“分與合”的啟示

程政武

大家都知道，傳統(tǒng)《實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)》版本的教材，在一年級(jí)1-10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)的教學(xué)編排上，“數(shù)的組成”的教學(xué)是其中一重點(diǎn)內(nèi)容，是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的主要目標(biāo)之一，同時(shí)也是學(xué)生口算10以內(nèi)加法的重要基礎(chǔ)。一直以來，本人正是本著這種認(rèn)識(shí)，這種宗旨去實(shí)施教學(xué)的，直到后來，人教版新教材的逐步推行，突然發(fā)現(xiàn)“數(shù)的組成”這一內(nèi)容雖然本質(zhì)上還是數(shù)的組成，但在表現(xiàn)形式上，至少在小標(biāo)題的命名上，不再叫“數(shù)的組成”，而是叫“分與合”。起初，對(duì)為何要作這一更改，我百思不得其解。隨著教學(xué)的深入，才慢慢體會(huì)到這個(gè)“分與合”的奧妙所在，意義之深遠(yuǎn)。

首先，在命名上“數(shù)的組成”相比“分與合”意義偏狹，它體現(xiàn)的僅僅是“合”──數(shù)的組成，兩個(gè)數(shù)合成某一個(gè)數(shù)，而忽略了“分”──數(shù)的分成。雖然我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)也兼顧了數(shù)的分成，涉及到了一個(gè)數(shù)分成某個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)，但它的命名是有所側(cè)重的，可能會(huì)造成我們教與學(xué)的側(cè)重與偏頗。但“分與合”是并列關(guān)系的，分與合地位并重，就“分”“合”雙修，兼顧了數(shù)的組成與分成的教學(xué)，讓師生能從分、合兩方面都引起重視。

其次，“數(shù)的組成”是我們計(jì)算加、減法的重要基礎(chǔ)，我們?cè)诔鯇W(xué)加、減法時(shí)，想數(shù)的組成進(jìn)行口算是重中之重，但也僅僅停留在這個(gè)層面而已。而“分與合”則不光是我們計(jì)算加、減法的重要基礎(chǔ)，更重要的是它是一種數(shù)學(xué)思想──“分與合”的思想，它是我們理解加、減法，理解乘、除法，是我們應(yīng)用四則運(yùn)算解決實(shí)際問題的根本所在。

從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的老師們大概都有一個(gè)體會(huì)：小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不難教、學(xué)生也不難學(xué)，難的是怎么靈活運(yùn)用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決各種各樣的實(shí)際問題。而解決問題最關(guān)鍵的是分析問題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，而正確分析復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系的前提就是掌握最基本的數(shù)量關(guān)系。怎樣更簡(jiǎn)單、更系統(tǒng)的理解、把握我們小學(xué)階段最基本的數(shù)量關(guān)系呢？之前，我也曾不斷地思索、總結(jié)，但總覺不夠完美、不夠簡(jiǎn)潔。隨著“分與合”這一小標(biāo)題的提出，結(jié)合我對(duì)它的理解與思考，猛然發(fā)現(xiàn)“分與合”才是我需要的?！胺峙c合”三個(gè)字，多簡(jiǎn)潔的概括、多辯證的概括。我個(gè)人理解，“分與合”是對(duì)我們小學(xué)數(shù)學(xué)四則運(yùn)算意義理解的升華，是對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)際問題各種基本數(shù)量關(guān)系最簡(jiǎn)潔的概括。

加法，把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算，是“合”。

減法，加法的逆運(yùn)算，把一個(gè)總數(shù)分成一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)，是“分”。正是合與分意義的互逆，才有加、減法運(yùn)算的互逆。（在課堂上我就用雙手的合攏與分開來形象的展示合與分，幫助學(xué)生理解加、減法的意義）

乘法，求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，是“同數(shù)‘合”。

除法，乘法的逆運(yùn)算，把一總數(shù)平均分成幾個(gè)相同的部分?jǐn)?shù)，是“平均‘分”。也正是“同數(shù)‘合”與“平均‘分”意義的互逆，才有乘、除法運(yùn)算的互逆。

有了對(duì)四則運(yùn)算意義理解的升華，對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)際問題種種基本數(shù)量關(guān)系我也作出如下概括：

