例談電磁感應中的雙電源問題

山東 龐 超

電磁感應是電磁學中最為重要的內容，也是高考命題頻率最高的內容之一。主要考查電磁感應、楞次定律、法拉第電磁感應定律、自感等知識，多結合電學、力學部分作為壓軸題，其命題形式主要是電磁感應與電路規(guī)律的綜合應用、電磁感應與力學規(guī)律的綜合應用以及電磁感應與能量守恒的綜合應用等。

在電磁感應中，有兩種情形可產生感應電動勢：一是空間磁場不變，閉合回路中的部分導體切割磁感線時產生感應電動勢，此種情形產生的電動勢一般稱為“動生電動勢”；二是閉合回路不動，穿過回路的磁場在變化，從而引起回路中磁通量變化而產生感應電動勢，此種情形產生的電動勢一般稱為“感生電動勢”。在一些電磁感應問題中,如果同時存在這兩種電動勢，即有兩個電源,我們稱之為雙電源問題。由于這類問題綜合性強,涉及的物理過程復雜多變,因而成為高考中的熱點和難點。

一、電池和感應電動勢形成的雙電源問題

【例1】如圖1所示，固定于水平面的U形導線框處于豎直向下、磁感應強度為B0的勻強磁場中，導線框兩平行導軌間距為l，左端接一電動勢為E0、內阻不計的電源。一質量為m、電阻為r的導體棒MN垂直導線框放置并接觸良好。閉合開關S，導體棒從靜止開始運動。忽略摩擦阻力和導線框的電阻，平行軌道足夠長。請分析說明導體棒MN的運動情況，在圖2中畫出速度v隨時間t變化的示意圖；并求出導體棒達到的最大速度。

二、兩個感應電動勢方向相同的電源問題

對于兩個感應電動勢方向相同的雙電源問題，根據串聯電路的基本特點，應該有回路中的總電動勢等于兩個電源電動勢之和。必須注意的是，這里所說的電動勢方向相同，指的是整個回路中的方向，而不是僅僅指電源部分。

【例2】在傾角為θ足夠長的光滑斜面上，存在著兩個磁感應強度大小相等的勻強磁場，磁場方向一個垂直斜面向上，另一個垂直斜面向下，寬度均為L，如圖4所示。一個質量為m、電阻為R、邊長也為L的正方形線框在t=0時刻以速度v0進入磁場，恰好做勻速直線運動，若經過時間t0，線框ab邊到達gg′與ff′中間位置時，線框又恰好做勻速運動，則下列說法正確的是 ( )

A．當ab邊剛越過ff′時，線框加速度的大小為gsinθ

D．離開磁場的過程中線框將做勻速直線運動

【例3】如圖5所示，兩金屬桿ab和cd長均為L，電阻均為R，質量分別為M和m，用兩根質量、電阻均可忽略的不可伸長的柔軟導線將它們連成閉合回路，并懸掛在水平、光滑、不導電的圓棒兩側，兩金屬桿都處于水平位置，整個裝置處于與回路平面垂直的勻強磁場中，勻強磁場的磁感應強度為B。若金屬桿ab正好勻速向下運動，求運動的速度。

【解析】若ab棒以速度v向下勻速運動，cd棒也以速度v向上勻速運動，兩棒都垂直切割磁場線產生感應電動勢。由于二者運動的方向相反，使得棒中的感應電流方向也相反，則在整個閉合電路中，感應電動勢為兩棒產生的電動勢之和，即

E=2BLv

根據楞次定律，容易判斷ab棒受到的安培力方向向上，cd棒受到的安培力方向向下，懸線對兩棒的拉力都向上，且都為T，則ab棒的平衡方程：

Mg=BIL+T

而cd棒的平衡方程：mg+BIL=T

三、兩個感應電動勢方向相反的電源問題

對于兩個感應電動勢方向相反的電源問題，同樣可以根據串聯電路的基本特點，回路中的總電動勢等于兩個電源電動勢之差。同樣應該注意的是，這里所說的電動勢方向相反，指的是整個回路中的方向，而不是僅僅指電源部分。

