對(duì)圓錐曲線(xiàn)教學(xué)中離心率問(wèn)題的探究與思考

周建峰

數(shù)學(xué)大師波利亞指出：“我們靠推理論證來(lái)肯定我們的數(shù)學(xué)知識(shí)，而靠合情推理來(lái)為我們的猜想提供依據(jù).”求離心率及范圍問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，是考查學(xué)生素質(zhì)和能力的綜合問(wèn)題，要求學(xué)生能從復(fù)雜的變量關(guān)系中抓住主要矛盾，建立關(guān)于離心率或a或c的方程或不等式，借助一些條件求出離心率的范圍.

一、演繹定義，激活學(xué)習(xí)趣味

華羅庚曾說(shuō)：新的數(shù)學(xué)方法和概念常常比解決數(shù)學(xué)問(wèn)題本身更重要.如果有學(xué)生感到某個(gè)數(shù)學(xué)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過(guò)程，它的應(yīng)用以及它與其他概念的聯(lián)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)概念實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的，不僅合情合理，甚至很有人情味.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)給學(xué)生提供必要的案例進(jìn)行演示和學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察能力和思維能力.

在橢圓或雙曲線(xiàn)中，已知a、c的值可直接求離心率，也可用轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)求，例如在橢圓中，e=■=■，在雙曲線(xiàn)中，e=■=■，只須求■即可.

例1：已知雙曲線(xiàn)C：■-■=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，│F1F2│=8，P是雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn)，PF1與y軸交于點(diǎn)A，△PAF2的內(nèi)切圓與AF2相切于點(diǎn)Q，若│AQ│=2，求曲線(xiàn)C的離心率.

解：如圖所示，設(shè)△PAF2的內(nèi)切圓與PF2相切于點(diǎn)M，依題意知：│AF1│=│AF2│，由雙曲線(xiàn)定義及P是雙曲線(xiàn)C右支上的一點(diǎn)，得2a =│PF1│-│PF2│，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，得│PF1│=│AF1│+│PA│=│AF1│+ （│PM│+│AQ│） ，

│PF2│=│PM│+│MF2│=│PM│+│Q F2│= │PM│+ （│AF2│-│AQ│） ，

所以2a=2│AQ│=4，即a=2，

又因│F1F2│=8，所以c=4，

則雙曲線(xiàn)C的離心率e=■=2.

例2：已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與圓（x-2）2+（y-1）2=R2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線(xiàn)EF過(guò)圓心，且直線(xiàn)EF的斜率k=-■，求橢圓的離心率.

解：設(shè)橢圓方程為：■+■=1（a>b>0），E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則有■+■=1，■+■=1，

兩式相減，整理得■+■=0.

EF是直徑，

∴線(xiàn)段EF中點(diǎn)是（2，1），且x1≠x2，則

x1+x2=4，y1+y2 =2.

∴■+■=0.

即 k=■=-■=-■ .

∴■=■.

∴e=■=■.

二、拓展定義，激發(fā)學(xué)生猜想

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，既要從一般概念中看到具體背景，不使概念“空洞”化，又要在具體例子中想到它蘊(yùn)含的一般概念，以使事物有“靈魂”.牛頓說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想，就不可能有偉大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn).”因此，教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)和幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行拓展，類(lèi)比著學(xué)，聯(lián)系著學(xué)，由“離心率e是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離之比”這個(gè)第二定義求取離心率.

例3：已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線(xiàn)段BF的延長(zhǎng)線(xiàn)交C于點(diǎn)D，且■=2■，求橢圓的離心率.

解：如圖，│BF│=■=a，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，則由■=2■有：

■=■=■，

∴│DH│=■│OF│=■C，即xD =■ .

由第二定義知：│FD│=e（■-■）=a-■，

又由■=2■，有a=2a-■.

∴3c2= a2.

∴e2=■， 即e=■ .