①部分?jǐn)?shù)“合”成總數(shù)的關(guān)系，用加法解決：

例：一次植樹活動(dòng)中，五年級(jí)植樹96棵，六年級(jí)植樹120棵，五、六年級(jí)共植樹多少棵？

*五、六年級(jí)植樹棵數(shù)兩個(gè)并列的部分?jǐn)?shù)相合；

一次愛衛(wèi)活動(dòng)中，四年級(jí)掃街40米，五年級(jí)比四年級(jí)多掃16

米，五年級(jí)掃街多少米？

*同四年級(jí)相比，相同部分?jǐn)?shù)與多掃部分?jǐn)?shù)相合；

一次愛心捐贈(zèng)中，小明將自己積攢的零花錢捐出80元后，還剩16元，小明同學(xué)一共積攢了多少零花錢？

*捐贈(zèng)部分?jǐn)?shù)同未捐部分?jǐn)?shù)相合。

②總數(shù)“分”成部分?jǐn)?shù)的關(guān)系，用減法解決：

例：一次安全知識(shí)競(jìng)賽中，六年級(jí)男、女隊(duì)共答對(duì)了86題，其中男隊(duì)答對(duì)了40題，女隊(duì)答對(duì)了多少題？

*答對(duì)題總數(shù)分成男隊(duì)部分?jǐn)?shù)和女隊(duì)部分?jǐn)?shù)；

搶修一條公路，甲隊(duì)修了1200米，乙隊(duì)修了800米，乙隊(duì)比甲隊(duì)少修多少米？丙隊(duì)修的比甲隊(duì)少300米，丙隊(duì)修了多少米？

*同甲隊(duì)相比，甲隊(duì)修路總數(shù)分成（同乙、丙隊(duì)）相同部分?jǐn)?shù)和少修部分?jǐn)?shù)，不同的是一個(gè)求少修部分?jǐn)?shù)，一個(gè)求相同部分?jǐn)?shù)；

二年級(jí)今天的寫字作業(yè)是一共寫20個(gè)大字，小華已寫了15個(gè)，還要寫幾個(gè)？小花還有6個(gè)未寫，小花已寫了多少個(gè)？

*作業(yè)總數(shù)分成已寫部分?jǐn)?shù)和未寫部分?jǐn)?shù)，區(qū)別是一個(gè)求未寫部分，一個(gè)求已寫部分。

③若干個(gè)相同部分?jǐn)?shù)合成總數(shù)的關(guān)系，用乘法解決：

例：幸福小學(xué)開展幫扶活動(dòng)，每位老師都要幫扶5名差生，幸福小學(xué)共有12個(gè)老師，此次活動(dòng)一共可幫扶多少名差生？

*12個(gè)相同部分?jǐn)?shù)（5名）相合；

新希望小學(xué)三年級(jí)有27名留守兒童，四年級(jí)留守兒童是三年級(jí)的3倍，新希望小學(xué)四年級(jí)有多少名留守兒童？

*3個(gè)相同部分?jǐn)?shù)（27名）相合。

④總數(shù)平均分成若干個(gè)（份數(shù)）相同部分?jǐn)?shù)（每份數(shù)）的關(guān)系，用除法解決：

例：幸福新村計(jì)劃2018年給本村的5個(gè)生產(chǎn)小組投入120萬元修建光伏發(fā)電機(jī)組，平均每個(gè)小組要投入多少萬元？

*投入總數(shù)（120萬元）平均分成5個(gè)相同部分?jǐn)?shù)，也就是將投入總數(shù)平均分成5份，求每份數(shù)；

陽新縣城關(guān)實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生總數(shù)是5400人，富川小學(xué)學(xué)生總數(shù)是3600人，陽新縣城關(guān)實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生總數(shù)是富川小學(xué)的幾倍？

*實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生總數(shù)平均分成了多少個(gè)相同部分?jǐn)?shù)（3600人），也就是每份是3600人，求份數(shù)（求5400里有多少個(gè)3600）。

隨著五、六年級(jí)分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，分與合的思想又延伸到了數(shù)的認(rèn)識(shí)上：把單位1平均分成若干份，取這樣的一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)，是“平均‘分”的產(chǎn)物。那么對(duì)于六年級(jí)學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)乘除法，用“分與合”來理解和體會(huì)，就是分合思想的疊加了。如60× ，則是將60按分?jǐn)?shù)的意義平均分成5份，再按乘法的意義2份這樣每份數(shù)相合；而60÷ ，則是將60按除法的意義平均分成2份，再按分?jǐn)?shù)的意義5份這樣每份數(shù)相合，都是先分再合，只不過分合的意義不同。我們分?jǐn)?shù)乘除法算理的理解不就是這種分合思想的體現(xiàn)嗎？我就有一位學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘除法問題的建模不夠，剛開始解決分?jǐn)?shù)問題時(shí)總是用這種分與合的思想來解答：張大爺去年種植棉花收入了21000元，他將其中的 存入銀行，張大爺要存入銀行多少錢？列式：21000÷7×5=15000（元）。

有了以上的理解，我試著將這種分合思想編成小歌謠，來結(jié)束我的諸多啟示：

小學(xué)數(shù)學(xué)奧妙多，

分與合來很重要，

合是加法分是減，

同數(shù)相合用乘法，

平均分來須得除，

分合分清莫要錯(cuò)。