積分在求和中的應(yīng)用

王有利

摘 要：本文以積分的產(chǎn)生與發(fā)展作為切入點(diǎn)， 介紹了積分的性質(zhì)， 論述了積分在數(shù)列求和中的應(yīng)用，拓寬積分的應(yīng)用范圍. 通過(guò)幾個(gè)例子， 一方面解決積分在求和中計(jì)算的方法， 另一方面舉例積分在不同學(xué)科內(nèi)的應(yīng)用， 如求極值問(wèn)題， 幾何應(yīng)用，經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用， 闡明積分的重要性和應(yīng)用的廣泛性。

關(guān)鍵詞：微積分 數(shù)列求和 求和

一、問(wèn)題研究的背景

數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性極強(qiáng)的學(xué)科， 積分學(xué)及其應(yīng)用作為高等數(shù)學(xué)的一個(gè)分支， 在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中的意義就更為顯著。它不僅是一門重要的數(shù)學(xué)分支， 而且在物理學(xué)， 生物學(xué)， 經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域及各種工程學(xué)科中有著極其重要的應(yīng)用。

微積分是世界近代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容， 也是近代數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展和拓展的重要基礎(chǔ)。微積分思想的萌芽出現(xiàn)得比較早， 中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的《 莊子 天下》 篇中的" 一尺之棰， 日取其半， 萬(wàn)事不竭" ， 就蘊(yùn)涵了無(wú)窮小的思想。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在公元前三世紀(jì)運(yùn)用杠桿原理推導(dǎo)出了球體的體積公式， 就包含了定積分的基本原理。之后， 帕斯卡在求曲邊圖形的面積時(shí)， 用到了“無(wú)窮小矩形”的思想并把無(wú)窮小概念引入數(shù)學(xué)， 為后來(lái)萊布尼茨的微積分的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。

積分求和是伴隨著微積分學(xué)一起發(fā)展起來(lái)的學(xué)科。 1686年， 萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》， 初步論述積分或求積問(wèn)題與微分或切線問(wèn)題的互逆關(guān)系。在這篇論文中， 積分號(hào)第一次出現(xiàn)在出版物上。積分求和有著深刻而生動(dòng)的實(shí)際背景， 它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生， 又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。積分求和成為了有自己的目標(biāo)和方法的新的數(shù)學(xué)分支。

近年來(lái)， 國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)積分求和做了許多研究， 無(wú)論是在深度還是廣度方面都取得了重大發(fā)展。 積分求和在理論和實(shí)踐過(guò)程中起著非常重要的作用。

二、本文的主要工作

第一部分給出積分的一些相關(guān)性質(zhì)， 這些性質(zhì)將為我們對(duì)積分在求和問(wèn)題中的研究奠定基礎(chǔ)。

第二部分利用積分的一般理論來(lái)找尋積分在求和應(yīng)用中的例子。

第三部分利用積分性質(zhì)， 逐步延深到積分在求和中的應(yīng)用。

三、預(yù)備知識(shí)

首先引入了一些性質(zhì)， 并再借助這些性質(zhì)簡(jiǎn)要介紹了本研究領(lǐng)域的發(fā)展現(xiàn)狀及相關(guān)結(jié)論。

通過(guò)上述三例說(shuō)明， 積分在不同學(xué)科內(nèi)的應(yīng)用， 是一種較好的解題方法， 同時(shí)， 也使我們認(rèn)識(shí)到積分與其他學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系。