教育過(guò)程重在啟發(fā)人的思索，強(qiáng)調(diào)人的內(nèi)心自覺(jué).教師的教學(xué)不是簡(jiǎn)單的對(duì)生活的模仿或解釋?zhuān)寣W(xué)生有所思、有所悟，在他們的成長(zhǎng)中留下痕跡，以便讓他們更好地成長(zhǎng)，更好地生活.

三、建立關(guān)系，培養(yǎng)直覺(jué)思維

克魯捷茨基認(rèn)為：“一個(gè)人的能力只有通過(guò)活動(dòng)才能形成和發(fā)展.”數(shù)學(xué)理論的抽象性通常都以某種“直觀”的想法為背景，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生建立a，b，c三量之間關(guān)系，成功求取離心率.

例4：設(shè)雙曲線(xiàn)■+■=1（a>0，b>0）的半焦距為c，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為■c，求雙曲線(xiàn)離心率.

解：直線(xiàn)的方程為■+■=1，即bx+ay-ab=0，由原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離d=■=■c.

有3c4=16a2b2=16a2（c2-a2），

即3c4-16c2a2+16a4=0

則3e4-16e2+16=0 ，

解得：e2 =4或e2 =■.

由b>a>0得b2>a2，

即c2-a2>a2，e2>2.

∴ e2 =4，即 e =2.

由此看來(lái)，具備豐富的經(jīng)驗(yàn)和掌握常見(jiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律，大膽地建立數(shù)學(xué)關(guān)系、探索解題方向能提高學(xué)生直覺(jué)思維.正如布魯納所說(shuō)：“結(jié)構(gòu)的理解能使學(xué)生從中提高他直覺(jué)地處理問(wèn)題結(jié)果.”

四、挖掘條件，提升推理能力

數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)本身賴(lài)以獲得真理的重要手段就是歸納與類(lèi)比.”求離心率范圍的問(wèn)題，應(yīng)找出題中不等關(guān)系，也應(yīng)注意對(duì)題中隱含條件的挖掘.

例5：已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2 =60？紫，求橢圓離心率的范圍.

解：設(shè)橢圓方程為■+■=1（a>b>0），

在△F1PF2 中，由余弦定理得：

│F1F2│2 =│PF1│2+│PF2│2-2│PF1│·│ PF2│cos∠F1PF2 ，

∴ 4c2=4a2-3│PF1│·│ PF2│，

∴│PF1│·│ PF2│=■.

又∵ │PF1│·│ PF2│=■≤a2 ，

∴■≤a2，即■≥■ ，

∴e2≥■，

∴■≤e<1.

求解圓錐曲線(xiàn)離心率相關(guān)問(wèn)題常用方法很多，直接根據(jù)題意建立a，c關(guān)系求解；借助平面幾何關(guān)系建立a，c關(guān)系求解；利用圓錐曲線(xiàn)相關(guān)性質(zhì)建立a，c關(guān)系求解；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合建立a，c關(guān)系求解；運(yùn)用函數(shù)思想和均值不等式建立a，c關(guān)系求解；由點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系建立a，c關(guān)系求解；運(yùn)用差別式建立a，c關(guān)系求解；利用圓錐曲線(xiàn)重要結(jié)論建立a，c關(guān)系求解.總之，將數(shù)量關(guān)系與邏輯思維滲透到課堂的每一個(gè)細(xì)節(jié)，讓學(xué)生在解題中不經(jīng)意間明白大道理，是數(shù)學(xué)教師真摯的追求.

我們的教學(xué)常常被放在高、大、上的位置，我們總是抱怨缺少素材、缺少經(jīng)歷，其實(shí)一切都在我們身邊、學(xué)生身邊.“世界不是沒(méi)有美，只是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛”，我們總覺(jué)得對(duì)自己的周?chē)苁煜ぃ鲜窍胫催h(yuǎn)處的風(fēng)景，卻意識(shí)不到身邊的景色也很美.教學(xué)中的源頭活水需要用心觀察才能發(fā)現(xiàn)，所以我們應(yīng)該做一個(gè)有心人，做教學(xué)的有心人，讓來(lái)自學(xué)生身邊的源頭活水成為點(diǎn)燃課堂的靈動(dòng)之火.

編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com