巧選參考系在相對運動中的應(yīng)用

湖北

蔡華生

在追及相遇問題、滑塊—木板模型以及傳送帶問題中，經(jīng)常是兩個物體之間發(fā)生相對運動，這時如果分別研究兩個物體的運動過程會很繁瑣，即分別求出兩個物體的對地位移，再求相對位移,費時費力，且由于解題步驟較多、運算量較大而容易出錯。如果改變參考系，從相對運動角度來解，能省去很多中間量的求解過程，使運算量大為減少，是解決這類問題的一條捷徑。下面通過三道例題進(jìn)行探討。

【例1】甲、乙兩物體相距100 m，沿同一直線向同一方向運動，乙在前、甲在后，以下情況中，甲可以追上乙的是 ( )

A．甲的初速度為20 m/s，加速度為1 m/s2；乙的初速度為10 m/s，加速度為2 m/s2

B．甲的初速度為10 m/s，加速度為2 m/s2；乙的初速度為30 m/s，加速度為1 m/s2

C．甲的初速度為30 m/s，加速度為1 m/s2；乙的初速度為10 m/s，加速度為2 m/s2

D．甲的初速度為10 m/s，加速度為2 m/s2；乙的初速度為20 m/s，加速度為1 m/s2

下面的例2是2015年全國卷Ⅰ第25題，在求第二問木板的最小長度時用這種方法來做比普通方法簡潔很多。

【例2】一長木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物塊，在木板右方有一墻壁，木板右端與墻壁的距離為 4.5 m，如圖1中甲所示。t=0時刻開始，小物塊與木板一起以共同速度向右運動，直至t=1 s時木板與墻壁碰撞(碰撞時間極短)。碰撞前后木板速度大小不變，方向相反；運動過程中小物塊始終未離開木板。已知碰撞后1 s時間內(nèi)小物塊的圖線如圖1中乙所示。木板的質(zhì)量是小物塊質(zhì)量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2。求：

(1)木板與地面間的動摩擦因數(shù)及小物塊與木板間的動摩擦因數(shù) ；

(2)木板的最小長度；

(3)木板右端離墻壁的最終距離。

【解析】對第二問，先求出碰撞后兩物體加速度的大小

a2=4 m/s2

小物塊恰好能運動到木板的右端，達(dá)到共同速度時小物塊與木板的相對位移等于木板的長度，則木板的最小長度

【例3】如圖2所示，質(zhì)量M=4.0 kg的長木板B靜止在光滑的水平地面上，在其右端放一質(zhì)量m=1.0 kg的小滑塊A(可視為質(zhì)點)。初始時刻，A、B分別以v0=2.0 m/s向左、向右運動，最后A恰好沒有滑離B板。已知A、B之間的動摩擦因數(shù)μ=0.40，取g=10 m/s2。求木板B的長度l。

【解析】首先容易求出：aA=4 m/s2，aB=1 m/s2。

【方法一】分兩個階段分別求相對位移，然后相加。

第一個階段A向左減速到速度為0，B向右減速運動，則有

Δx1=xA+xB=1.375 m

第二個階段A向右加速，B繼續(xù)向右減速運動直到兩者達(dá)到共同速度v共，則v共=aAt2=v0-aB(t1+t2)

t2=0.3 s

木板B的長度l=Δx1+Δx2=1.6 m。

【方法二】不分階段，直接求A、B全程位移。

取水平向右為正方向，經(jīng)時間t，A、B達(dá)到共同速度v共，有v共=v0-aBt=-v0+aAt

l=xB-xA=1.6 m。

【方法三】利用動量與能量求解。

由動量守恒有Mv0-mv0=(M+m)v共

聯(lián)立解得l=1.6 m。

【方法四】用相對運動(以長木板為參考系)法。

比較發(fā)現(xiàn)，四種解法繁簡程度天壤之別，巧選參考系在這類問題中的優(yōu)勢明顯。只要兩個物體在運動過程中的加速度不變，考慮兩個物體之間的相對位移時，這種做法都比較簡單，尤其是兩物體最終達(dá)到共同速度，即相對末速度為0的情況，這種做法尤其顯得簡潔。