錯位相減法的滿分解法

摘 要 錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，且也是高考的高頻考點、重點、難點，錯位相減法結(jié)果的化簡復(fù)雜而繁瑣，所以我們將采取公式的形式來計算錯位相減法的結(jié)果，將非標(biāo)準(zhǔn)題型化歸為 ，從而達到公式求解的目的。

關(guān)鍵詞 錯位相減法；化歸；標(biāo)準(zhǔn)題型

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）33-0216-01

數(shù)列模塊，是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是高考必考的知識點。而在求數(shù)列的前n項和問題中，錯位相減法，是高中同學(xué)的噩夢。因此，找到合適的公式解法可以略去諸多計算方面的繁雜，并且能夠保證結(jié)果的絕對正確性。

一、錯位相減法概述

錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，在人教A版《數(shù)學(xué)5》[1]中在等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)的方法就使用到了錯位相減法。在平時模擬考試或者是高考中，錯位相減法也經(jīng)常涉及，是高考的一個高頻高點、重點、難點。而且我們大部分老師都為學(xué)生總結(jié)了這樣的題型，當(dāng)數(shù)列的通項公式是一次函數(shù)×等比數(shù)列時用錯位相減法。但是由于錯位相減法復(fù)雜而繁瑣的計算，使得學(xué)生感到力不從心，即使知道用錯位相減法解此題，但是結(jié)果往往算不出來。所以我將從這一現(xiàn)實出發(fā)，尋求一個公式來有效解決錯位相減法的結(jié)果算不對的問題。

二、公式推導(dǎo)

我們不妨將“數(shù)列 ，（ ）求該數(shù)列的前 項和”稱為錯位相減法的“標(biāo)準(zhǔn)題型”，下面我們用錯位相減法來求該數(shù)列的和：

解：

兩式相減得：

化簡可得： ，令 ，

則 ，令 ，

則 （其中 ， ）

三、例題講解

例1：求數(shù)列 的前 項和 。

解：

兩式相減得：

化簡可得：

其中 的求解過程請在草稿紙上完成如下

，從而

例2：求數(shù)列 的前 項和 。

解：

兩式相減可得：

化簡可得：

其中 的求解過程請在草稿紙上完成如下：

由于此題給的通項公式并不是標(biāo)準(zhǔn)形式，所以我們自然想到將其化歸為標(biāo)準(zhǔn)形式： ，即 ，所以 ，

從而

例3：求數(shù)列 的前 項和 。

解：設(shè)

則

兩式相減得：

化簡可得：

其中 的求解過程請在草稿紙上完成如下：

草稿紙上化歸標(biāo)準(zhǔn)題型并計算： ，即 ，代入公式即可得

從而

四、結(jié)束語

由于課堂上教師講解錯位相減法的應(yīng)用時，舉的例子幾乎都是上述“等差乘等比型”數(shù)列的求和，因此大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為錯位相減法也就只能應(yīng)用在這種類型的數(shù)列求和上，但實際上并非如此，在數(shù)學(xué)解題過程中，應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)問題的不同特點與要求，正確區(qū)分不同類型的數(shù)學(xué)問題，分別采用不同的推理思想。

參考文獻：

[1]高中數(shù)學(xué)必修5[M].人民教育出版社，2006.

作者簡介：顧超（1986-），男，彝族，本科，教師，籍貫：貴州赫章，研究方向：高中數(shù)學(xué)。