基于代理模型的汽車正撞安全性仿真優(yōu)化?

陳媛媛,鄭 玲

(重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院,機械傳動國家重點實驗室,重慶 400044)

前言

傳統(tǒng)的汽車碰撞安全研究方法為實車試驗法，但這種方法研究周期長，費用昂貴且對試驗設(shè)備和人員的要求較高。隨著計算機輔助分析技術(shù)的不斷發(fā)展和碰撞理論的逐漸成熟，汽車碰撞過程的有限元仿真得到實現(xiàn)，極大地縮短了開發(fā)周期。然而對于汽車碰撞這種復(fù)雜且存在高度非線性的動力學(xué)過程，有限元仿真技術(shù)無法滿足迭代優(yōu)化的計算要求，因此將代理模型應(yīng)用于汽車碰撞安全優(yōu)化的方法得到發(fā)展。

1992年文獻[1]中首次利用代理模型對結(jié)構(gòu)的抗撞性能進行分析，隨后文獻[2]和文獻[3]中將其應(yīng)用到結(jié)構(gòu)的抗撞性優(yōu)化中。經(jīng)過長期的發(fā)展和完善，多項式響應(yīng)面模型、Kriging模型和徑向基函數(shù)模型等多種代理模型方法在碰撞安全領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。目前，如何構(gòu)造高精度的代理模型來替代有限元模型進行優(yōu)化已成為汽車碰撞安全性優(yōu)化的重點。文獻[4]中采用隨機抽樣、分層抽樣和拉丁超立方抽樣3種方法進行樣本點的選取并建立代理模型，通過比較其預(yù)測誤差平均值和方差發(fā)現(xiàn)，拉丁超立方抽樣法優(yōu)于另外兩種方式。文獻[5]中對多元二次(Multiquadric，MQ)徑向基函數(shù)和高氏(Gaussian)徑向基函數(shù)中形式參數(shù)c的選擇進行了研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)模型的擬合精度僅在合適的c值范圍內(nèi)提高。文獻[6]中將多項式響應(yīng)面函數(shù)和徑向基函數(shù)應(yīng)用于汽車前端部件的抗撞性優(yōu)化問題，擬合后發(fā)現(xiàn)通過方差分析后的二次多項式響應(yīng)面函數(shù)可以很好地對結(jié)構(gòu)的能量吸收進行預(yù)測，而MQ徑向基函數(shù)對峰值加速度的預(yù)測能力更高，說明對于不同的擬合對象應(yīng)該單獨分析，并選擇合適的代理模型。

針對多目標優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法迭代計算的周期長，優(yōu)化效率低，亟需一種快速的優(yōu)化計算模型來替代。本文中結(jié)合代理模型技術(shù)和多目標優(yōu)化算法，采用代理模型代替有限元模型，以某乘用車正面碰撞安全性為對象，對該車質(zhì)量、B柱加速度峰值和前圍板侵入量進行了優(yōu)化。

1 汽車正撞有限元模型

圖1為某乘用車有限元模型，它包含778個部件，約105萬個單元，93萬個節(jié)點，總質(zhì)量為1.642t。利用該模型建立100%正面碰撞仿真計算模型，采用LS-DYNA求解計算。圖2為座椅橫梁加速度響應(yīng)均值的試驗結(jié)果與仿真對比。由圖可見，曲線的變化趨勢基本吻合，說明此碰撞模型是準確的，其計算結(jié)果可靠有效。

圖1 整車有限元模型

圖2 座椅橫梁加速度均值的試驗結(jié)果與仿真對比

2 目標代理模型的建立

2.1 代理模型的基本方法

代理模型的建立包括以下兩個方面：(1)采用試驗設(shè)計方法，在變量空間中選取樣本點的數(shù)量規(guī)模和分布位置；(2)利用數(shù)值模型(如有限元仿真模型)計算出各樣本點處的輸出響應(yīng)值，得到代理模型可用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建出相應(yīng)的近似代理模型。

試驗設(shè)計(design of experiment，DOE)是一種用來對多因素和響應(yīng)變量關(guān)系進行處理和研究的科學(xué)方法[7]。目前常用的DOE方法有全因子試驗設(shè)計、正交試驗設(shè)計、拉丁超立方試驗設(shè)計等，這里采用拉丁超立方試驗設(shè)計方法。拉丁超立方試驗設(shè)計是一種隨機抽樣法，具有“空間填充”的特征，可以保證整個變量空間都被樣本點覆蓋。