【例4】如圖6，在水平面上有兩條平行導電導軌MN、PQ，導軌間距離為l，勻強磁場垂直于導軌所在的平面(紙面)向里，磁感應強度的大小為B，兩根金屬桿1、2擺在導軌上，與導軌垂直，它們的質量和電阻分別為m1、m2和R1、R2，兩桿與導軌接觸良好，與導軌間的動摩擦因數為μ，已知：桿1被外力拖動，以恒定的速度v0沿導軌運動；達到穩(wěn)定狀態(tài)時，桿2也以恒定速度沿導軌運動，導軌的電阻可忽略，求此時桿2克服摩擦力做功的功率。

【解析】由于兩桿均做切割磁感線運動，故這是一個“雙電源”問題。設桿2運動速度為v，兩桿運動時，兩桿和導軌構成的回路中的磁通量發(fā)生變化，產生感應電動勢，由于二者運動的方向一致，使得棒中的感應電流方向均向上，即兩個棒中的感應電流方向相同，而對于整個閉合電路，兩棒流入電路的感應電流方向相反，則感應電動勢為兩棒產生的電動勢之差，則

E=Bl(v0-v)

桿2做勻速運動，故它受到的安培力應等于摩擦力，即有BIl=μm2g

故導體桿2克服摩擦力做功的功率P=μm2gv

【例5】如圖7所示，相互平行的光滑金屬導軌(電阻忽略不計)在同一水平面內，處于豎直向下的勻強磁場中，磁場的磁感強度為B，導軌左端的間距L1=3l0，右端間距L2=l0，兩段導軌均足夠長且用導線連接。今在導軌上放置AC、DE兩根導體棒，質量分別為m1=2m0,m2=m0；接入電路的電阻分別為R1=3R0,R2=R0。現使AC棒以初速度v0向右運動，則：

(1)若DE棒固定，在AC棒運動過程中，回路感應電流的方向如何？整個電路產生的電熱為多少？

(2)若DE棒可自由運動，求兩棒在達到穩(wěn)定狀態(tài)(兩棒各自以不同的速度做勻速運動)前，加速度大小之比和在達到穩(wěn)定狀態(tài)時速度之比。

【解析】(1)由右手定則可知，回路感應電流為順時針方向。

由能量守恒定律可知，整個電路產生的電熱

(2)兩棒達到穩(wěn)定之前AC、DE棒中通過的電流大小(設為I)始終相等，設加速度分別為a1和a2，則有

當兩棒運動速度滿足一定關系時，回路中的磁通量不變，感應電流為零，兩棒均做勻速運動。設兩棒最終速度分別為v1、v2，則BL1v1t=BL2v2t

四、同時存在動生電動勢和感應電動勢的雙電源問題

在有的電磁感應問題中，兩個電源的來源不是全部通過導體切割磁感線而產生，也可能是閉合回路不動，而穿過回路的磁場在變化，從而引起回路中磁通量變化而產生感應電動勢，要注意區(qū)別，然后根據電源的連接情況解析相關運算。

【例6】如圖8所示，兩條平行的金屬導軌MN、PQ固定在絕緣水平面上，兩導軌之間距離L=1 m，且MP、AB、CD、EF之間間距也均為L=1 m，導軌MN、PQ和MP單位長度電阻均為R0=0.1 Ω，虛線AB右側空間存在勻強磁場，磁場方向豎直向下，且大小隨時間的變化關系為：Bt=(0.2+0.1t) T，導體棒開始時在外力作用下靜止于CD處，若導體棒電阻的不計，求：

(1)通過導體棒的電流大小和方向；

(2)若導體棒在外力作用下以2 m/s的速度勻速向右運動，在t=0時刻剛好經過CD處，則此時導體棒所受的安培力為多大；

(3)在第(2)問的情景下，導體棒從CD勻速運動到EF的過程中安培力做的功為多少？

【解析】(1)導體棒不動時，回路中產生感生感應電動勢，根據法拉第電磁感應定律：

而此時回路總電阻:

