基于VC++的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺設(shè)計研究

程 飛

1 問題的提出

在實(shí)際教學(xué)中，開發(fā)具有交互功能、能表現(xiàn)三維動畫、體現(xiàn)知識形成過程、適應(yīng)特定教學(xué)環(huán)境、具有一定綜合性的高等數(shù)學(xué)輔助教學(xué)平臺能克服上述5類教學(xué)軟件的不足，從而促進(jìn)高職高等數(shù)學(xué)教學(xué).限于篇幅，本文僅以高等數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的“傅里葉分析（連續(xù)函數(shù)）”為例，予以具體說明基于VC++的高等數(shù)學(xué)輔助教學(xué)平臺的開發(fā)過程.

2 傅里葉分析

周期為T的連續(xù)周期信號f(t)，可以展開為三角傅里葉級數(shù)［4-5］

其中，

用指數(shù)形式表示為：

其中Cn為虛指數(shù)信號，| |Cn和頻率的關(guān)系稱為幅度頻譜，一般采用雙邊頻譜，則

（1）式中各個諧波的初相角與頻率的關(guān)系稱為相位頻譜.

這一部分內(nèi)容是進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)課程（如信號與系統(tǒng)、數(shù)字圖像處理）的基礎(chǔ)，教學(xué)地位十分重要.但是由于這一部分教學(xué)內(nèi)容涉及到歐拉公式、時域頻域轉(zhuǎn)換，高職學(xué)生難以理解和接受.不僅如此，由于計算量大，各個諧波分量的系數(shù)an、bn不可能在有限的教學(xué)時間里采用直接計算方法得到.為解決這一問題，常規(guī)方法是采用MATLAB軟件輔助教學(xué).如圖1和圖2所示.該做法本質(zhì)上僅起到降低計算量的效果，學(xué)生對于傅里葉分析的意義仍然沒有具體的認(rèn)識.而如果采用VC++技術(shù)，設(shè)計三維實(shí)驗(yàn)平臺，就可以較好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).如圖3所示.圖3的左視圖方向表現(xiàn)時域信號，而在主視圖方向由近及遠(yuǎn)表現(xiàn)相位譜、頻譜、諧波圖像，在右視圖方向表現(xiàn)各諧波的合成.

采用SPSS 21.0統(tǒng)計學(xué)軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計量資料以“±s”表示，組間比較采用單因素方差分析，多重比較采用LSD和Dunnet檢驗(yàn)，以P＜0.05為差異有統(tǒng)計學(xué)意義。

圖1 階躍函數(shù)

圖2 n=21時傅里葉諧波的合成圖像

圖3 傅里葉分析實(shí)驗(yàn)平臺（T=6，n=10）

3 實(shí)驗(yàn)平臺設(shè)計

3.1 設(shè)計思路

在基于高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺輔助教學(xué)過程中，學(xué)生需要通過自主操作實(shí)驗(yàn)平臺，輸入?yún)?shù)，獲得并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，獲得關(guān)于數(shù)學(xué)原理的深刻認(rèn)識.對于高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)知識的可視化、平坡化也必須考慮到.具體到本文所述傅里葉分析教學(xué)內(nèi)容，平臺應(yīng)可實(shí)現(xiàn)：①學(xué)生通過輸入?yún)?shù)n，可以獲得各諧波的系數(shù)，并在三維坐標(biāo)系中將諧波以圖形的方式表達(dá)出來.如圖3所示，階躍函數(shù)分解為10次諧波，共有5次直流信號和5次交流信號（圖中所示5條直線和5條正弦波）；②學(xué)生通過輸入周期T的值，觀察T值對于諧波圖像的影響，如圖4所示（此時T=2）；③觀察不同T值和n值下的頻域圖像（連續(xù)函數(shù)的頻域圖像是離散的，如圖3和圖4所示）；④觀察不同T值和n值下的相位譜（如圖3和圖4所示）；⑤合成圖像的Gibbs效應(yīng)［5］（級數(shù)的項數(shù)越多，合成波形的峰起越靠近不連續(xù)點(diǎn)，并從不連續(xù)點(diǎn)以起伏震蕩的形式衰減下去），如圖3和圖4的右視圖所示.

圖4 傅里葉分析實(shí)驗(yàn)平臺（T=2，n=18）

3.2 詳細(xì)設(shè)計

（1）界面劃分和按鍵控制.該平臺輸入值為T和n，而可視化輸出包括時域圖像、諧波圖像、Gibbs效應(yīng)、頻譜、相位譜，因而界面劃分為左右兩個區(qū).左邊輸入數(shù)據(jù)，包括多個功能組框，每個組框?qū)?yīng)于上述的一個繪圖功能，每個組框包括“繪圖”與“關(guān)閉”兩個按鈕.每個組框的功能獨(dú)立設(shè)計，互不影響.例如，時域圖像繪制完成后，在“頻譜”組框按下“繪圖”按鈕，則僅顯示頻譜圖，如圖5所示.再在“頻譜”組框按下“關(guān)閉”鍵，關(guān)閉頻譜圖；在“相位譜”組框按下“繪圖”按鈕，則僅顯示相位譜，如圖6所示.這樣可以使各個組框功能獨(dú)立出來，便于根據(jù)教學(xué)需要顯示不同的圖形的組合.