使用代理模型替代有限元模型時，首先需要保證代理模型的預(yù)測結(jié)果與有限元仿真計算結(jié)果足夠接近，必須通過精度評估指標來提高代理模型在整個設(shè)計空間的響應(yīng)預(yù)測能力。本文中利用檢驗樣本點的平均相對誤差作為模型的誤差分析指標，其表達式為

RE的值越小越靠近0，說明模型的精度越高。

2.2 優(yōu)化目標和設(shè)計變量

汽車碰撞過程是一種非常復(fù)雜的非線性動態(tài)過程，其響應(yīng)是多種的，可被作為優(yōu)化目標的變量也是多樣的，如加速度、速度、力和位移等。汽車碰撞安全性優(yōu)化的目的是，當汽車碰撞事故發(fā)生時，盡量保護乘員不受傷害或?qū)⑹艿降膫Τ潭冉档阶畹?，因此，作為?yōu)化的目標函數(shù)必須能表征乘員的安全狀態(tài)或傷害程度。本文中以B柱加速度峰值和前圍板侵入量最小化為優(yōu)化目標，同時考慮輕量化的要求，將整車質(zhì)量作為約束條件，三者的初始值分別為35.3g，138.54mm 和 1.642t。

在汽車碰撞過程中，主要的受力和吸能部件都在前端，因此選擇碰撞過程中變形較大的前端板件作為優(yōu)化的對象。將汽車前端12個板件厚度作為優(yōu)化變量，根據(jù)結(jié)構(gòu)的對稱性，可簡化為8個變量。表1為各板件的初始厚度和優(yōu)化取值范圍。

2.3 優(yōu)化目標代理模型的建立

為研究樣本數(shù)量對代理模型精度的影響，并得到相對明顯的優(yōu)化效果，采用拉丁超立方試驗設(shè)計方法，共抽取了174組樣本，用其中的150組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本集，剩余的24組數(shù)據(jù)作為檢驗樣本點，并將其隨機分為1和2兩組檢驗樣本，各12組數(shù)據(jù)，研究檢驗樣本點變化對模型誤差的影響。

2.3.1 測試點評價法構(gòu)造代理模型

用150組訓(xùn)練樣本集數(shù)據(jù)中不同數(shù)量的樣本點分別建立各優(yōu)化目標4種類型的代理模型，且每個代理模型的精度都用兩組檢驗樣本進行驗證，得到模型預(yù)測值與仿真計算值之間的平均相對誤差，作為模型精度的評價指標。圖3～圖5分別給出了兩組不同檢驗樣本點下各優(yōu)化目標代理模型的誤差變化曲線，圖中SVD為二次多項式響應(yīng)面模型，RBF_GS為高斯徑向基函數(shù)模型，kriging為克里金模型，RBF_MQ為多元二次徑向基函數(shù)模型。由于建立完全形式的二次多項式需要的最小樣本數(shù)量為45組，因此多項式響應(yīng)面模型的樣本數(shù)量從45組開始變化，其余模型樣本數(shù)量從30組開始變化。

圖3 整車質(zhì)量的代理模型精度比較

從圖中可以看出，在兩組檢驗樣本點下，當樣本數(shù)量增加時，SVD模型的擬合精度變化最明顯，擬合誤差減小而精度提高，但波動也較大。與Kriging模型、RBF_GS模型和RBF_MQ模型相比，SVD模型的擬合精度較低，而當樣本數(shù)量足夠時，SVD模型也能達到較高的擬合精度。對Kriging模型和徑向基函數(shù)模型而言，由于模型本身的擬合精度較高，樣本數(shù)量的增加對模型精度的影響不大。這說明對于某些代理模型，即使增加樣本點數(shù)量，也不能達到提高模型精度的目的，反而會花費大量計算時間。同時，由于整車質(zhì)量的線性程度較高，各類型代理模型的擬合精度都較好，而對于B柱加速度峰值和前圍板侵入量這種非線性程度較高的問題，代理模型的擬合誤差都較大。

