“種子”的力量

楊世華

中考復(fù)習(xí)是對(duì)初中所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的整體梳理過(guò)程和對(duì)知識(shí)應(yīng)用的熟練和深化階段.如何把初中所學(xué)寵大、繁雜的知識(shí)系統(tǒng)科學(xué)合理地梳理成簡(jiǎn)潔而又簡(jiǎn)單的，易于學(xué)生記憶、理解、掌握的知識(shí)體系，是教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中難以攻克的難題.怎樣解決這個(gè)難題呢？下面以方程、不等式、函數(shù)的復(fù)習(xí)為例，談?wù)勎业目捶?

談到對(duì)方程、不等式和函數(shù)的認(rèn)識(shí)，大家會(huì)想到通過(guò)函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想建立起方程、不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系.

認(rèn)真想一想，這樣做是把方程、不等式及函數(shù)看成了獨(dú)立的個(gè)體，再通過(guò)函數(shù)建立起幾個(gè)個(gè)體之間的聯(lián)系.如何才能真正建立起它們之間本質(zhì)上的聯(lián)系呢？

如果把方程、不等式及函數(shù)這一知識(shí)體系比作一棵繁茂的大樹(shù)，那么這棵繁茂的大樹(shù)只源于一顆種子.現(xiàn)在，我們通過(guò)尋找一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)這棵大樹(shù)的種子的過(guò)程再次認(rèn)識(shí)方程、不等式、函數(shù)之間的聯(lián)系，從而把繁雜的知識(shí)點(diǎn)梳理得簡(jiǎn)潔而又簡(jiǎn)單.

一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式叫做一元一次方程；使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.其一般形式為：ax+b=0（其中a、b為常數(shù)，a≠0）；

一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不等式；使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.不等式的所有解組成這個(gè)不等式的解集.其一般形式為：ax+b>0或ax+b<0（其a、b為常數(shù)，a≠0）；

一次函數(shù)：一般地，形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做一次函數(shù).其中x是自變量，y是因變量，k為一次項(xiàng)系數(shù)，y是x的函數(shù).我們也可以把它寫(xiě)成y=ax+b的形式，其中a=k.

觀察上面三個(gè)數(shù)學(xué)式：

ax+b=0

ax+b>0

y=ax+b

一元一次方程ax+b=0是研究當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式ax+b的值為零；一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0是研究當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式ax+b的值為正或?yàn)樨?fù)；一次函數(shù)y=ax+b是研究隨著自變量x值的變化，代數(shù)式ax+b的值的變化情況.我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來(lái)初中階段我們學(xué)習(xí)的一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)這一繁雜的知識(shí)體系，只是研究ax+b這個(gè)代數(shù)式的值與x的值之間的關(guān)系.也就是說(shuō)，我們只是系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了ax+b這一個(gè)代數(shù)式.從這個(gè)角度看，原來(lái)學(xué)習(xí)的一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)就顯得尤為簡(jiǎn)單、簡(jiǎn)潔了.而ax+b這個(gè)代數(shù)式就是一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)這棵繁茂大樹(shù)的種子.

在復(fù)習(xí)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)繁雜的知識(shí)認(rèn)清知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣復(fù)習(xí)能使學(xué)生將知識(shí)融會(huì)貫通；這樣復(fù)習(xí)能讓學(xué)生掌握認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律（從特殊到一般）；這樣復(fù)習(xí)既簡(jiǎn)化了知識(shí)，方便了記憶，又深化了理解，更利于應(yīng)用.

下面，我們?cè)偻ㄟ^(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，形象地觀察ax+b的值與x的值之間的關(guān)系.

我們知道，x與ax+b相對(duì)應(yīng)的值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面上的點(diǎn)集是一條直線(xiàn).其圖像如圖所示：

從圖中我們可以看出，x0是代數(shù)式的值為0時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.也就是說(shuō)，x0是一元一次方程ax+b=0的解；x< x0是代數(shù)式ax+b的值小于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的所有值組成的集合，也就是一元一次不等式ax+b<0的解集；x>x0是代數(shù)式ax+b的值大于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的所有值組成的集合，也就是一元一次不等式ax+b>0的解集；而一次函數(shù)y=ax+b則是全面討論x為全體實(shí)數(shù)時(shí)與代數(shù)式ax+b的值的對(duì)應(yīng)情況.從中我們能看到一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)三者的內(nèi)在聯(lián)系：研究代數(shù)式ax+b的值與x的值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.可以用下圖來(lái)展示代數(shù)式ax+b與一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)之間的生長(zhǎng)關(guān)系.

在這個(gè)圖中我們能清晰地看出一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而更好地形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使三者渾然一體.

類(lèi)似地，我們?cè)倏匆辉畏匠?、一元二次不等式、二次函?shù)之間的聯(lián)系，去尋找這棵大樹(shù)的種子.

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（即所有一元二次方程經(jīng)整理都能得到的形式）是ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）.

只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 （a、b、c為常數(shù)，且a≠0）.

一般地，把形如y=ax2+bx+c （a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).x為自變量，y為因變量.

不難看出，這一棵繁茂大樹(shù)的種子是代數(shù)式ax2+bx+c.也就是說(shuō)我們初中學(xué)習(xí)的一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)這一繁茂的知識(shí)大樹(shù)，也只是為了研究代數(shù)式ax2+bx+c的值與x的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如下圖）.

用圖來(lái)展示代數(shù)式ax2+bx+c與一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)之間的生長(zhǎng)關(guān)系如下.

從圖中我們能清晰地看出一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而更好地形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使三者渾然一體.

窺一斑而知全豹，很多知識(shí)都有著內(nèi)在的聯(lián)系，只要善于觀察、總結(jié)，都能找到那顆種子.

例如，我們?cè)趶?fù)習(xí)“相交線(xiàn)與平行線(xiàn)”時(shí)，關(guān)于角的概念和性質(zhì)很多：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定等，這些概念和性質(zhì)看似相對(duì)獨(dú)立，其實(shí)他們都是“如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”這一定理的特殊形式.如圖：

通過(guò)對(duì)這幾個(gè)圖形的觀察與理解，它們之間的內(nèi)在聯(lián)系及生長(zhǎng)點(diǎn)就一目了然了.

學(xué)生只要將“如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”理解透徹，就能很好地把對(duì)頂角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定定理及性質(zhì)定理等內(nèi)容構(gòu)建成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

又如：在復(fù)習(xí)時(shí)，不要就某一道題來(lái)介紹它運(yùn)用了哪一種數(shù)學(xué)方法，而應(yīng)該從對(duì)各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，系統(tǒng)地總結(jié)某種數(shù)學(xué)方法能夠解決哪一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想與方法的重要性：它是一顆種子，放在哪里都會(huì)生根、開(kāi)花、結(jié)果.

中考復(fù)習(xí)時(shí)間緊、內(nèi)容繁雜，如果教師在進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)懂得發(fā)揮“種子”的力量，以此引導(dǎo)學(xué)生抓住知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，形成科學(xué)合理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，就能幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)過(guò)程變得簡(jiǎn)單而又深刻.

編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com