圖5 時域圖像和頻譜（T=6，n=10）

圖6 時域圖像和相位譜（T=6，n=10）

具體設(shè)計中，采用VC++的FormView-Doc-DrawView結(jié)構(gòu)［1，6］，兩個編輯框控件對應(yīng)于輸入的周期和諧波次數(shù)，在FormView、Doc、DrawView中對應(yīng)的變量如表1所示.在Doc中對于變量首先賦值，軟件啟動初始化時，F(xiàn)ormView和DrawView從Doc中取值，以FormView為例，代碼為：按鈕采用LHint機(jī)制，按鈕按下將LHint值發(fā)送給所有的View，對應(yīng)代碼為：

這里L(fēng)Hint=1，在DrawView中對應(yīng)于BOOL型變量flag1（繪圖開關(guān)），LHint不同取值和各個flag對應(yīng)關(guān)系如表1所示.

表1 變量對應(yīng)表

（2）動態(tài)觀察.對于該實(shí)驗(yàn)平臺，當(dāng)諧波次數(shù)增加的時候，僅從固定的角度觀察會影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，因而需要從不同角度觀察，也采用LHint機(jī)制，以左轉(zhuǎn)為例，代碼如下：

視角函數(shù)為：

這里將三維坐標(biāo)系中Y軸方向向上，以配合時域圖像的繪制.繪制效果如圖7和圖8所示.

圖7 改變視角的圖像（右視圖方向觀察，T=6，n=10）

圖8 改變視角的圖像（右視圖方向觀察，T=6，n=18）

4 實(shí)驗(yàn)平臺相關(guān)討論

4.1 頻域和相位譜分析

綜合分析圖5和圖7，可以觀察到對應(yīng)于各頻率，頻譜對應(yīng)的值為該頻率諧波的振幅的1/2，即符合（2）式，由此可以進(jìn)一步分析和深入研究雙邊頻譜.而綜合分析圖6和圖7，可以觀察到對應(yīng)于各頻率，相位譜對應(yīng)的值為該頻率諧波的初相.

4.2 Gibbs效應(yīng)

觀察圖7和圖8的Gibbs效應(yīng)圖，可以快速理解和掌握Gibbs效應(yīng)的規(guī)律，由圖7（n=10）和圖8（n=18）可見，圖8的合成波形的峰起更加靠近不連續(xù)點(diǎn).

5 推廣

對于階躍函數(shù)，首先定義然后計算函數(shù)曲線上各個點(diǎn)的坐標(biāo)，代碼如下：

再使用OpenGL的glBegin（GL_LINES）命令繪圖，得到函數(shù)曲線.首先得到的是一個周期的圖像，其他周期圖像可以通過平移定義域方式進(jìn)行延拓.由于本實(shí)驗(yàn)平臺是基于VC++的MFC開發(fā)的，如果設(shè)計其他函數(shù)的傅里葉分析實(shí)驗(yàn)，只要重新定義f(x)即可，計算坐標(biāo)點(diǎn)的程序無需做改動.如果時域函數(shù)為線性函數(shù)，語句（3）修改為：

編譯構(gòu)建后軟件效果如圖9所示.

圖9 線性函數(shù)傅里葉分析實(shí)驗(yàn)

如果時域函數(shù)為草帽函數(shù)，語句（3）修改為：

編譯構(gòu)建后軟件效果如圖10所示.

圖10 草帽函數(shù)傅里葉分析實(shí)驗(yàn)

6 小結(jié)

高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺的應(yīng)用，可以將復(fù)雜深奧的高等數(shù)學(xué)知識可視化和三維化，進(jìn)一步基于三維圖形分析數(shù)學(xué)原理、各個表達(dá)式的數(shù)學(xué)意義，增加知識之間的關(guān)聯(lián)，將高難度的數(shù)學(xué)知識平坡化，有助于復(fù)雜數(shù)學(xué)知識的理解和掌握.教學(xué)實(shí)踐表明，基于該方法設(shè)計的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺易于開發(fā)設(shè)計，其使用可以明顯提高教學(xué)效果，能有效克服MATLAB軟件輔助教學(xué)平面化的缺點(diǎn).學(xué)生通過參數(shù)輸入，并對繪圖結(jié)果進(jìn)行分析和探究，開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動.基于VC++開發(fā)的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，是促進(jìn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的有效手段.