對比兩組檢驗樣本點下的模型誤差，用兩組樣本點檢驗?zāi)Ｐ途葧r，模型的誤差有較大差別，說明采用測試點評價方法來對模型精度進行評估時，由于該方法是以檢驗樣本點的平均相對誤差作為評價指標，評價的結(jié)果在很大程度上取決于測試點的數(shù)目和位置，用隨機產(chǎn)生的有限測試點可能很難對代理模型在整個設(shè)計空間的精度進行有效評價，導(dǎo)致出現(xiàn)較大的隨機性和偏差。

圖4 B柱加速度峰值的代理模型精度比較

2.3.2 交叉驗證法構(gòu)造代理模型

交叉驗證是一種簡單的模型精度評價、模型選擇方法，可以充分利用樣本點信息對模型進行檢驗。其中，k-折交叉驗證是最常用的方法，將樣本集隨機劃分為大小相同的k份，其中k-1份作為訓(xùn)練集以構(gòu)造子代理模型，剩下的1份作為驗證集，然后依次輪換訓(xùn)練集和驗證集，共進行k次子代理模型的構(gòu)造和驗證。將k次子代理模型的精度進行數(shù)據(jù)處理，通常采用求平均值的方法，得到整個模型的精度，而驗證誤差最小的模型即為所求模型。

本文中采用1次10折交叉驗證法來對各優(yōu)化目標的代理模型進行選擇。將仿真計算得到的150個樣本點隨機劃分為10組，每組15個，利用其中的9組構(gòu)建子模型，則有135個樣本點，剩下的15個樣本點進行檢驗，如此進行10次。表2～表4分別給出了整車質(zhì)量、B柱加速度峰值和前圍板侵入量的不同類型代理模型的10組子模型的驗證誤差及其平均值，其中驗證誤差為檢驗樣本點處預(yù)測值與仿真值的平均相對誤差。

圖5 前圍板侵入量的代理模型精度比較

表2 整車質(zhì)量子代理模型的交叉驗證誤差

從表2可以看出，在樣本數(shù)量足夠的條件下，對于整車質(zhì)量這種非線性程度較低的問題，多項式響應(yīng)面模型、Kriging模型和徑向基函數(shù)模型均表現(xiàn)出較好的擬合效果，各子代理模型的驗證誤差都在0.2%以內(nèi)，具有較高的精度，其中第3組RBF_MQ模型的驗證誤差最小，僅為0.038%。4種代理模型中，RBF_MQ模型的精度最高，Kriging模型其次，多項式響應(yīng)面模型再次，而高斯徑向基函數(shù)模型最差。

表3 B柱加速度峰值子代理模型的交叉驗證誤差

表4 前圍板侵入量子代理模型的交叉驗證誤差

通過表3和表4可以看出，相比整車質(zhì)量，B柱加速度峰值和前圍板侵入量的非線性程度較高，代理模型的擬合精度相對較低，而前圍板侵入量的非線性程度又高于B柱加速度峰值，誤差更明顯。B柱加速度峰值的子代理模型最大誤差為3.46%，而前圍板侵入量的子代理模型最大誤差為9.23%，兩個目標函數(shù)各子模型的最小誤差也在1%以上。無論是B柱加速度峰值，還是前圍板侵入量，擬合精度最高的子模型都是第2組RBF_MQ模型，誤差分別為1.15%和1.26%；4種代理模型中，都是RBF_MQ模型精度最高，Kriging模型其次，多項式響應(yīng)面模型再次，而RBF_GS模型最差。

綜上所述，不論對于非線性程度較高，還是線性程度較高的問題，RBF_MQ模型和Kriging模型都表現(xiàn)出較優(yōu)的擬合效果。其中RBF_MQ模型的精度更高，因此可優(yōu)先選擇。在樣本數(shù)量充足時，多項式響應(yīng)面對非線性問題的擬合精度也可達到要求，而高斯徑向基函數(shù)模型的使用則可根據(jù)實際問題的需要和樣本規(guī)模的大小進行選擇。

3 正撞安全性多目標優(yōu)化

3.1 優(yōu)化目標代理模型的選擇

表5給出采用兩種模型評價方法時，3個優(yōu)化目標代理模型的精度比較?？梢钥闯?，采用交叉驗證方法構(gòu)造的代理模型的最小誤差更小，模型精度更高。因此，將表2中的第3組RBF_MQ模型、表3中的第2組RBF_MQ模型以及表4中的第2組RBF_MQ模型分別作為整車質(zhì)量、B柱加速度峰值以及前圍板侵入量的優(yōu)化代理模型。

