具梯度耗散與非局部源牛頓滲流方程解的爆破性質(zhì)

何 冰, 凌征球

(1. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012; 2. 玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣西 玉林 537000)

0 引 言

考慮如下非線性擴(kuò)散方程的初邊值問題:

(1)

其中:Ω為n(n≥3)中具有光滑邊界的有界區(qū)域;m,r>1,p,q≥0,a,b>0; 初值u0(x)連續(xù)且滿足相容性條件. 具有梯度耗散項(xiàng)和非局部源項(xiàng)的牛頓滲流方程初邊值問題(1)應(yīng)用廣泛, 可用于描述多孔介質(zhì)中的流體運(yùn)動(dòng)或人口動(dòng)力學(xué)模型[1-3]. 對(duì)于不含非局部源項(xiàng)與梯度耗散項(xiàng)的情形, 即q=0,b=0, 問題(1)已被廣泛研究, 并取得了很多結(jié)果[4]. 當(dāng)pm, 則問題(1)存在有限時(shí)刻發(fā)生爆破的解. 文獻(xiàn)[5]利用上下解方法將上述結(jié)果推廣至含非局部源項(xiàng)的情形, 即q≠0,b=0, 證明了: 當(dāng)p+q≤m, 且a充分小時(shí), 問題(1)存在整體正解, 若p+q>m, 則小初值的解整體存在, 大初值的解爆破, 解發(fā)生的時(shí)間下界由Liu等[6]給出. 文獻(xiàn)[7]研究了問題(1)同時(shí)含有非局部源與內(nèi)部吸收源-us的情形, 得到了爆破時(shí)間下界的估計(jì). 對(duì)于含有梯度耗散項(xiàng)的情形, 文獻(xiàn)[8]討論了含局部源的p-Laplace方程初邊值問題, 給出了解發(fā)生爆破與否的充分性條件, 并給出了爆破發(fā)生時(shí)間的界估計(jì). Andreu等[9]利用正則化方法證明了問題(1)解的整體存在性. 本文考慮問題(1)解的爆破現(xiàn)象, 首先給出解是否發(fā)生爆破的條件, 然后對(duì)爆破時(shí)間的界進(jìn)行估計(jì).

1 非爆破情形

下面給出問題(1)的解不發(fā)生爆破的條件. 定義輔助函數(shù)

(2)

利用格林公式可得,

由

H?lder不等式:

以及式(3)可知

另一方面, 對(duì)任意常數(shù)δ>1, 再次應(yīng)用H?lder不等式, 有

在Rayleigh不等式

(5)

中, 令w=vδ+1, 即得

(6)

其中λ1為下列問題的第一特征值:

Δw+λw=0,w>0,x∈Ω;w=0,x∈?Ω.

(7)

在式(6)中, 取v=u(m+r-1)/r和2(δ+1)=r, 有

(8)

在式(5)中取w=u(2m-1)/2, 則

(9)

因此, 結(jié)合式(4),(8),(9), 得

下面估計(jì)I1和I2. 利用H?lder不等式易見

(11)

(12)

這里應(yīng)用了條件m>1和p+q

類似地, 在條件p+q

綜合式(13),(14), 有

其中:

定理1若p+q

2 爆破情形

下面討論問題(1)的解發(fā)生爆破的條件, 并給出解發(fā)生爆破的時(shí)間估計(jì). 引入輔助函數(shù):

(16)

利用方程計(jì)算可得

(17)

其中

且

設(shè)m>q+3, 且初值函數(shù)u0(x)滿足下列條件:

易見ut≥0,Δu≥0, Ψ1≥0及

故結(jié)合式(19)可知

聯(lián)合式(16),(17),(20)以及Schwarz不等式, 有

即

進(jìn)而

(21)

對(duì)式(21)從0到t關(guān)于t積分, 有

(22)

顯然, 不等式(22)不可能對(duì)所有的t都成立, 故證明了u在有限時(shí)刻T發(fā)生爆破. 特別地， 有

(23)

綜上, 有：

定理2假設(shè)p+q>m, u為問題(1)的非負(fù)解. 若m>q+3, 且初始函數(shù)u0(x)滿足條件(i)～(iii), 則u在有限時(shí)刻T發(fā)生爆破, 且其上界估計(jì)由式(23)給出.

同理, 若p+q>r, 則相應(yīng)式(18)中的輔助函數(shù)Ψ1(t)可換為

從而可得：

上面給出了問題(1)的解發(fā)生有限時(shí)刻爆破的充分性條件以及在該條件下爆破時(shí)間的上界估計(jì). 下面在更一般的條件下, 利用文獻(xiàn)[10-11]的微分不等式技巧, 考慮問題(1)解的爆破時(shí)間下界估計(jì). 為方便, 定義輔助函數(shù)

(24)

在問題(1)的方程兩端乘以u(píng)k后, 積分可得

注意到

其中λ1為問題(7)的第一特征值. 故

(26)

為了得到問題(1)解發(fā)生爆破時(shí)間的下界估計(jì), 先對(duì)式(26)右端第二項(xiàng)進(jìn)行估計(jì). 利用Schwarz不等式與Young不等式, 有

(27)

從而由式(26)可得

(28)

再注意到

再次應(yīng)用Sobolev不等式[12], 由式(28)得

(29)

將式(29)關(guān)于t從0到t(t

(30)

綜上, 可得：