入一個(gè)或者多個(gè)新元來替換題目中的舊元，從而創(chuàng)造條件，化難為易，變繁為簡(jiǎn)，使得問題得以解決。

分析：本題看似無從下手，但是通過分析可以發(fā)現(xiàn)4x是2x的平方，因此本題可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于2x的二次函數(shù)，利用換元法將2x替換出來。

解：令t=2x，因?yàn)閤∈[0,2]，所以t=2x∈[1,4]。

評(píng)注：本題屬于可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題的求解，這類題型一般與換元法相結(jié)合，但是要注意換元后的新函數(shù)的定義域的變化對(duì)解題的影響。

二、數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想，是指在一定條件下將數(shù)與形進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。借助圖形的性質(zhì)將那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀形象，以便于探究解題思路或找到問題的結(jié)論。數(shù)形結(jié)合思想方法具有直觀性與靈活性等特點(diǎn)。

評(píng)注：“以形助數(shù)”是已知兩個(gè)圖象交點(diǎn)問題求參數(shù)范圍常用的方法，解決此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出不含參數(shù)的函數(shù)圖象，并標(biāo)清關(guān)鍵點(diǎn)，對(duì)于含參數(shù)的圖象，要注意結(jié)合條件作出符合題意的圖形。

三、分類討論思想

分類討論思想具有明顯的邏輯特點(diǎn)，利用分類討論的方法解決問題的實(shí)質(zhì)就是將整體問題化成部分來解決。注意要化成部分問題，就要增加題設(shè)的條件。

即x（x+a-2）≤0，

由f '（x）=0得x=0或x=2-a，又因?yàn)?＜a＜4，

所以：當(dāng) 0＜a＜2 時(shí)，由 f '（x）＜0 得 0＜x＜2-a；

當(dāng)a=2時(shí)，f '（x）≥0；

當(dāng) 2＜a＜4 時(shí)，由 f '（x）＜0 得 2-a＜x＜0。

綜上：當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2-a），

當(dāng)2＜a＜4時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（2-a，0）。

評(píng)注：本題中求單調(diào)減區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解含參數(shù)的不等式f '（x）≤0。分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是f '（x）=0的兩個(gè)根0和2-a的大小。

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，使用該思想方法來解題時(shí)的原則是將所求問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解的或者已經(jīng)解決的問題來進(jìn)行求解。

則對(duì)任意a∈（0，+∞），g（a）＞0恒成立的充要條件是g（0）≥0，

評(píng)注：變量分離是求解含參問題的重要方法。

五、函數(shù)與方程思想

所謂函數(shù)思想是指用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系。方程思想是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系。

分析：函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率就是在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，因此可以利用函數(shù)的切線的斜率及點(diǎn) 列方程組，求出a，b。

由切點(diǎn) 在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9。

評(píng)注：導(dǎo)數(shù)的幾何意義為該點(diǎn)處的切線斜率。

六、構(gòu)造思想

所謂構(gòu)造思想就是指在對(duì)問題進(jìn)行透徹分析，對(duì)其實(shí)質(zhì)進(jìn)行深刻了解的基礎(chǔ)上，借助于邏輯分析和長(zhǎng)期積累的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮高度想象和創(chuàng)造性，將原來的問題從原來的模式轉(zhuǎn)化為更能反映其本質(zhì)特征的新模式的思想方法。

例6 假設(shè)x，y，z∈R，且x，y，z的絕對(duì)值均不大于1，求證：xy+yz+zx+1≥0。

分析：本題變量太多，且題設(shè)條件太少，若是直接通過不等式的相關(guān)知識(shí)直接求證，則困難較大。此時(shí)我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，利用函數(shù)的知識(shí)來解決可能要容易的多。

評(píng)注：本題在多個(gè)變量的情況下，應(yīng)該抓住一個(gè)主元作為變量，根據(jù)題目給定的式子的基本特征，成功地構(gòu)造出關(guān)于x的一次函數(shù)，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，使問題簡(jiǎn)單化，也就容易對(duì)問題進(jìn)行解決。

以上例舉了幾種常見的數(shù)學(xué)思想方法在函數(shù)問題解決中的運(yùn)用。由于數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用非常廣泛而且靈活，因此,要想熟練自如地運(yùn)用它來解決數(shù)學(xué)問題，還需要同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過程中學(xué)會(huì)歸納與總結(jié)。