具有不確定項(xiàng)的隨機(jī)非完整系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題研究

鞠桂玲， 杜 健， 顧 娟, 單彩虹

(陸軍裝甲兵學(xué)院基礎(chǔ)部， 北京 100072)

非完整系統(tǒng)產(chǎn)生于帶有非完整或不可積約束機(jī)械系統(tǒng)的控制問題，如輪式機(jī)器人、車載倒立擺、欠驅(qū)動(dòng)水下船舶等力學(xué)系統(tǒng)都可以歸結(jié)為非完整系統(tǒng)。近年來，非完整系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題得到了國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注[1-4]。然而，目前考慮系統(tǒng)中隨機(jī)性因素干擾的文獻(xiàn)相對(duì)較少，但關(guān)于隨機(jī)非完整系統(tǒng)的控制問題已得到了一些結(jié)果,如：WU等[5]考慮了一個(gè)三階非完整系統(tǒng)的控制問題;文獻(xiàn)[6-7]的作者考慮了x0-子系統(tǒng)帶有隨機(jī)性干擾的非完整系統(tǒng)的控制問題，但沒有考慮x0-子系統(tǒng)包含未知參數(shù)的情形，且文獻(xiàn)[7]中的不確定項(xiàng)需要滿足線性增長條件。因此，筆者以文獻(xiàn)[7]的模型為基礎(chǔ)，綜合考慮x0-子系統(tǒng)受非線性隨機(jī)因素影響及包含未知參數(shù)的情形，通過綜合運(yùn)用文獻(xiàn)[8-9]的參數(shù)分離技術(shù)、不等式放縮法與反推法，對(duì)一類具有非線性不確定項(xiàng)的隨機(jī)非完整系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題進(jìn)行研究。

1 問題提出

考慮如下具有非線性不確定項(xiàng)的隨機(jī)非完整系統(tǒng)：

(1)

成立。

成立。

假設(shè)1、2表明原點(diǎn)是系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)。實(shí)際系統(tǒng)中很多的不確定因素滿足該假設(shè)[2-3]。

假設(shè)3：對(duì)于任意的0≤i≤n，存在已知的正常數(shù)λi和μi，使得未知的方向參數(shù)di(t)滿足不等式

0<λi≤di(t)≤μi。

2 控制器的設(shè)計(jì)

控制器設(shè)計(jì)過程中用到如下3個(gè)引理。

引理1(參數(shù)分離技術(shù))[8]:對(duì)于任意的連續(xù)函數(shù)f(x,y)，其中x∈Rm,y∈Rn,存在光滑函數(shù)a(x)≥1和b(y)≥1,使得不等式

|f(x,y)|≤a(x)b(y)

成立。

引理2(不等式放縮法)[9]:假設(shè)x和y是2個(gè)實(shí)變量，對(duì)于任意的正整數(shù)m、n和任意的正實(shí)數(shù)ε，使得不等式

成立。

定義1[5]：考慮隨機(jī)非線性系統(tǒng)

dx=f(x,u)dt+gT(x)dω，

(2)

定義C2函數(shù)V(x)沿系統(tǒng)(2)的微分算子為

LV(x)

引理3[5]：考慮隨機(jī)非線性系統(tǒng)(2)，若存在一個(gè)C2函數(shù)V(x):D→R+，滿足

(3)

則系統(tǒng)(2)的解x=0依概率全局漸近穩(wěn)定。式中：α1(·)和α2(·)為K類函數(shù)；α3(·)為非負(fù)光滑函數(shù)。

為了處理系統(tǒng)(1)固有的三角結(jié)構(gòu)，分2個(gè)階段分別設(shè)計(jì)控制器u0和u，以使得x0和x-子系統(tǒng)的狀態(tài)依概率漸近穩(wěn)定。

2.1 控制器u0的設(shè)計(jì)

由引理1可知：存在光滑函數(shù)γ0(x0)≥1和未知參數(shù)Θ0≥1，使得不等式

(4)

成立。

取李亞普諾夫函數(shù)

(5)

(6)

(7)

(8)

根據(jù)式(2)、(4)、(5)，可得

(9)

由式(9)可知：在式(7)的控制器作用下，x0-子系統(tǒng)依概率漸近穩(wěn)定，且只要初始狀態(tài)x0(t0)≠0，則有x0(t)≠0(t≥t0，其中t0為系統(tǒng)的初始時(shí)刻)。

2.2 控制器u的設(shè)計(jì)