表5 兩種評價方法的模型精度比較

3.2 多目標優(yōu)化建模與求解

汽車正面碰撞安全性多目標優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可表示為

式中：M(x)為整車質(zhì)量；A(x)為B柱加速度峰值；D(x)為前圍板入侵量；x1～x8為待優(yōu)化板件的厚度。

在Modefrontier軟件中搭建優(yōu)化流程，采用NSGA-II優(yōu)化算法進行100次迭代尋優(yōu)，得到176組Preto最優(yōu)解。圖6給出了Preto解集的氣泡圖。從圖中可以看出：當整車質(zhì)量處于較低水平時，B柱加速度峰值和前圍板侵入量都處于較高水平，甚至超過了初始值，不符合優(yōu)化設(shè)計的初衷；而當整車質(zhì)量處于較高水平時，B柱加速度峰值雖然處于較低水平，前圍板侵入量又顯然偏大，不滿足安全性的設(shè)計要求。出于對安全性和輕量化的考慮，首先滿足對B柱加速度峰值和前圍板侵入量的優(yōu)化和降低程度，選擇B柱加速度峰值和前圍板侵入量都處于較低水平的Preto解作為最終的優(yōu)化方案，如圖中箭頭所指。表6給出了該方案中各板件的厚度值和優(yōu)化目標的優(yōu)化解。

圖6 優(yōu)化目標的Preto解數(shù)值變化關(guān)系

表6 多目標優(yōu)化的初始值與優(yōu)化值

代理模型的預(yù)測結(jié)果的準確性需要通過有限元計算來進行驗證，表7給出了優(yōu)化解的預(yù)測值與仿真值對比。3個優(yōu)化目標的相對誤差都在可接受的范圍內(nèi)，說明本文中構(gòu)造的代理模型滿足精度要求，可對仿真結(jié)果進行預(yù)測。優(yōu)化后，整車質(zhì)量為1.637 9t，減少了4.1kg；B柱加速度峰值為32.32g，比優(yōu)化前降低了8.44%；前圍板侵入量為130.19mm，比優(yōu)化前降低了6.03%。

表7 優(yōu)化解的預(yù)測值與仿真值對比

4 結(jié)論

結(jié)合有限元法和代理模型方法，對某乘用車100%正面碰撞安全性進行了優(yōu)化，研究了樣本數(shù)量對代理模型精度的影響，并比較了測試點評價方法和交叉驗證法對模型精度評估的不同效果，得出結(jié)論如下。

(1)隨著樣本點數(shù)量的增加，代理模型的精度有提高的趨勢，但當樣本數(shù)量達到一定規(guī)模時，模型的精度不再隨數(shù)量的增加而提高，此時擴大樣本數(shù)量只會增加計算成本而達不到提高模型精度的目的。

(2)對于線性程度較高的問題，多項式響應(yīng)面模型、Kriging模型和徑向基函數(shù)模型都有較好的擬合效果；對于非線性程度較高的問題，宜采用MQ徑向基函數(shù)模型和Kriging模型，若樣本數(shù)量足夠，多項式響應(yīng)面模型也能達到較好的擬合效果。

(3)采用測試點評價方法對模型精度進行評估時，產(chǎn)生的結(jié)果在很大程度上取決于測試點的數(shù)目和位置，測試點不同，模型精度的評估結(jié)果可能會有較大的差異。由于測試點是有限的，如本文中只用了12個測試點來計算模型誤差，因此使用隨機選取的有限的測試點可能很難對代理模型在整個設(shè)計空間的精度進行有效評價，這種評價方法存在較大的隨機性和偏差。而交叉驗證法無需產(chǎn)生額外的檢驗點，通過充分利用現(xiàn)有樣本點信息，可以確定出能對問題進行準確描述的主要成分，建立更高精度的替代模型。

(4)本文中的優(yōu)化結(jié)果達到了碰撞安全性和整車輕量化的要求，且預(yù)測值與仿真值誤差較小，說明構(gòu)造的代理模型是準確的。說明將有限元法與代理模型技術(shù)相結(jié)合的方法可用于汽車碰撞的優(yōu)化，對降低設(shè)計周期，提高工程優(yōu)化設(shè)計效率具有重要意義。