最大速度在哪里

鄭 琦

(浙江省蕭山中學(xué) 浙江 杭州 311201)

1 原題展示

教學(xué)時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到這樣一道題.

【題1】如圖1所示，固定的光滑豎直圓軌道半徑為R，圓心為O，AB為豎直方向上的直徑.一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的小球緊貼圓軌道內(nèi)壁做圓周運(yùn)動(dòng)，過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度為v0，試求最大壓力的位置和它的大小.

圖1 題1附圖

解析：由機(jī)械能守恒可知A點(diǎn)即為最大速度處，而最大壓力也必然在A點(diǎn).具體證明如下.

如圖2所示，假設(shè)某時(shí)刻小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，C處位置用角度θ表示，C處速度記為vC.

圖2 題1解析用圖

由機(jī)械能守恒定律和C處向心力公式，可列出以下關(guān)系

聯(lián)立以上兩式，可得

說(shuō)明：(1)θ可取范圍為[0,π]，cosθ單調(diào)遞減，N也單調(diào)遞減.

可知A處壓力最大，為

B處壓力最小，為

(2)要完成完整圓周運(yùn)動(dòng)的條件就是能保證通過(guò)B點(diǎn)，即在B點(diǎn)處要求不脫離軌道，即

得

(3)A，B兩點(diǎn)的壓力大小之差恒為定值

NA-NB=6mg

2 思考與拓展

上題中的圓軌道是光滑的，那么如果它是粗糙的呢？最大速度還會(huì)在A點(diǎn)嗎？壓力最大也在A點(diǎn)嗎？如果不是，它們分別在哪里？并且兩個(gè)最大值的位置會(huì)在同一位置嗎？

【題2】固定的粗糙豎直半圓面，半徑為R，圓心為O，PQ為水平直徑.從P點(diǎn)靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m并可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，它與軌道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)恒為μ，試求：

(1)最大速度的位置和大小;

(2)最大壓力的位置和大小.

(兩個(gè)位置可用角量θ表示)

圖3 題2附圖

分析：速度的大小變化由切向加速度決定，如圖4所示,設(shè)軌道最低點(diǎn)為M,對(duì)小球在軌道上任意位置時(shí)，寫出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程.

圖4 題2解析用圖

切向：

maτ=mgcosθ-μN(yùn)

(1)

法向：

(2)

(1)定性判斷

(2)半定量證明兩者不在同一位置及先后關(guān)系

把式(1)、(2)用角量表示

(3)

mgcosθ1=μN(yùn)(θ1)

故

所以當(dāng)θ=θ1時(shí)

而θ=θ2時(shí)

故

(4)

即A點(diǎn)和B點(diǎn)是不重合的.小球先到達(dá)速度最大處，然后再到達(dá)壓力最大處.

(3)定量計(jì)算它們的位置和大小

由式(3)得到

考慮到

方程兩邊同乘dθ，得

移項(xiàng)

即

這是一個(gè)關(guān)于f(θ)的一階線性微分方程，兩邊同乘e2μθ，有

e2μθf(wàn)′(θ)+2μe2μθf(wàn)(θ)=

即

左右同時(shí)積分并注意到等式右邊部分應(yīng)用分部積分方法，得到

考慮初始條件：θ=0時(shí)f(θ)=0，得

即

(5)

(6)

速度最大時(shí)，要求

即

(7)

壓力最大時(shí)，要求

即

(8)

說(shuō)明：

(1)式(7)、(8)為超越方程，沒有解析解，只能用數(shù)值模擬逼近，可參考文獻(xiàn)[1]，筆者用計(jì)算格代數(shù)值模擬得到圖5.

(2)比較式(7)、(8)可知式(7)成立時(shí)的θ1確實(shí)比式(8)成立時(shí)的θ2略小，與式(3)和圖5都吻合.

數(shù)值模擬各參數(shù)如下：

v0=4 m/s,θ0=0,g=10 g/s2,m=1 kg,R=1 m,μ=0.1.

圖5 數(shù)值模擬圖

3 結(jié)束語(yǔ)

高中物理中的許多問(wèn)題，如果細(xì)細(xì)追究會(huì)有很多這樣類似的問(wèn)題存在，對(duì)于這些問(wèn)題的深度挖掘和拓展，既能提高物理教師的專業(yè)水平，又能提高命題水平和試題辨析能力，使試題更加科學(xué)，也能更好地幫助學(xué)生少走許多彎路.