R=5LR0②

由閉合電路歐姆定律：

由①②③解得：I=0.2 A

根據楞次定律可知電流的方向為D到C。

(2)導體棒勻速運動時，同時產生感生和動生電動勢，由楞次定律可知，方向相同，根據法拉第電磁感應定律：

由閉合電路歐姆定律：

導體棒所受的安培力：

F1=B0I1L⑥

由②④⑤⑥解得：F1=0.2 N。

(3)根據法拉第電磁感應定律,t時刻的總電動勢為：

t時刻回路的總電阻為：

Rt=5LR0+2vtR0⑧

t時刻通過導體棒的電流為：

由⑦⑧⑨解得：代入數據得：It=1 A

即回路電流為定值，與時間無關，所以導體棒所受安培力隨時間均勻變化；而導體棒勻速運動，從而安培力隨位移也均勻變化，則導體棒運動到CD處所受安培力為：

F1=BCDIL⑩

則安培力所做的功為：

由以上各式，解得：

W=-0.225 J。

【例7】如圖9所示，兩根平行金屬導軌固定在水平桌面上，每根導軌每米的電阻為r0=0.10 Ω，導軌的端點P、Q用電阻可以忽略的導線相連，兩導軌間的距離l=0.20 m。有隨時間變化的勻強磁場垂直于桌面，已知磁感應強度B與時間t的關系為B=kt，比例系數k=0.020 T/s。一電阻不計的金屬桿可在導軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導軌垂直。在t=0時刻，金屬桿緊靠在P、Q端，在外力作用下，桿以恒定的加速度從靜止開始向導軌的另一端滑動，求在t=6.0 s時金屬桿所受的安培力。

【解析】為求桿所受的安培力，須求出回路中的感應電流。

此時，桿的速度v=at

桿與導軌構成的回路的面積S=xl

而回路的總電阻R=2xr0

因此，作用于桿的安培力F=BIl

五、電磁感應中的雙電源與電容器的綜合問題

分析和計算含有電容器的直流電路時，關鍵是準確地判斷并求出電容器的兩端的電壓。電容兩極板間電壓等于與電容器所在支路并聯的導體兩端電壓，因此確定電容器和哪部分電路并聯，該部分電路(或者電阻)兩端電壓即為電容器兩端電壓。當電容器和某一電阻串聯后接在某一電路兩端時，此電路兩端電壓即為電容器兩端電壓；而對于較復雜電路，需要將電容器兩端的電勢與基準點的電勢比較后才能確定電容器兩端的電壓。

【例8】如圖10所示，兩個電阻的阻值分別為R和2R，其余電阻不計，電容器的電容為C，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，金屬棒ab、cd的長度均為l，當棒ab以速度v向左做切割磁感線運動，棒cd以速度2v向右做切割磁感線運動時，電容器所帶的電荷量為多少？哪一個極板帶正電？

【解析】金屬棒ab、cd做切割磁感線運動時，分別產生感應電動勢E1=Blv、E2=2Blv，相當于兩個電源，等效電路如圖11所示。

電容器充電后相當于斷路，右側回路中沒有電流，若設f點的電勢為零，則c點電勢為φc=E2=2Blv

設左側回路中電流為I，由歐姆定律得

電阻R上的電流方向為f→e，則

六、由于磁場的運動形成的雙電源問題

穿過回路中的磁通量變化時產生感應電動勢，這是產生感應電動勢的條件。而磁通量變化的方式很多，在有的情況下，導體并沒有切割磁感線，也沒有如上面所述的磁場發(fā)生變化，而是磁場運動起來，由于相對運動，同樣在回路中產生感應電動勢及感應電流。

【例8】如圖12甲所示，與水平面成θ角的兩根足夠長的平行絕緣導軌，間距為L，導軌間有垂直導軌平面方向、等距離間隔的勻強磁場B1和B2，B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=B；導軌上有一質量為m的矩形金屬框abcd，其總電阻為R，框的寬度ab與磁場間隔相同，框與導軌間動摩擦因數為μ；開始時，金屬框靜止不動，重力加速度為g；若t=0時磁場沿直導軌向上做勻加速直線運動；金屬框經一段時間也由靜止開始沿直導軌向上運動，其v-t關系如圖12乙所示(CD段為直線，Δt、v1為已知)，求磁場的加速度大小。

【解析】圖乙中A點，金屬框靜止不動，對金屬框由平衡條件得：

2BIL=mgsinθ+μmgcosθ

當磁場以v0的瞬時速度運動時，由于相對運動，金屬框bc、ad邊同時切割磁感線，金屬框中電動勢為

E=2BLv0

對金屬框在圖乙中C點，由牛頓第二定律，則：

2BI1L-(mgsinθ+μmgcosθ)=ma

此時，由圖乙可以看出金屬框運動的瞬時速度為v1，設磁場運動的瞬時速度為vt，故金屬框中電動勢為

E1=2BL(vt-v1)

磁場勻加速運動的加速度大小等于金屬框勻加速運動的加速度大小，則對磁場

vt=v0+aΔt