2.2.1 系統(tǒng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

當(dāng)初值x0(t0)≠0時(shí)，引入狀態(tài)-輸入坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

(10)

根據(jù)式(10)，式(1)中的xi-子系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為

(11)

式中：

f0(x0,θ))；

由假設(shè)2及引理1可知：對(duì)于任意的1≤i≤n, 存在光滑非負(fù)函數(shù)γi(·)、ξi(·)、ci(θ)和ei(θ)滿足

(12)

2.2.2 控制器u的設(shè)計(jì)步驟

采用反推法對(duì)控制器u進(jìn)行設(shè)計(jì)，其步驟如下：

步驟1： 取光滑虛擬控制器α1，定義誤差變量ε1=y1,ε2=y2-α1,及李亞普諾夫函數(shù)

(13)

dε1=d1(t)y2dt+φ1(·)dt+φ1(·)dω，

(14)

由式(12)-(14)可得

LV1(·)= LV0(·)+ε1(d1(t)y2+φ1(·))+

(15)

取虛擬控制函數(shù)

(16)

將式(16)代入式(15)，可得

(17)

步驟i：假設(shè)在第i-1步中，存在虛擬控制律αi-1和誤差變量εi，使得

(18)

成立。

取李亞普諾夫函數(shù)

(19)

式中：

對(duì)εi求導(dǎo)，由It微分公式可得

(20)

式中：

根據(jù)式(18)、(20)，可得

di(t)εiαi(·)+εiFi(·)+

(21)

由引理1、2，可得

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

式中：

均為待定的光滑函數(shù)。

由式(21)- (29)，可得

(30)

式中：

取虛擬控制函數(shù)

(31)

將式(31)代入式(30)，可得

(32)

步驟n：選取李亞普諾夫函數(shù)

(33)

式中:εn=yn-u，為誤差變量。

通過與步驟i類似的推導(dǎo)，可得

(34)

選取控制器及參數(shù)估計(jì)量

(35)

(36)

將式(35)、(36)代入式(34)，可得

(37)

由引理3及式(37)可知：y-子系統(tǒng)依概率全局漸近穩(wěn)定。結(jié)合坐標(biāo)變換式(10)可知：系統(tǒng)(1)是依概率全局漸近穩(wěn)定的。

3 切換控制策略及其主要結(jié)果

當(dāng)初值x0(t0)≠0時(shí)，已針對(duì)系統(tǒng)(1)分別給出了控制器(7)、(35)。由式(7)、(8)可知，此時(shí)u0=0，坐標(biāo)變換的分母為0。因此，不能采用控制器(5)、(35)。此時(shí)，設(shè)計(jì)控制器

(38)

定理：在假設(shè)1-3下，當(dāng)t≤t*時(shí)采用控制器(38)，當(dāng)t>t*時(shí)切換到控制器(5)，并通過反推法分別給出這2個(gè)時(shí)間段的控制器u，將其運(yùn)用于系統(tǒng)(1)，這樣對(duì)于任意初始值，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)依概率全局漸近收斂于0。

4 仿真實(shí)例

考慮下列非完整系統(tǒng)：

(39)

閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線和控制輸入曲線分別如圖1、2所示?？梢钥闯觯合到y(tǒng)的狀態(tài)和控制輸入曲線均趨向于0,驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。

5 結(jié)論

針對(duì)x0-子系統(tǒng)具有不確定項(xiàng)干擾的一類新的隨機(jī)非完整系統(tǒng)，筆者在考慮了系統(tǒng)中所具有的不確定因素的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用參數(shù)分離技術(shù)和反推法，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的自適應(yīng)反饋控制器。同時(shí)，為了避免x0初值為0時(shí)，發(fā)生有限時(shí)間逃逸現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了一種基于x0值的切換控制策略，該控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)依概率全局漸近收斂于0，通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性。

與文獻(xiàn)[7]的模型相比，本文所建立的模型中，x0-子系統(tǒng)的不確定干擾項(xiàng)不需要滿足線性條件，因此本文模型更具一般性，能更好地反映實(shí)際問題中存在的不確定干擾因素多屬于非線性函數(shù)的情況，是隨機(jī)非完整系統(tǒng)新的研究方向，而文獻(xiàn)[7]的模型可看作本文的一個(gè)特例。然而，筆者未考慮實(shí)際中存在的時(shí)滯情況。下一步，將對(duì)具有隨機(jī)不確定性的時(shí)滯非完整系統(tǒng)的控制問題進(jìn)行研究。